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Chapitre 5
Méthodologie adoptée
5.1 Problèmes Inverses
Deux nouveaux outils ont été exploités en vue de mener à bien les applications visées :
L’optimisation topologique et de level sets :
Ces deux outils ont connu ces dernières années un essor sans précédent au point que plusieurs
congrès et workshops leurs sont entièrement dédiés. Ces outils sont par ailleurs communs aux
équipes PI et IMOGE et ont sous-tendu une application ENV (Il s’agit de l ’outil d’optimisation
topologique).
Rappelons que l’optimisation topologique est une nouvelle approche pour les problèmes
d’optimisation de forme pour lesquels on ne peut pas imposer a priori des restrictions, explicites
ou implicites, sur la topologie de la forme (par exemple nombre de trous). Du point de vue
numérique, les algorithmes d’optimisation topologique tentent de capturer une forme optimale
sur un maillage figé du domaine d’optimisation. Ils ont l’avantage sur les algorithmes classiques
d’optimisation qui suivent exactement la frontière de la forme optimale.
L’idée de base des méthodes de ”level set” est de considérer l’interface (courbe en 2D ou
surface en 3D), comme, à tout instant, le niveau zéro d’une fonction définie sur une partie de
l’espace ambiant. Les caractéristiques géométriques de l’interface telle que la normale, la courbure
moyenne, etc. sont alors fonctions des dérivées spatiales de cette fonction. L’équation d’évolution
de la fonction level set est obtenue par extension de la loi d’évolution de l’interface. Cette équation
est généralement écrite sous forme d’une équation de Hamilton-Jacobi (il existe des méthodes
numériques robustes pour la résolution de ces équations). Le point fort des méthodes level set
est qu’elles permettent de suivre l’interface avant, pendant et après les éventuels changements
topologiques.
Pour un problème inverse géométrique, la régularisation géométrique revient à la pénalisation
de la fonction coût par un terme dépendant du périmètre. La méthode ”level set” est initialement
introduite dans le cadre général de détermination d’interfaces en évolution utilisant des
représentations implicites. On représente la géométrie, inconnue du problème inverse considéré
implicitement, comme la surface de niveau zéro d’une fonction continue, l’évolution de cette surface
est modélisée (comme noté plus haut) par l’équation de Hamilton Jacobi. Afin de déterminer
la géométrie inconnue, on est donc amené à déterminer les paramètres de l’équation d’évolution.
Complétion de données :
Cette activité mobilisent tous les chercheur séniors de l’équipe PI.
Les algorithmes les plus performants de détection de défauts nécessitant le plus souvent des
jeux de mesures complètes (c’ad sur toute la frontière), une phase de complétion desdites mesures
peut constituer un préalable indispensable à leur mise en oeuvre. Les applications visées par cette
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