TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

34 Chap. 1 – Part. 1.3
ne change pas ; on met alors un point au-dessous de cette place ; sinon, le
nombre de descentes augmente d’une unité ; on met, dans ce cas, un point
au-dessus de cette place. On renumérote les points 0, 1, 2, · · · , n − 1 en
commençant de droite à gauche pour les points en bas ; puis de gauche à
droite pour ceux du haut. On construit ainsi l’inverse de la renumérotation
associée. On la notera ρ −1
k .
Par exemple, si on prend k = 5 et π = 71548326, on a ρ −1
k
:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
4 5 3 6 2 7 1 0 8
ρ −1
k (x) •5 •6 •7 •8 πx < 5
πx+1
π = (0) 7 1 5 4 8 3 2 6 (0)
les places x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
πx > 5 πx+1
ρ −1
k (x) •4 •3 •2 •1 •0
D’après les deux lemmes précédents, en examinant les changements de
l’indice majeur, on peut vérifier le théorème suivant :
TH ÉORÈME 4.8. — La M-bijection Ψk est (des, maj)-codageable et a
pour renumérotation ρk.
On prend la permutation π = 71548326 et k = 5 ; les exemples du
tableau 3 vérifient ce théorème :
x Ψ5(π, x) des maj ρ −1
k (π, x)
0 5 7 1 5 4 8 3 2 6 4 19 4
1 7 5 1 5 4 8 3 2 6 5 20 5
2 7 1 5 5 4 8 3 2 6 4 18 3
3 7 1 5 5 4 8 3 2 6 5 21 6
4 7 1 5 4 5 8 3 2 6 4 17 2
5 7 1 5 4 8 5 3 2 6 5 22 7
6 7 1 5 4 8 3 5 2 6 4 16 1
7 7 1 5 4 8 3 2 5 6 4 15 0
8 7 1 5 4 8 3 2 6 5 5 23 8
Tableau 3
=