TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

42 Chap. 1 – Part. 1.3
EXEMPLE 7.5.
(i) On prend a = id. Par le lemme 7.2(iii), on a : exc id = exc et
den id = den.
(ii) On prend a = n (i.e., ai = n pour tout i). Par le lemme 7.2 (i),
on a : exc n = 0 et den n = inv.
(iii) On pose aσ (n) = n et aσ (i) = σi+1 pour i ≤ n − 1. Alors, par le
lemme 7.2 (ii), on a exca = des et den a = maj.
REMARQUE. — Cette définition est facile à prolonger à l’ensemble
des mots quelconques, parce qu’on n’a pas utilisé la propriété “sans
répétition” de la permutation σ. Par conséquent, si l’on considère le cas
où la future-suite est simplement une suite a, on trouve une définition
de la statistique (exc, den) pour les bimots w = ( a σ) où σ est un mot
quelconque. Par exemple, pour le bimot w = ( 551123612547
312431153434), on a exc w = 5
et den w = 27. Dans cette partie, on va étudier ultérieurement les cas
particuliers suivants : (voir l’annexe [A7])
(i) Dans le théorème 7.8, on étudie le cas où a et σ sont toutes les
permutations ;
(ii) Dans l’annexe [A6], on étudie le cas où a est une suite croissante
et sur-excédante, et σ une permutation ;
(iii) Dans la section 10, on étudie le cas où a est un mot quelconque, et
σ un réarrangement de a.
D’après la définition 7.4, si l’on pose sj = # Factj(σ) ∩ ]σj, a σ (j)], on
peut vérifier que Ψ a : a ↦→ (s = s1s2 · · · sn) est une bijection de Sn sur
SEn.
LEMME 7.6. — Pour toute future-suite a, la statistique den a est toujours
mahonienne. La bijection Ψ a définie ci-dessus est un den a -codage.
Par exemple, pour a = 478623915 et σ = 854396271, on a exc a (σ) = 4.
Le den a -codage vaut Ψ a = 002203624, d’où den a (σ) = 19. Dans ce qui
suit, on va fixer les future-suites a comme les suites a = a1a2 · · · an
indépendantes de la permutation σ.
LEMME 7.7. — La statistique exc a est eulérienne, si et seulement si a
est une permutation.
D ÉMONSTRATION. — Si a est une permutation, alors exca (σ◦a) = exc σ,
d’où exc a et exc sont équidistribuées. Inversement, il n’existe qu’une seule
permutation σ telle que exc a (σ) = n − 1. De là a est une permutation.
La question naturelle à se poser maintenant est de savoir dans quelles