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UNIVERSITÉ LOUIS PASTEUR Département de Mathématique INSTITUT DE RECHERCHE MATHÉMATIQUE AVANCÉE Unité associée au C.N.R.S. 001 STRASBOURG TH ÈSE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR par GUO-NIU HAN A.M.S. Subject Classification (1980) 05A15 05A17 33A15 33A75 Mots clefs : Statistiques euler-mahoniennes, nombre d’inversions, indice majeur, permutations, mots, réarrangements, commutation, tableaux de Young, nombres de Kostka, nombres de Genocchi, q-analogues. Titre : CALCUL DENERTIEN Soutenue le 17 janvier 1992 devant la Commission d’Examen : MM. D. FOATA, Président du Jury, J.-P. JOUANOLOU, Rapporteur interne, A. LASCOUX, Rapporteur externe, J. D ÉSARMÉNIEN, M. MIGNOTTE.
TABLE DES MATI ÈRES Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 CHAPITRE 0. — Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 CHAPITRE 1. — La statistique de Denert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 PARTIE 1.1. — Distribution Euler-mahonienne : une correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 PARTIE 1.2. — Une nouvelle bijection pour la statistique de Denert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PARTIE 1.3. — La troisième transformation fondamentale . . . . . 23 CHAPITRE 2. — Statistique sur les tableaux de Young . . . . . . . . . . . 73 PARTIE 2.1. — Croissance des polynômes de Kostka . . . . . . . . . 75 PARTIE 2.2. — Polynômes de Kostka-Foulkes : une étude statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 CHAPITRE 3. — Symétries trivariées sur les nombres de Genocchi . 103 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
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