TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

14 Chap. 1 – Part. 1.1
3. La Bijection
Il est commode d’introduire la notion de chemin évalué pointé. Il y en
a de deux sortes :
(3.1)
(3.2)
⊲
Un−1,k := {(u, p) : u ∈ Un−1,k, xp =↘ ou ⊲ };
−−−−−−→
Un−1,k−1 := {(u, p) : u ∈ Un−1,k−1, xp =↘ ou −→ };
Puis, on définit l’indice “ind” pour les chemins évalués pointés. Si
⊲
(u, p) ∈ Un−1,k, on marque tous les pas ↘ ou ⊲ dont le nombre total est
exactement k, et on les numérote 1, 2, . . . , k de droite à gauche. On pose
alors :
ind(u, p) := #{r ≥ p : xr =↘ ou ⊲}.
Le chemin inférieur de la figure 1 est un chemin évalué pointé (u, p)
avec comme paramètres : n − 1 = 14, k = 6, p = 5, ind(u, p) = 5. Si
(u, p) ∈ −−−−−−→
Un−1,k−1, on marque tous les pas ↘ et −→ dont le nombre total
est exactement n − k, et on les numérote k, k + 1, . . . , n − 1 de gauche à
droite. De même, on pose
ind(u, p) := (k − 1) + #{r ≤ p : xr =↘ ou −→}.
Par exemple, avec n − 1 = 14, k − 1 = 6, p = 5, ind(u, p) = 8, on
obtient le chemin inférieur de la figure 2. Pour construire l’application
Ψden, on distingue deux cas suivant que (v, sn) , avec v = (w, t) =
(x1x2 . . . xn−1, t1t2 . . . tn−1), appartient à Un−1,k × [0, k] ou à Un−1,k−1 ×
[k, n − 1] (cf. (2.2)).
Premier cas. — Supposons (v, sn) ∈ Un−1,k × [0, k]. D’abord si sn = 0,
on définit u = Ψden(v, sn) := (x1x2 . . . xn−1 → , t1t2 . . . tn−10). Par contre,
⊲
si sn = 0, d’après la définition de ind, on sait qu’il existe dans Un−1,k un
chemin évalué pointé unique (v, p) tel que ind(v, p) = sn. On fait alors
correspondre un chemin w ′ = y1y2 . . . yn et une suite t ′ = l1l2 . . . ln de la
façon suivante :
(W1) yr = xr, si r ≤ n − 1 et r = p ;
(W2) yp =−→, si xp =↘ ;
yp =↗,
(W3) yn =↘ ;
si xp = ⊲ ;
(T1) lr = tr, si r ≤ p − 1 ;
(T2) lp = hp(w ′ ) ;
(T3) lr+1 = tr, si p ≤ r ≤ n − 1, et xr =↘ ou −→ ;
lr+1 = tr + 1, si p ≤ r ≤ n − 1, et xr =↗ ou ⊲.