TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

26 Chap. 1 – Part. 1.3
Pour définir den u, nous avons non seulement besoin de “inv” qui
désigne le nombre d’inversions ordinaires, mais aussi le nombre d’inversions
faibles
imv u = #{i < j | ui ≥ uj}.
Comme pour les permutations ordinaires, on dit que pour le mot u =
u1u2 . . . un, l’entier i est une place d’excédance, ou de non-escédance, si
l’on a ui > ai, ou si l’on a ui ≤ ai. Comme dans la définition 1.1(iv), on
peut former les deux sous-mots Exc u et Nexc u.
DÉFINITION 1.3. — Pour un mot u, on pose
den u =
{i | ui > ai} + imv Exc u + inv Nexc u.
i
On notera que dans cette définition on prend les inversions faibles pour
le sous-mot des places d’excédances et les inversions ordinaires pour le
sous-mot des places de non-excédances.
Par exemple, pour le mot
a
=
u
1 1 1 2 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5
3 5 3 3 4 5 1 3 5 1 2 5 3 1
on a exc u = 7, puis Exc u = 3533455 et Nexc u = 1312531. D’où
den u = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 9) + imv(3533455) + inv(1312531)
= 30 + 9 + 7 = 46.
Le résultat essentiel de ce mémoire est de donner la construction de
cette troisième transformation fondamentale, c’est-à-dire, la construction
d’une bijection u ↦→ u de R(a) sur lui-même satisfaisant
des u = exc u ; maj u = den u.
La construction d’une transformation ayant ces propriétés entraîne le
théorème suivant.
THÉORÈME 1.4. — Pour tout mot u, les deux paires de statistiques
(des, maj) et (exc, den) sont équidistribuées sur R(u).
Pour la construction de la troisième fondamentale, nous avons repris
les techniques de décomposition des bimots en cycles (voir [Fo1]). Il faut
alors recourir à des transpositions de bilettres successives, dont la règle de
commutation est plus complexe que dans le cas de la construction de la
première transformation fondamentale. Nous terminons cette partie par
une présentation de plusieurs tableaux annexes.
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