DOCUMENT DE SYNTH`ESE - lmpt - Université François Rabelais

L’exemple de la dérivation du mouvement brownien est caractéristique. En
effet, les trajectoires de ce processus étant des fonctions continues, elle définissent
une distribution aléatoire T sur R+. Pour toute fonction φ à support compact
dans ]0, +∞[, on pose
La covariance KT est
KT(φ, ψ) =
=
〈T, φ〉 =
+∞
0
+∞ +∞
0 0
+∞ +∞
0
0
φ(t)Bt dt.
φ(t)ψ(s)cov(Bt, Bs) dtds
φ(t)ψ(s)min(s, t) dtds.
Calculons maintenant sa dérivée T ′ . Suivant la théorie des distributions, cette
distribution est définie par 〈T ′ , φ〉 = −〈T, φ ′ 〉. Sa covariance KT ′ est donc
KT ′(φ, ψ) = KT(−φ ′ , −ψ ′ )
=
+∞ +∞
φ
0 0
′ (t)ψ ′ (s)min(s, t) dtds. (24)
L’intégrale en t se calcule en deux morceaux, de 0 à s puis de s à l’infini. On
obtient +∞
φ ′ (t)min(s, t) dt = Φ(0) − Φ(s)
0
où Φ est une primitive de φ. Puis l’intégrale en s se calcule par parties. Finalement
on obtient
KT ′(φ, ψ) =
+∞
0
φ(s)ψ(s) ds; (25)
T ′ est donc le bruit blanc sur R+.
Notons que la covariance KT ′ est invariante par la translation des fonctions. On
retrouve ainsi que le mouvement brownien est à accroissements stationnaires.
Le calcul de dérivée ci-dessus peut aussi se faire formellement très rapidement,
si l’on utilise les formules de dérivation classiques :
∂
∂s (|s| ds) = 1R+(s) − 1R−(s) ds
∂
(1R+(s) − 1R−(s)
∂s
ds = 2δ0(ds)
où δ0 est la mesure de Dirac en 0. Comme on a min(s, t) = 1
2 (|s| + |t| − |s − t|),
on obtient
∂ ∂
∂s ∂t (min(s, t) dsdt) = δ {s}(dt)ds,
qui est la mesure uniforme sur la diagonale s = t. La formule (24) donne donc,
après une double intégration par parties
KT(−φ ′ , −ψ ′ +∞ +∞
) =
0 0
ce qui est bien le résultat (25) attendu.
29
φ(t)ψ(s) δ {s}(dt) ds,