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Environnement 35
notamment la fameuse propagation à vitesse infinie. Or, ce phénomène commence, à présent, à
être assez bien compris, grâce, notamment aux mesures de défaut microlocales et mesures semi
classiques. Ces mêmes mesures associées à des estimations de dispersion bien adaptées (inégalités
de Strichartz) permettent l’étude de l’équation de Schrödinger semi linéaire dans l’espace libre et,
depuis peu, sur les variétés compactes sans bord. Enfin, on a investi depuis quelques années dans
l’étude du comportement de l’énergie locale des solutions de l’équation des ondes sur des domaines
extérieurs c’est à dire en dehors d’obstacles compacts, avec, à la clé, des résultats linéaires et semilinéaires
et des théorèmes de complétude asymptotique. Cette expérience a permis à l’équipe
d’aborder l’étude de l’énergie locale pour l’équation de Schördinger.
• Dans le cadre d’une nouvelle collaboration entre l’équipe contrôle (H. El Fekih) et le groupe
Maxplus de l’INRIA ( S. Gaubert et M. Akian), une thèse en co-tutelle entres les deux équipes
a démarré à la rentrée 2003 et porte sur la résolution numérique des problèmes de contrôle
optimal déterministe et algèbre max-plus. Ce sujet a été proposé à A. Lakhoua (ingénieur Génie
Industriel de l’ENIT). Cette thématique porte sur l’étude d’un problème de contrôle optimal
déterministe (à temps et espaces continus) qui conduit à la résolution d’une équation aux dérivées
partielles du premier ordre, dite équation de Hamilton-Jacobi (HJ), vérifiée par la fonction
valeur v. La méthode classique pour obtenir une discrétisation stable de cette équation est soit
d’ajouter de la viscosité artificielle, soit d’utiliser des schémas aux différences finies décentrés
(schémas à la Kushner). Dans les deux cas, l’équation discrète s’interprète comme l’équation
de la programmation dynamique d’un problème de contrôle optimal stochastique et non pas
déterministe.
On peut alors se poser la question de trouver de nouvelles méthodes de discrétisations
“déterministes”, i.e. pour lesquelles l’équation discrète s’interprète comme l’équation de la
programmation dynamique d’un problème de contrôle optimal déterministe. Par ailleurs, les
équations de (HJ) sont des équations linéaires à condition de travailler dans le semi-anneau
max-plus (structure dans laquelle a ⊕ b = max(a, b) et a ⊗ b = a + b). Plusieurs travaux et
algorithmes ont été développés récemment dans cet esprit, citons notamment les travaux du
groupe Maxplus de l’INRIA (Rocquencourt) sur les processus de Bellman qui fournissent par
exemple des conditions de convergence des solutions approchées d’équations de (HJ), pour des
hamiltoniens quadratiques, les travaux de Flemming et McEneaney sur un analogue max-plus
des éléments finis, et enfin les algorithmes de graphes de type itérations sur les politiques pour la
résolution d’équations linéaires max-plus discrètes.
Le but de la thèse d’A. Lakhoua est de développer, d’étudier, de mettre en œuvre et
d’expérimenter de nouvelles méthodes de résolution numérique des équations de (HJ) à base
d’algèbre max-plus. Elle cherchechera en particulier à obtenir des discrétisations “déterministes”,
ou de façon équivalente max-plus linéaires. On espère ainsi, d’une part obtenir des approximations
plus précises (et aussi moins régularisées), d’autre part permettre une résolution plus rapide par
l’utilisation d’algorithmes de graphes.
5.5 Environnement
En vue des différentes applications auxquelles nous nous intéressons, plusieurs méthodes
numériques ont été exploitées en fonction du problème physique auquel nous sommes confrontés.
Modélisation d’écoulement
• Ecoulement diphasique
- Nous nous intéressons à la modélisation et la simulation d’un écoulement diphasique, qui
provient de la technique de ralentissement d’eutrophisation des lacs ou des retenues d’eau.
Cette technique consiste à injecter des bulles sous pression à partir du fond du lac et de