DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

Westman associé étant
⎧
m−1
α (1) f
⎪⎨ j=0
(ω, m) =
⎪⎩
(1) (T j ω) si m > 0
0 si m = 0
−1
− f (1) (T j ω) si m < 0
j=m
De nombreux exemples de cocycles de degré 1 ont été étudiés ; le cocycle de
degré 1 est en effet un outil dans la construction d’exemples de systèmes dynamiques
(flots spéciaux). Cette construction passe d’ailleurs à la dimension
d ≥ 1 (voir Katok [16]), toujours avec un cocycle de degré 1. De même le très
classique théorème ergodique sur la convergence des moyennes de Cesàro de la
suite (T j f (1) )j suivant l’intégrabilité de f (1) a une version pour les cocycles de
degré 1 d’une action de Z d , voir Boivin et Derriennic [3]. Il est aussi démontré
par ces auteurs que les cobords L p de degré 1 sont denses dans l’espace des
cocycles L p de degré 1.
Il y a par contre peu d’études sur les degrés supérieurs. Des travaux algébriques
assez abstraits ont été menés à partir de la définition de Westman, pour
relier la théorie ergodique à la théorie de la cohomologie des groupes (Feldman-
Moore [9] ; Westman ; Mackey [31]). Notons le résultat essentiel de Feldman-
Moore : tout cocycle mesurable de degré ≥ 2 d’une action ergodique de Z d est
un cobord mesurable. Une version de ce résultat pour la définition de Katok a
été démontrée par Lind dans [27] pour le degré k = d. Cette dernière a entre
autres pour conséquence que pour toute action libre ergodique de Z 2 , pour toute
fonction mesurable f (par exemple f ≡ 1) on peut trouver deux fonctions f (1)
1 ,
f (1)
2
mesurables telles que
f = δ1f (1)
2
− δ2f (1)
1 .
Le résultat de Feldman et Moore a un peu sonné le glas de la voie de la cohomologie
des groupes abstraits en théorie ergodique.
Notons aussi le travail de A. et S. Katok qui se place dans un cadre géométrique.
L’espace de probabilité est un tore, et l’action T est engendrée par des
automorphismes hyperboliques. Ils démontrent que la cohomologie de classe C ∞
est triviale aux degrés k ≤ d − 1, et est déterminée par les orbites périodiques
au degré k = d. Ils généralisent ainsi le travail de A. N. Livˇsic [29], qui portait
sur le cas du degré 1 pour une action de R.
1.1.2 Action de Rd Bien que Katok et al. ne considèrent que le cas d’une action de Zd , leur définition
de cocycle de degré k se transpose au cas d’une action de Rd , en remplaçant
formellement l’opérateur δi par le générateur infinitésimal L1 du groupe à un
paramètre t ↦→ Ttei. Cette définition impose que les fonctions considérées appartiennent
aux domaines des générateurs infinitésimaux. Cette condition peut
être affaiblie, par une méthode analogue à celle utilisée pour définir les distributions.
Cette notion faible est notamment considérée par Jikov, Kozlov et Oleinik
(J.K.O.), voir [15] :
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