TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

50 Chap. 1 – Part. 1.3
10. Généralisation du monoïde libre ordonné
10.1. Préliminaires. — Le but de cette section est de prolonger les
résultats précédents à des classes de mots quelconques et donc de fournir
une démonstration du théorème principal 1.4. Il reste à vérifier également
que les polynômes f η (q) introduit par Denert dans [Den] sont les fonctions
génératrices de la statistique bivariée (exc, den) sur la classe des mots
associés à la partition η. Ceci fera l’objet d’une publication ultérieure. Les
techniques développées précédemment nous amènent très naturellement à
cette extension.
Dans les deux premiers paragraphes, on introduit la notion de bimot
et une multiplication sur les bimots, distincte du produit usuel de juxtaposition.
Ceci nous conduit tout naturellement à définir des circuits et
une décomposition des circuits en cycles. Ces outils permettent ensuite
de construire une transformation fondamentale sur les mots, qui peut être
considérée comme un q-analogue de la première transformation fondamentale
obtenue par Foata [Fo1].
Pour démontrer le théorème 1.4, il faut encore généraliser la statistique
(exc, den) au cas des bimots. La troisième transformation fondamentale
est alors la composée d’une bijection des mots sur les bimots envoyant la
statistique (exc, den) sur la statistique bivariée définie sur les bimots, et
d’une bijection des bimots sur les mots envoyant cette statistique bivariée
sur (des, maj).
10.2. Bimots et h-multiplication. — Soient A un alphabet totalement
ordonné et A ∗ le monoïde libre engendré par A. Les éléments w de A ∗
sont appelés mots. La longueur du mot w est noté |w|. Un réarrangement
du mot w = x1x2 . . . xm est un mot u = xσ1xσ2 . . . xσm , où σ est une
permutation appartenant à Sm. En réarrangeant les lettres d’un mot w
en ordre croissant, on obtient le mot croissant w associé à w. On note
R(w) l’ensemble de tous les réarrangements du mot w.
Soit w un mot de longueur m. Pour 1 ≤ r ≤ m − 1, on définit la
transposition Tr : R(w) → R(w) comme étant la transformation envoyant
le mot w = x1x2 . . . xm sur le mot
Tr(w) = x1 . . . xr−1xr+1xrxr+2 . . . xm.
On appelle route allant d’un mot w à un mot u ∈ R(w) le mot ζ =
r1r2 . . . rl appartenant à {1, 2, . . . , m − 1} ∗ satisfaisant la condition :
Tζ(w) = Tr1Tr2 . . . Trl (w) = u.