TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

24 Chap. 1 – Part. 1.3
(v) den σ =
i #{i | σi > i} + inv Exc σ + inv Nexc σ.
(vi) La charge de chaque lettre σi est définie comme suit : d’abord la
charge ch(1) de la lettre 1 est zéro ; pour i ≥ 1, la charge ch(i + 1) de
la lettre (i + 1) est égale à ch(i), si (i + 1) est à la gauche de i, et vaut
ch(i) + 1, si (i + 1) est à la droite de i. La charge ch(σ) du tableau t est
alors définie comme la somme de tous les ch(i) : ch(σ) =
i ch(i). (cf.
[Ma1], p. 129, [L-S])
Soit s = s1s2 · · · sn ∈ SEn, on définit les statistiques “eul” et “tot” de
la façon suivante :
(vii) d’abord eul s = 0 si n = 1 ; et récursivement pour n ≥ 2,
eul(s1s2 · · · sn−1), si sn ≤ eul(s1s2 · · · sn−1) ;
eul(s1s2 · · · sn) =
eul(s1s2 · · · sn−1) + 1, sinon ;
(viii) tot s = s1 + s2 + · · · + sn.
EXEMPLE 1.2. — Pour la permutation σ = 71548326, on a inv σ = 15,
des σ = 4, maj σ = 15, exc σ = 3 ; de plus, Exc σ = 758, Nexc σ = 14326,
de sorte que inv Exc σ = 1, inv Nexc σ = 3 et den σ = (1+3+5)+1+3 = 13.
Pour le mot sous-excédant s = 000320503, on a eul s = 3 et tot s = 13.
Parmi ces statistiques, “den” est la plus récente ; on connait donc
moins bien ses propriétés. La première étude la concernant repose sur une
conjecture de Denert [Den], qui a été prouvée par Foata et Zeilberger [F-Z].
Pour ce faire, ils ont utilisé une bijection pour traduire la conjecture dans
l’ensemble Un des chemins de Motzkin et bâti ensuite un calcul algébrique
assez complexe.
Dans deux précédentes notes ([Ha1], [Ha2]), nous avons construit deux
bijections explicites pour démontrer directement la conjecture de Denert.
Ceci nous a amené à découvrir de nouvelles propriétés de la statistique de
Denert et à revoir toute l’étude des statistiques dites euler-mahoniennes.
Le présent article a pour but d’énoncer et de démontrer ces propriétés.
Le corollaire 4.6, par exemple, donne pour la première fois un majcodage
assez simple. Le théorème 5.5 donne une M-bijection qui est à la
fois (des, maj)-codageable et (exc, den)-codageable. Dans le corollaire 7.9,
on construit plusieurs statistiques euler-mahoniennes dont le premier
argument est la statistique eulérienne “exc.”
Nous avons été amenés à définir des intervalles cycliques, permettant
d’avoir une description globale des statistiques mahoniennes “inv,” “maj,”
et “den” et obtenir ainsi une extension naturelle de leurs propriétés
classiques. Ceci est traité dans la section 7.