DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

D2 = {(r, θ), ψ < θ < θx + π
2 , 0 < r < rx cos(θ − θx)}
En intégrant en r puis en θ, l’intégrale double ci-dessus devient
1
rx + ry + ry sin(ψ − θy) − rx sin(ψ − θx) . (16)
2
2 Or comme ψ vérifie rx cos(ψ − θx) − ry cos(ψ − θy) = 0, on a
rx sin(ψ − θx) − ry sin(ψ − θy)
En remplaçant dans (16), cela donne
2
= r 2 x + r2 y − 2rxry cos(θy − θx).
= 1
rx + ry − r
2
2 x + r2 y − 2rxry
cos(θy − θx) ,
= 1
(x + y − x − y),
2
ce qui est bien la covariance du mouvement brownien (Bx) x∈R 2 à plusieurs
paramètres de Lévy. Il est à noter que la probabilité uniforme sur [0, 1] ×[0, 2π],
ou plus exactement la mesure uniforme sur R+ × [0, 2π], a une interprétation
géométrique. En effet si (r, θ) représente un système de coordonnées pour la
droite affine passant par le point (r cosθ, r sin θ) et tangente au cercle de centre
O et de rayon r, alors la mesure drdθ est la mesure uniforme sur l’espace des
droites affines, c’est-à-dire la mesure invariante par les isométries affines de R 2 .
Le domaine Ax représente alors l’ensemble des droites sécantes au segment [O, x].
Remarquons que la restriction du champ aléatoire B à une demi-droite affine
donnée suit la loi du mouvement brownien classique à 1 paramètre, c’est-à-dire,
pour tout point x et tout vecteur u de norme 1 le processus défini par
t ↦→ Bx+tu − Bx
est un mouvement brownien de R+. C’est une conséquence immédiate de la
formule min(s, t) = (|s| + |t| − |s − t|)/2. Cette propriété est caractéristique : à
l’origine, Lévy a défini son mouvement brownien à plusieurs paramètres comme
étant le processus à accroissements stationnaires, nul en 0, dont les restrictions
aux demi-droites affines ont la loi du mouvement brownien classique.
Enfin, rappelons que le mouvement brownien à plusieurs paramètres de P. Lévy
B étant un processus à accroissements stationnaires partant de 0, l’action T
définie sur l’espace Ω = {(Bx)x} de ses trajectoires par (TxB)y = Bx+y − Bx
est stationnaire, et la fonction F définie sur Ω × R 2 par
F(B, x) = Bx
est un cocycle de Westman de degré 1 pour T (au sens faible a priori, c’est-à-dire
avec l’équation de cocycle vérifiée pour tout x, y, p.s. ω, et au sens fort pour la
version p.s. continue, c’est-à-dire avec l’équation de cocycle vérifiée pour ω en
dehors d’un ensemble négligeable ne dépendant pas de x, y).
Retour sur le drap brownien La construction analogue sur les droites affines
de R 3 donne un cocycle de degré 2, dont les restrictions aux plans ont la loi
23