DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

(voir [36]). Dans le cas d’une fonction f intégrable, cette condition est équivalente
au fait que f dµ = 0, d’après le théorème ergodique ponctuel de Birkoff.
La construction explicite d’un domaine fondamental D est assez laborieuse
en général, mais très simple dans le cas d’une fonction f ≥ 0. On peut en effet
prendre
D = {(ω, t); −f(ω) < t < 0}.
Si l’on note ˆµ la mesure sur l’espace des S-orbites ˆ Ω obtenue à partir de la
restriction de µ à D, on voit que sa masse totale est
ˆµ( ˆ
Ω) = f dµ. (30)
Il est intéressant de noter que cette formule peut être démontrée même si f n’est
pas positive, c’est-à-dire sans faire la construction du domaine D. En effet, Kocergin
a montré dans [23] qu’une fonction f d’intégrale positive est cohomologue
à une fonction positive, c’est-à-dire peut s’écrire sous la forme f = g+φ◦T −φ,
avec g ≥ 0 et φ mesurable. De plus f et g ont même intégrale. Enfin, les produits
semi-directs associés à f et g sont métriquement isomorphes, par l’isomorphisme
Ω
(ω, t) ↦→ (ω, t + φ(ω)).
La formule (30), qui s’applique à la fonction positive g, passe donc bien à la
fonction f, sous la condition
Ω f dµ > 0 (si on a Ω f dµ < 0, la masse totale
est la valeur absolue de cette quantité).
4.2 Dimension d (Article 2)
Soit T une action stationnaire ergodique de Z d sur un espace de probabilité
(Ω, µ). Soit f un cocycle de Katok de degré 1 pour T (voir définition 2), mais à
valeur dans R d . Celui-ci est donc la donnée de d fonctions intégrables ( fi)1≤i≤d,
chacune à valeurs dans R d , vérifiant
δi fj = δj fi.
Soit enfin α le cocycle de Westman de degré 1, à valeurs dans R d , associé par
la formule (2).
La construction du flot spécial sous le cocycle f, décrite dans [16] suit la
même démarche qu’en dimension 1. Le produit semi-direct défini sur Ω×R d par
Sx(ω,t) = (Txω,t + α(ω, x))
commute avec le flot vertical (Vs) s∈R d, et la construction d’un domaine fondamental
pour les S-orbites n’est possible que si S est totalement dissipative. A
nouveau, le résultat de Schmidt restant valide, cette condition est équivalente à
la convergence ponctuelle
liminf α(ω, x) = +∞. (31)
x→+∞
Lorsque le cocycle f est d’intégrabilité Ld,1, il vérifie le théorème ergodique
ponctuel, c’est-à-dire que l’on a la convergence ponctuelle
α(ω, x) − Lx
lim
= 0, (32)
x→+∞ x
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