TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

28 Chap. 1 – Part. 1.3
La M-bijection Ψcyc est alors définie comme la fonction qui envoie le couple
(π, x), où π = π1π2 · · · πn−1, sur
Ψcyc(π, x) = (π1π2 · · · πn−10) + (x + 1).
Par exemple, Ψcyc(71548326, 3) = (715483260) + 4 = 259837614.
(vi) Dans [Ha1], nous avons construit une M-bijection Ψden sur les
ensembles Un des chemins de Motzkin.
(vii) Nous construisons, dans la section 5, une autre M-bijection, appelée
Ψmix, sur les groupes symétriques.
D ÉFINITION 2.2. — Si Ψ est une M-bijection sur les ensembles En, en
appliquant Ψ −1 itérativement, on obtient une bijection Ψ : En → SEn,
appelée codage. Cette bijection Ψ peut être caractérisée par le diagramme
commutatif suivant :
En−1 × [0, n − 1]
⏐
Ψ×id
SEn−1 × [0, n − 1]
Ψ
−−−−−→ En
⏐
Ψ
Ψcan
−−−−−→ SEn
Par exemple, sur Sn, le codage Ψpos donne le complément de tableau
d’inversion : Ψpos(71548326) = 00114115 ; le tableau d’inversion est
012345678 − 00114115 = 01120452 ; d’où inv(71548326) = 15.
3. Introduction aux statistiques euler-mahoniennes
D ÉFINITION 3.1. — Soient f, g deux statistiques sur En. On dit que f
est eulérienne (resp. g est mahonienne, resp. (f, g) est euler-mahonienne),
s’il existe une M-bijection Ψ(π, x) = σ satisfaisant la condition (i) (resp.
la condition (ii), resp. les conditions (i) et (ii)) suivantes :
(i)
(ii)
f(π), si 0 ≤ x ≤ f(π) ;
f(σ) =
f(π) + 1, si f(π) + 1 ≤ x ≤ n − 1 ;
g(σ) =g(π) + x.
Dans les deux derniers cas, le codage Ψ associé à la M-bijection Ψ est
appelé respectivement g-codage et (f, g)-codage et on a g(σ) = tot(Ψ(σ)).
Notons
σ∈Sn tf(σ) qg(σ) =
k≥0 An,k(q)tk la fonction génératrice de la
statistique euler-mahonienne (f, g). Les polynômes An,k(q) sont appelés