DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

J.K.O. ont montré l’existence d’une matrice symétrique définie positive R0 telle
que
E(P) = 〈 I, R0 I〉.
Soit ω fixé. On veut calculer la résistivité effective du milieu. Considérons,
dans le milieu comprimé d’un facteur R, une cellule cubique, de cotés parallèles
aux axes, de longueur c et de centre x. D’un point de vue macroscopique, elle
est traversée par le champ de courant
JR(c, x,
I, ω) =
Ci
〈
f(TRyω),ei〉 dσ(y)
i=1,...,3
chaque flux étant pris à travers la section carrée Ci de la cellule, passant par
son centre x et de normale le i-ème vecteur ei de la base canonique de R3 . La
puissance dissipée dans cette cellule est donnée par
PR(c, x,
I, ω) = P(TRyω) dy
l’intégrale portant sur la cellule elle-même.
D’après la loi d’Ohm, la résistance de cette cellule, pour une direction de
courant parallèle à JR(c, x, I, ω), est la quantité ρ égale à la puissance dissipée
que divise le carré de l’intensité de courant :
ρ = PR(c, x, I, ω)
JR(c, x, .
I, ω)2 Sa résistivité est sa résistance que multiplie sa section et que divise sa longueur,
soit
ρ c2
c = c PR(c, x, I, ω)
JR(c, x, I, ω)2. Supposons pour le moment que l’on puisse, pour tout J ∈ R 3 , choisir la donnée
I de façon à imposer la direction du courant traversant la cellule JR(c, x, I, ω)
égale à J (cela est vérifié ci-dessous). Notons IR(c, x, J, ω) la solution I, et
˜PR(c, x, J, ω) la puissance dissipée correspondante. La limite du tenseur de résistivité
de la cellule est la matrice R0 si, quelque soit la direction de courant
J, la limite de la résistivité de la cellule est 〈 J,R0 J〉
J 2 , soit si l’on a la convergence
c ˜ PR(c, x, J, ω)
J 2
〈
−→
R→+∞
J, R0 J〉
J2 .
De plus la résistivité du milieu lui-même converge si la convergence ci-dessus a
lieu pour toutes les cellules. Comme cela est expliqué ci-dessous, l’existence d’un
ensemble négligeable de réalisations en dehors duquel la convergence ci-dessus a
lieu pour toutes les cellules (contenues dans la boule de centre 0 et de rayon 1,
voir le corollaire 2) est une conséquence du théorème ergodique ponctuel pour
cocycle de de J.K.O. degré 2 dans R 3 . Pour pouvoir appliquer ce théorème au
vecteur aléatoire f, il faut vérifier que ce dernier a l’intégrabilité L2,1. C’est ce
que nous avons démontré, dans un travail encore à l’état de prépublication (voir
annexe) :
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