DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

Remarquons que la solution f du système linéaire ci-dessus variant linéairement
par rapport à la donnée I, on peut toujours choisir cette dernière de façon
à imposer la direction du courant JR(c, x, I, ω) traversant la cellule, lorsque R,
c, x et ω sont fixés, l’injectivité étant garantie (pour c pas trop petit et R assez
grand) par la première convergence du corollaire ci-dessus. Pour c0 > 0 fixé, R
assez grand, c > c0, et J ∈ R 3 , notons IR(c, x, J, ω) la donnée I telle que
JR(c, x, I, ω) = J.
Enfin, notons ˜ PR(c, x, J, ω) la puissance correspondante dans la cellule. On a :
Corollaire 2. Soit c0 > 0. Pour presque tout ω, on a la convergence
c ˜ PR(c, x, J, ω)
J 2
〈
−→
R→+∞
J, R0 J〉
J2 ,
uniforme en J, et en c > c0 et x tels que la cellule de centre x et de coté c soit
contenue dans la boule B.
Démonstration— Remarquons que multiplier J par un scalaire ne change pas
les fractions qui apparaissent dans le corollaire. On peut donc supposer que
J = 1. D’après le corollaire 1, la donnée I est proche de J/c 2 . L’hypothèse
c > c0 assure donc que I reste borné. On déduit alors du corollaire 1 que la
puissance ˜ P( J) = P( I) est proche de c 3 〈 I, R0 I〉. On a donc c ˜ P( J) ∼ 〈 J, R0 J〉,
ce qui prouve le corollaire.
Comme cela a été dit plus haut, cette convergence signifie que la résistivité
limite de toute cellule pour un courant de direction J est 〈 J, R0 J〉
J2 , donc que
le tenseur de conductivité limite est R0. De plus comme l’ensemble négligeable
en dehors duquel il y a convergence ne dépend ni de la cellule, ni de la direction
du courant, c’est bien la résistivité effective du milieu lui-même qui converge.
2.3 Cocycle de Westman de degré 2 en dimension 3
Au degré 1, le cocycle de Westman α associé à un cocycle f de J.K.O. s’identifie
au potentiel aléatoire (nul en 0) dont dérive le champ aléatoire x ↦→ f(Txω).
Cette identification du potentiel et du cocycle de Westman n’est plus possible
pour un cocycle f de J.K.O. de degré 2. On peut cependant considérer le potentiel
vecteur aléatoire gω dont dérive le champ à flux conservatif x ↦→ f(Txω).
Ce dernier constitue un objet intermédiaire entre les cocycles de Westman et de
J.K.O.
2.3.1 Une troisième notion de cocycle de degré 2
Il faut d’abord caractériser les champs susceptibles d’être des potentiels vecteurs
de cocycle de J.K.O. Cela nous amène à définir une nouvelle notion de
cocycle, appelé « cocycle-potentiel » pour éviter les confusions.
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