TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

10 Chap. 1
Cette recherche du bon cadre algébrique nous a conduit à prolonger le
résultat de Foata-Zeilberger, valable sur les seuls groupes symétriques, aux
classes des réarrangements de mots quelconques (avec répétitions). La difficulté
initiale était de trouver d’abord la bonne définition de “den” pour
les mots quelconques, ensuite de construire une bijection d’une classe de
réarragements sur elle-même qui envoie la paire (des, maj) sur (exc, den).
La construction de cette bijection, appelée troisième transformation fondamentale,
est donnée dans la troisième partie de ce chapitre.
On connaissait jusqu’ici deux autres transformations du même type,
valables pour toutes les classes de mots. La première envoyait la statistique
eulérienne “exc” sur “des,” la seconde la statistique mahonienne
“maj” sur “inv” (cf. [Fo1]). Cette troisième transformation envoyant une
statistique bivariée euler-mahonienne sur une autre, donc en particulier
“des” sur “exc,” peut être considérée comme le q-analogue de la première
transformation.
Les techniques d’algèbre non-commutative développées ici, bien que
reprenant les méthodes de commutation partielle introduites dans la construction
de la première transformation, sont d’un emploi plus délicat. La
h-transposition, par exemple, définie sur les bimots, dépend fondamentalement
du contexte des deux bilettres consécutives à permuter.
Nous avons fait figurer à la fin de chaque partie de ce chapitre la
bibliographie propre à cette partie. Les références apparaissant dans cette
introduction renvoient à la bibliographie de la troisième partie.