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$Banach J. Math. Anal. 4 (2010), no. 2, 37–44 FUNCTIONAL ... - EMIS$

$Banach J. Math. Anal. 2 (2008), no. 1, 16–20 A STUDY ON ... - EMIS$

8 Guo-Niu HAN façon, la symétrie de ce polynôme à trois variables est évidente. On introduit, enfin, un codage des fonctions excédantes, servant à construire une involution qui conserve ces statistiques “max” et “fix”, et échange le nombre de points saillants et le nombre de points surfixes. BIBLIOGRAPHIE [C-F] P. CARTIER et D. FOATA. — Problèmes combinatoires de permutations et réarrangements. — Berlin, Springer-Verlag, 1969 (Lecture Notes in Math., 85). [Den] M. DENERT. — The genus zeta function of hereditary orders in central simple algebras over global fields, Math. Comp., t. 54, 1990, p. 449–465. [D-F] D. DUMONT et D. FOATA. — Une propriété de symétrie des nombres de Genocchi, Bull. Soc. math. France, t. 104, 1976, p. 433-451. [F-S] D. FOATA et M.-P. SCHÜTZENBERGER. — Théorie géométrique des polynômes eulériens. — Berlin, Springer-Verlag, 1970 (Lecture Notes in Math., 138). [F-Z] D. FOATA et D. ZEILBERGER. — Denert’s Permutation Statistic Is Indeed Euler- Mahonian, Studies in Appl. Math., t. 83, 1990, p. 31–59. [Gup] G. GUPTA. — Problem No. 9, in Combinatorics and Algebra [C. GREENE, éd. 1984], p. 310. — Contemporary Mathematics, vol.34. [L-S] A. LASCOUX et M.-P. SCHÜTZENBERGER. — Le monoïde plaxique, Non-commutative Structures in Algebra and geometric Combinatorics [A. de Luca, ed., Napoli. 1978], p. 129–156. — Roma, Consiglio Nazionale delle Ricerche, 1981 (Quaderni de “La Ricerca Scientifica”, 109). [MacM] P.A. MACMAHON. — The indices of permutations and the derivation therefrom of functions of a single variable associated with the permutations of any assemblage of objects, Amer. J. Math., t. 35, 1913, p. 281–322.
CHAPITRE 1 LA STATISTIQUE DE DENERT L’étude des statistiques euler-mahoniennes a été remise en faveur récemment à la suite des travaux de Denert [Den] sur le calcul des fonctions zêta attachées aux structures d’ordre de certaines algèbres simples. D’un point de vue proprement combinatoire, on lui doit l’introduction d’une nouvelle statistique d’ordre sur les permutations, appelée “den” dans tout le présent travail, et d’avoir conjecturé que la paire (exc, den), où “exc” est le nombre usuel d’excédances d’une permutation, avait la distribution euler-mahonienne sur le groupe symétrique. Le résultat a été démontré tout d’abord par FOATA et ZEILBERGER [F-Z] et la question naturelle qui se posait était d’établir ce résultat combinatoirement, c’est-à-dire sachant que la paire classique (des,maj) est euler-mahonienne, de construire une bijection de Sn sur lui-même qui envoie la paire (des,maj) sur la paire (exc,den). Nous avons donné la construction de deux telles bijections, dans deux notes aux Compte-Rendus, que nous reproduisons dans le présent chapitre en parties 1.1 et 1.2. La première de ces bijections repose sur une manipulation des chemins de Motzkin valués ; elle a pour propriété complémentaire de donner une démonstration directe du fait que le cardinal de l’ensemble de ces chemins est n! sans passer par l’intermédiaire du groupe symétrique. La seconde bijection utilise une extension du procédé d’insertion de RAWLINGS et fournit aussi une démonstration directe du fait que les deux paires (des, maj) et (exc, den) sont euler-mahoniennes. A priori, la statistique “den” se prêtait mal aux calculs. Pour la rattacher aux autres statistiques mahoniennes, comme l’indice majeur “maj” et le nombre d’inversions “inv,” il a fallu faire une étude globale de toutes les distributions euler-mahoniennes. L’introduction des invervalles cycliques permet de trouver le cadre naturel englobant toutes les statistiques classiques, y comprix “den.”
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