TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

6 Guo-Niu HAN
Nous avons donné la construction de deux telles bijections, décrites
dans deux notes aux Compte-Rendus, reproduites ici comme parties 1.1
et 1.2.
La seconde question naturelle qui se posait était d’étendre le résultat
de FOATA et ZEILBERGER, valable pour le seul groupe symétrique, au
cas des classes de réarrangements de mots quelconques. Une première
difficulté était de prolonger la définition de “den” elle-même au cas des
mots arbitraires. Nous avons pu le faire à partir d’une formule équivalente
établie par ces auteurs.
Le problème majeur à résoudre ensuite était de construire une bijection
d’une classe de réarrangements sur elle-même qui envoie le couple (des,
maj) sur (exc, den). Pour ce faire, nous avons dû faire tout d’abord une
étude systématique des statistiques sur le groupe symétrique et le monoïde
libre ordonné. Il a fallu reprendre ensuite l’étude de l’algèbre des circuits
telle qu’elle avait été développée dans CARTIER-FOATA [C-F]. La loi de
transposition des circuits devient ici beaucoup plus complexe, mais conduit
tout naturellement en utilisant ce que nous appellons h-multiplication vers
la construction explicite de cette bijection.
Le résultat principal de cette partie est consigné dans les théorèmes
10.4.1 et 10.5.8. La bijection définie sur le monoïde libre ordonné qui envoie
la paire (exc, den) sur (des, maj) est appelée “troisième transformation
fondamentale,” faisant suite aux deux transformations fondamentales qui
envoyaient “exc” sur “des”, et “maj” sur “inv,” respectivement. On peut
ainsi considérer cette nouvelle transformation comme le q-analogue de la
première tansformation fondamentale.
Le deuxième chapitre est consacré à une étude combinatoire et analytique
des polynômes de Kostka-Foulkes Kν,θ(q) (ν, θ étant des partitions
et q une variable), définis comme les coefficients de la matrice de passage,
dans l’algèbre des fonctions symétriques, de la base des fonctions de
Schur à celle formée par les fonctions de Hall-Littlewood. On sait d’après
les travaux de LASCOUX et SCHÜTZENGBERGER [L-S] que ces polynômes
sont à coefficients entiers positifs. Ces auteurs ont, en effet, démontré que
Kν,θ(q) était le polynôme générateur de l’ensemble des tableaux de forme
ν et d’évaluation θ par une certaine statistique à valeurs entières appelée
charge.
Nous avons utilisé cette interprétation combinatoire pour étudier les
propriétés de croissance de ces polynômes et répondu ainsi, dans une