TH`ESE présentée pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine ...

22 Chap. 1 – Part. 1.2
LEMME 2.3. — Soit π = Ψ(σ, s) une permutation d’ordre n. Alors
[G1] La place d’insertion ν −1 (s) est une place grande-fixe ;
[G2] Tout j > ν −1 (s) n’est pas une place grande-fixe.
D ÉMONSTRATION. — Soit j > ν−1 (s). Comme j n’est pas une place
fixe, il suffit de considérer le cas où j est une place excédante. Dans ce
cas, on a j > p (cf. [B2]). En écrivant π(j) = ν −1 (k), on peut vérifier que
ν −1 (k + 1) ∈ Ej. D’où [G2].
PROPOSITION 2.4. — L’application Ψ ainsi construite est inversible.
DÉMONSTRATION. — Soit π une permutation. Notons G(π) l’ensemble
des places grandes-fixes. Ou bien exc(π) = 0 et alors toutes les places sont
grandes-fixes, ou bien exc(π) = 0 ; dans ce cas, on note i l’entier défini
par π(i) = min Exc(π). Il appartient évidemment à G(π). On peut alors
faire l’inverse de la procédure [B∗] en prenant maxG(π) comme la place
d’insertion.
BIBLIOGRAPHIE
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