DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

améliorer dans le sens suivant : soit β (2) un cocycle de Westman tel que l’une
des conditions (14) ou (15) n’est pas vérifiée. Est-il alors cohomologue à un
cocycle de Westman α (2) associé à un cocycle-potentiel g par la formule (11)?
Soit encore, tout cocycle de Westman est-il cohomologue à un cocycle vérifiant
les conditions (14) et (15)?
Pour finir, donnons un exemple de cocycle de Westman ne vérifiant pas la
condition (14), et d’un ne vérifiant pas la condition (15). Soit
β (2) (ω, A, B) = −→
OA 3 + −→
AB 3 − −→
OB 3 .
Alors β (2) est un cocycle de Westman ne vérifiant pas la condition (15). Un
cocycle ne vérifiant pas la condition (14) est étudié dans le paragraphe suivant.
2.4 Exemple brownien
Dans le paragraphe 2.2 sur la résistivité du milieu aléatoire, nous avons
présenté un exemple de cocycle de Westman de degré 2 contruit à partir d’un
cocycle de J.K.O. Dans le paragraphe ci-dessous, nous présentons un cocycle
de degré 2 qui ne vient pas d’un cocycle de J.K.O., puisqu’il ne vérifie pas le
théorème ergodique local. Cet exemple s’appuie sur le drap brownien de R 2 .
2.4.1 Processus browniens classiques à 1 et 2 paramètres
Mouvement brownien. Une construction simple du mouvement brownien
usuel, sur l’intervalle [0, 1], s’inspire de la notion de bruit blanc. Considérons
une suite de variables aléatoires indépendantes (Xk)k≥1, de loi uniforme sur
l’intervalle [0, 1]. Soit (εk)k≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de
Bernoulli, dont la loi est l’équiprobabilité sur {−1, 1}. On suppose que les deux
suites sont indépendantes. Soit pour tout entier n fixé, le processus Pn défini
sur l’intervalle [0, 1] par
Pn(t) = 1
√ n
n
k=1
εk1 [0,t](Xk).
Alors, d’après le théorème limite central, ce processus converge en loi (au sens
où les marginales finies convergent) vers un processus gaussien (B(t))t dont la
moyenne et la covariance sont données par
m(t) = E(ε11
[0,t](X1));
c(s, t) = cov ε11 [0,t](X1), ε11 [0,s](X1) .
On vérifie aisément que m(t) = 0 et c(s, t) = min(s, t), donc le processus B est
le mouvement brownien 1 .
1On a de plus un « principe d’invariance », c’est-à-dire la convergence de la loi des trajectoires
du processus Pn vers la mesure de Wiener. Cela se démontre grâce à un théorème de
convergence en loi pour martingales. En effet pour tout n, le processus (Pn(t))t est une martingale.
De plus son crochet An = [Pn, Pn] se calcule explicitement : An(t) = 1 Pn n k=1 1 [0,t](Xk).
Il vérifie donc, pour t fixé, la convergence en loi An(t) ↦→ t pour n tendant vers l’infini. Enfin,
le processus à trajectoires continues (Yn(t))t, obtenu à partir de Pn par interpolation linéaire,
vérifie supt |Pn(t) − Yn(t)| ≤ 1
√ , puisque les sauts de Pn sont bornés par √
1
. D’après la
n n
proposition 7.3.26 du livre de Dacunha-Castelle (tome 2 [6], ou le théorème 5 page 51 du
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