TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

40 Chap. 1 – Part. 1.3
l’on peut trouver la démonstration du fait que Ψmix est une M-bijection
(exc, den)-codageable.
Ici, on ne donne que la description de la renumérotation µ −1
mix telle que
Ψmix ◦ µ −1
mix est un (exc, den)-codage.
Pour la permutation π ∈ Sn−1 et les places x ∈ [0, n − 1], si x + 1 est
une valeur excédante de π ou si x + 1 = n, on met un point au-dessous de
cette place x ; sinon au-dessus. On renumérote les points 0, 1, 2, . . . , n − 1
en commençant de droite à gauche pour les points en bas, puis de gauche
à droite pour ceux en haut. La renumérotation µ −1
mix est la permutation
sur [0, n − 1] qui envoie la place x sur la numérotation de ce point.
Par exemple, pour n = 9 et π = 71548326, {Exc π} = {5, 7, 8}, on a
µ −1
mix = 0 1 2 3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 3 8 2 1 0 :
µ −1 (x) • 4 • 5 • 6 • 7 • 8
x + 1 /∈ {Exc π} ∪ {n}
π = 7 1 5 4 8 3 2 6
les places x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x + 1 ∈ {Exc π} ∪ {n}
µ −1 (x) •3 •2 •1 •0
7. Une définiton “universelle” pour les statistiques sur Sn
Les types de définition pour les statistiques sur le groupe symétrique
données dans la première section sont tous très différents. Le but de
cette partie est d’imaginer une définition générale en utilisant la notion
d’intervalle cyclique.
DÉFINITION 7.1. — Pour 1 ≤ j ≤ n le facteur (gauche) de longueur
(j − 1) de la permutation σ = σ1σ2 . . . σn est noté :
Factj σ = σ1σ2 . . . σj−1.
Le lemme suivant montre que beaucoup de statistiques peuvent s’écrire
sous une même forme. Par abus de langage, on notera, dans la suite,
# Factj(σ) ∩ ]x, y ] le nombre d’occurrences de lettres σ1, σ2, · · · , σj−1 qui
appartiennent à l’intervalle cyclique ]x, y ].
(i)
LEMME 7.2. — Avec la convention σn+1 = ∞, on a :
inv σ =
n
# Factj(σ) ∩ ]σj, ∞] ;
j=1