DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

soit un potentiel vecteur pour le champ y ↦→ f(Tyω)? On obtient ainsi une
notion de cobord de degré 2 « à la J.K.O. » :
Définition 5. — Un vecteur aléatoire intégrable f est un cobord de J.K.O. de
degré 2 si il existe un vecteur aléatoire intégrable g ′ tel que p.s. ω on ait pour
toute fonction φ de classe C∞ à support compact dans R3 , pour tous i, j
g ′ i(Tmω) ∂φ
(m) − g
∂mj
′ j(Tmω) ∂φ
(m) dλ(m) =
∂mi
φ(m)fi,j(Tmω) dλ(m),
ces sommes étant prises sur les permutations cycliques de (1, 2, 3). On notera
f = rotTg ′ .
D’après la formule divTrotT = 0, tout cobord de J.K.O. de degré 2 est un
cocycle de J.K.O. Réciproquement, tout cocycle f de J.K.O. de degré 2 n’est
pas un cobord de J.K.O., mais l’on a
Proposition 3. Soit un système dynamique probabilisé (Ω, A, µ, (Tx) x∈R d) ergodique.
Les cobords de J.K.O. de degré 2 d’intégrabilité L p sont denses dans
l’espace des cocyles de J.K.O. de degré 2, d’intégrabilité L p et d’espérance nulle.
Schéma de démonstration.— Cela vient du fait qu’étant donné un cocyle de
J.K.O. f de degré 2, d’intégrabilité L p , le champ défini par
vérifie
g ′ j(ω, y) =
1
0
yifij(Tsyω) ds. (8)
i
rotTg ′ (., y) = f ◦ Ty − f (9)
(noter la ressemblance entre les formules (6) et (7) page 12 d’une part et les
formules (8) et (9) ci-dessus d’autre part). En posant alors
g ′ N(ω) = 3
4πN3
g ′ (ω, y) dy,
on obtient
y