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Images, Modélisation et Géométrie 49
la modélisation de problèmes d’évolutions en 3D.
Outres les applications en traitement d’images, les méthodes “level set” sont aussi utilisées
par H. Ben Ameur pour les problèmes inverses géométriques et ont fait l’objet d’un article paru
dans un journal international et d’une communication dans une conférence internationale. A.
Abdelmoula, dans le cadre de son mémoire de Mastère soutenu en juillet 2004, a aussi utilisé ces
méthodes pour le problème de diffusion sur les surfaces.
Modèles de tiges élastiques
M. Chamekh, encadré par S. Mani-Aouadi et M. Moakher, a entamé une thèse portant
sur l’analyse mathématique et numérique du problème d’auto-contact dans une tige élastique
en grandes déformations. En utilisant une approche géomérique, on ramène le problème de la
tige avec la contrainte d’orthonormalité des vecteurs directeurs à un problème dans la variété
différentielle SO(3). En plus, la contrainte de non-autopénétration a été enforcée à l’aide d’une
fonction distance de contact ce qui a permis de définir l’espace des configurations cinématiquement
admissibles en présence de l’auto-contact. L’existence de la solution dans le cas d’une tige sans
cisaillement et allongement des sections transversales a éé démontrer. Pour la mise en œuvre
numérique du problème sans auto-contact on utilise une méthode de Newton suivie d’une formule
de mise à jour multiplicative des rotations. Nous avons entamé l’implémentation numérique, le
problème crucial est la mise en évidence de la contrainte de non-autopénétration. Pour approcher
notre problème par la méthode des éléments finis on a besoin d’écrire l’équation d’Euler-Lagrange
associée au problème d’auto-contact. Ces travaux on fait l’objet de deux communications à des
conférences.
M. Moakher en collaboration avec J.H. Maddocks a développé une théorie des tiges élastiques
à double brains. La principale motivation de cette théorie est la modélisation de la double hélice
de la molécule d’ADN. Dans cette théorie, la tige est modélisée par une courbe moyenne à la
quelle un repère orthonormé et deux vecteurs sont attachés à chacune de ses points. Un des deux
vecteurs represente la différence entre un point de la courbe moyenne et son associé sur l’une des
courbes des brains. L’autre vecteur représente le vecteur rotation entre le repère de la courbe
moyenne et son associé sur l’une des courbes des brains. Les équations de mouvement sont celles
d’une tige élastique simple plus deux autres équations similaires. Des lois constitutives du type
hyper-élastique ont été formulés et quelques examples de problèmes aux limites ont été étudiés.
Cette étude a fait l’objet d’une publication qui a paru dans l’une des plus prestigieuse revue de
mécanique.
Simulation nuérique de l’écoulement granulaire
La méthode des éléments discrets permet le suivi de chaque particule du système granulaire
tout en tenant compte de la présence des autres particules et des facteurs externes tels que la
gravité et les parois. B. Trabelsi a entamé une thèse portant sur l’écoulement granulaire des
particules ellipsoïdales. En première étape il a utilisé le logiciel RGFlow (Rapid Granular Flow),
développer par M. Moakher pour la simulation des particules sphériques par la méthode des
éléments discrets, puis il l’a modifié pour la simulation des grains ellipsoïdaux. Les résultats
numériques préliminaires sont encourageantes, néamois il restent encore à optimiser l’algorithme
de détection de contact entre les particules ellipsoïdales qui est l’étape la plus critique en terme
de temps CPU. On se propose de combiner la méthode de triangulation dynamique, utilisée
par Liebling et son groupe pour les particules sphériques, et l’algorithme des plans séparant des
ellipsoïdes, récemment proposé par Wang et al., pour l’élaboration d’un algorithme efficace de
détection de contact entre particules ellipsoïdales.
Moyennage sur les variétés Riemanniennes
Le moyennage sur les variétés Riemanniennes, telle que le groupe de Lie des matrices de
rotation et le cône des matrices symétriques définies positives, est un sujet assez récent et