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30 Chap. 1 – Part. 1.3
un g-codage, alors le codage Ψ (ou parfois, la M-bijection Ψ) est dit gcodageable.
Soient (f, g) une statistique euler-mahonienne, le mot (f, g)codageable
est défini de la même façon.
REMARQUE 3.3. — Pour vérifier qu’une statistique g est mahonienne,
il suffit de construire une bijection g-codageable. Si g est mahonienne
et Ψ est une M-bijection g-codageable, alors il existe une et une seule
renumérotation ρ telle que Ψ ◦ ρ est un g-codage. Pour la statistique eulermahonienne
(f, g), on a la même propriété.
EXEMPLE 3.4
(i) Sur les ensembles SEn, Ψcan est un (eul, tot)-codage.
(ii) Sur les groupes symétriques Sn, la M-bijection Ψval est invcodageable.
Avec la renumérotation ρ(π, x) = (π, n−x−1), la composition
Ψval ◦ ρ est un inv-codage.
(iii) De même, la M-bijection Ψpos est inv-codageable. Avec la renumérotation
ρ(π, x) = (π, n − x − 1), la composition Ψpos ◦ ρ est un
inv-codage.
(iv) Dans la section suivante, on va démontrer que Ψval est (des, maj)codageable
(cf., par exemple, [Raw]), et que Ψcyc est maj-codageable (cf.
Corollaire 4.6).
(v) Soit σ = σ1σ ′ ∈ Sn, on pose π = σ ′ σ1. Alors, on a ch π = ch σ + 1
si σ1 = 1 et ch π = ch σ + 1 − n si σ1 = 1. D’où ch(Ψchσ) = ch σ + x.
Autrement dit, Ψch est un ch-codage. (cf. [L-S])
(vi) Soit σ ∈ Sn, on définit le nombre de filières de cette permutation
par fil σ = ch n, où ch n est la charge de la lettre n (cf. définition 1.1 (vi)).
Alors, par la bijection qui envoie une permutation σ sur le retournement
de son inverse : σ ↦→ (σ −1 ) r , on vérifie facilement que (fil, ch) est eulermahonienne.
4. Insertion de Rawlings et sa généralisation
En considérant la M-bijection Ψval et les statistiques des et maj, on a
immédiatement :
LEMME 4.1. — Soit π = π1π2 · · · πn−1 ∈ Sn−1 une permutation. Par
convention, on pose π0 = πn = 0. Alors le changement du nombre de
descentes après application de la M-bijection Ψval se calcule par :
des(Ψval(π, x)) − des π =
0, si πx > πx+1 ;
1, si πx < πx+1.