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Contrôle des EDP 51
pour la discrétisation du terme de transport, et le schéma d’Euler implicite pour la discrétisation
du terme de diffusion. L’avantage du schéma de Preissman, est qu’il est inconditionnellement
stable (pour θ ∈ [0.5, 1], θ étant un paramètre intervenant dans le schéma de Presissmann). La
méthode de double sweep a été par la suite utilisée Pour la résolution du système discret.
(1)
(2)
1.0575
1.051
B.O, t= 7.5
B.O, t= 6
B.F, t= 6
B.F, t= 7.5
S.C, t= 6
S.C, t= 7.5
0.02
0.01
q0
q1
Hauteur
1.0445
1.038
0
−0.01
1.0315
1.025
0 20 40 60 80 100
−0.02
0 200 400 600 800
Fig. 6.10 – (1)- hauteur de l’eau, (2)- commande optimale
Différentes études, concernant le problème de contrôle optimal associé, ont été menées :
– Le problème de contrôle en boucle ouverte consistant à écrire les conditions nécessaires
d’optimalité du premier ordre, grâce auxquelles on détermine l’état adjoint associé. La
commande optimale est obtenue en minimisant la fonction objectif considéree. Pour le
problème étudié ici, cette méthode présente une difficulté importante pour le calcul de
l’état adjoint, qui est inhérente à la méthode de time-splitting et au schéma de Preissmann.
– Le problème de contrôle en boucle fermée (feedback) qui s’appuie sur la détermination d’une
loi de Feedback pour le système linéarisé.
Pour le problème de contrôle en boucle fermée, une loi de feedback reliant le contrôle à l’état
a été déterminée. Cette relation est obtenue à l’aide d’un opérateur Q solution de l’équation de
Riccati. Dans ce cadre, deux codes de calcul ont été développé pour la résolution du problème de
contrôle en boucle ouverte et en boucle fermée des équations de Saint-Venant. Un des résultats
numériques obtenu, concernant la stabilisation par contrôle frontière en boucle ouverte et en
boucle fermée, est illustré par la figure 6.10.
Enfin, H. Arfaoui a montré que le système linéarisé de Saint-Venant est exponentiellement stable.
Ces travaux ont fait l’objet de trois communications internationales et d’un article en cours de
préparation.
• Dans le cadre d’une deuxième thèse en co-tutelle entre les deux equipes contrôle du LAMSIN
et du laboratoire MIP (Toulouse) et dirigée par H. El Fekih, F. Ben Belgacem et J.P. Raymond,
H. Metoui a étudié quelques problèmes de contrôle optimal frontière régis par des équations
paraboliques linéaires et non linéaires (en 2D). Ce travail a nécessité dans un premier temps
une étude bibliographique générale des équations paraboliques de type chaleur définies avec une
condition de type Dirichlet peu régulière. Une fois l’équation de la chaleur étudiée, l’intérêt s’est
dirigé vers l’analyse du problème de contrôle optimal associé. Celui-ci a été étudié à travers
un problème d’optimisation qui minimise une fonctionnelle objectif dépendant de la solution de
l’équation de la chaleur et de la variable contrôle. A ce propos, l’existence et l’unicité d’un unique
point critique dans L 2 de la frontière du domaine a été démontré en se basant sur des techniques
standard d’optimisation. Ensuite, la technique de l’état adjoint a été utilisée afin d’écrire les
conditions nécéssaires et suffisantes d’optimalité associées au problème de contrôle considéré. Les