TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

32 Chap. 1 – Part. 1.3
Cette insertion par valeur peut se généraliser comme suit : soient k un
entier et k une lettre dont la grandeur est comprise entre k − 1 et k (i.e.,
k − 1 < k < k). On définit une M-bijection Ψk, appelée k-insertion, par
[D1] Ψk(π1π2 · · · πn−1, x) = Ω(π1π2 · · · πxkπx+1 · · · πn) ∈ Sn,
où Ω est encore la réduction. Comme la réduction est une opération simple
à faire, on note également Ψk la M-bijection opérant sur les permutations
(non-réduites) de [n − 1] ∪ k.
On a besoin aussi de la notation suivante :
DÉFINITION 4.3. — Soient x, y et z trois nombres réels. On dit que
le triplet (x, y, z) est un triplant, noté x ≥y z, si ou bien x ≥ z avec y
à l’extérieur de l’intervalle [z, x], ou bien x < z avec y à l’intérieur de
]x, z[ ; en d’autres termes, si l’une des conditions suivantes est satisfaite :
y < z ≤ x, z ≤ x < y, ou x < y < z. On utilise les autres écritures
dérivées : x >y z signifie x ≥y z et x = z. On écrit encore x ≤y z, si
x >y z n’est pas vrai.
D ÉFINITION 4.4. — Soit π ∈ Sn [par convention, on pose π0 =
πn+1 = 0] ; on dit qu’il y a une k-descente à la place i, ou que i est
une place de k-descente, si πi > k πi+1, c’est-à-dire si l’une des conditions
suivantes est satisfaite :
πi > πi+1 > k, k > πi > πi+1, πi < k < πi+1.
Le nombre de k-descentes et l’indice k-majeur sont définis par
et
desk(π) = #{i | πi > k πi+1} − 1;
maj k(π) = {i | πi > k πi+1} − n.
LEMME 4.5. — On a en fait desk = des et maj = maj k +n − k + 1.
D ÉMONSTRATION. — Soit π = (π0 = 0)π1π2 · · · πn(πn+1 = 0) une
permutation. On peut décomposer le mot π de façon unique comme suit :
π = p1q1p2q2 · · · prqrpr+1,
où les pi sont des mots dont toutes les lettres sont plus petites que k et
où les qi sont des mots dont toutes les lettres sont plus grandes que k.