DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

1 Introduction
L’objet mathématique modélisant l’évolution d’un observable en fonction
d’un paramètre (le temps par exemple) ou de plusieurs (les dimensions spatiales
généralement) est le système dynamique. Pour étudier les propriétés d’un système
dynamique du point de vue statistique, on munit l’espace des observables
d’une structure d’espace probabilisé. La théorie ergodique est la branche des
mathématiques qui étudie ces systèmes dynamiques. Elle essaie entre autres de
les classer, par exemple en mesurant la quantité de hasard qu’ils contiennent,
ou en étudiant le type de comportement des trajectoires sur une longue période
de temps, dans le cas d’un système à un paramètre, ou dans une grande portion
d’espace, dans le cas d’un système à plusieurs paramètres. La notion de cocycle
est l’analogue, pour le système dynamique, de celle de forme différentielle, qui
a permis la classification des variétés différentiables en géométrie. Elle est donc
une voie naturelle pour l’étude des systèmes dynamiques. Nous avons travaillé à
clarifier des questions de cohomologie. D’autre part, comme les formes différentielles,
les cocycles ont des connexions avec des problèmes issus de la physique.
Sur cet aspect, nous avons entre autres répondu à une question d’électricité
posée par Kesten dans [21].
Une somme sur la théorie des systèmes dynamiques est le livre de Katok et
Hasselblatt[17].
1.1 Présentation de la situation
Considérons un système dynamique probabilisé (Ω, A, µ, T) , où T est une
action mesurable stationnaire (c’est-à-dire préservant la probabilité µ) du groupe
Z d ou R d . Les notions de cocycle pour ces deux groupes étant assez différentes,
nous les présentons séparément.
1.1.1 Action de Z d
Dans le cas d’une action de G = Z d , il y a deux notions de cocycles de
degré k ≥ 1. La première, due à Westman (voir [38]), est tirée de la théorie des
groupes.
Définition 1 (Westman). Un cocycle de degré k ≥ 1 est une fonction α (k)
mesurable définie sur Ω × G k , vérifiant p.s. ω, pour tous x0, . . . , xk dans G,
α (k) (Tx0ω, x1 − x0, . . .,xk − x0) −
k
(−1) j α (k) (ω, x0, . . ., ˆxj, . . .,xk) = 0,
j=0
où le chapeau indique la variable omise.
La seconde, due à A. et S. Katok (voir [18]), est inspirée de la géométrie
différentielle. On note (e1, . . . , ed) la « base » canonique de Z d , et on pose Ti =
Tei.
Définition 2 (A. et S. Katok). Un cocycle de degré k = 1, . . .,d est un vecteur
aléatoire f (k) = (f (k)
i1,...,ik )1≤i1