TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

36 Chap. 1 – Part. 1.3
(des, maj)- et (exc, den)-codageable. Pour l’exemple ci-dessus on voit que
la nouvelle application définie par
ρ −1
mix (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = ρ −1
5
= (4, 5, 3, 6, 2, 7, 1, 8, 0)
(0, 1, 2, 3, 4), ρ−1
7
(5, 6), ρ−1 8 (7), ρ−1 9 (8)
est encore une permutation (renumérotation) sur [0, 8]. (Voir les lettres
grasses dans le tableau précédent.)
Quelle est la règle du choix pour les lettres 9, 8, 7 et 5 ? Ici, pour la
première fois, les descentes et les excédances apparaissent dans une même
construction. Soit π ∈ Sn−1 une permutation dont le nombre d’excédances
exc π est égal à h. Les valeurs v = π(i) telles que π(i) > i ont été
appelées valeurs excédantes ; on note Exc π = (v1 < v2 < · · · < vh) la
suite croissante des valeurs excédantes ou, si l’on veut, le réarrangement
croissant du mot Exc π.
Dans l’exemple que nous traitons, Exc(71548326) = 578. Les lettres de
ce mot sont justement les lettres qu’on a choisies pour les insertions dans
le tableau précédent. De façon générale, posons :
[D2] ρ −1
mix (x) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ρ −1
v1 (x) , si 0 ≤ x < v1 ;
ρ−1 v2 (x) , si v1
· · · · · ·
≤ x < v2 ;
ρ−1 vh (x) , si vh−1 ≤ x < vh ;
ρ −1
n (x) , si vh ≤ x < n.
LEMME 5.3. — L’application ρmix définie ci-dessus est une permutation
sur [0, n − 1].
DÉMONSTRATION. — Soient k < l deux valeurs excédantes consécutives
de la permutation π. On a donc nécessairement : ou bien π(k) < k, ou
bien π(k) > l − 1. Pour démontrer le lemme, il suffit de vérifier que le mot
ρ −1
l (0, 1, · · · , k − 1) est un réarrangement du mot ρ −1
k (0, 1, · · · , k − 1). Ceci
est vrai d’après le lemme 5.2, puisque l’entier k satisfait les conditions de
ce lemme.
On définit la nouvelle M-bijection Ψmix : Sn−1 × [n − 1] → Sn de la
façon suivante : soit Exc π = v1v2 · · · vh la suite croissante des valeurs
excédantes de la permutation π. Par convention, on pose v0 = 0 et
vh+1 = n. Soient x une place et j l’entier tel que vj−1 ≤ x < vj. On
définit (voir [D2] et [D1] ) :
Ψ ′ mix(π, x) = · · · πxvjπx+1 · · · .