TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

48 Chap. 1 – Part. 1.3
permutation des maj
σ = 71548326 4 15
σ c = 28451673 3 13
(σ c ) r = 37615482 4 17
Tableau 7
Par exemple, par σ = 71548326, on a le tableau 7 :
Soit id r le retournement de la permutation id, on fixe une route ζ de id r ,
par exemple, la plus petite route ζ = 1213214321 · · · (n−1)(n−2) · · · 4321.
D ÉFINITION 9.1. — Soit σ ∈ Sn, le ζ-retournement [σ] r et le ζcomplément
[σ] c de σ sont définis par
et
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
( id σ)
( id σ)
retournement
↦−−−−−−−−−−−−→ ( idr
r )
complément
↦−−−−−−−−−−→ ( idc
σ c +1 )
σ
Tζ
↦−−→ ( id
[σ] r)
Tζ
↦−−→ ( id
On vérifie que les deux applications σ ↦→ [σ] c et σ ↦→ [σ] r sont bijectives.
LEMME 9.2. — Avec les notations précédentes, on a
exc σ = exc[σ] r ;
den σ + den[σ] r = n · exc σ;
exc σ + exc[σ] c = n − 1;
den σ + den[σ] c = n(n − 1)/2.
Par exemple, pour σ = 71548326, les tableaux 8 et 9 suivants montrent
que [σ] r = 68273154, [σ] c = 35714682 et vérifient ce lemme.
[σ]
c) .
permutation exc den-codage den
( id σ) = ( 12345678
71548326) 3 00203242 13
r ( idr
r
σ ) = (87654321 62384517) 3 01120412 11
Tζ ( id
[σ] r) = (12345678 68273154) 3 11
Tableau 8