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Propagation d’Ondes 45
finis localisés. Elle consiste, à tronquer le domaine extérieur, par une frontière fictive, sur
laquelle est imposée une condition aux limites consistant à expliciter l’opérateur Dirichlet-to-
Neuman. Cela est réalisable dès que cette frontière fictive est choisie à géométrie séparable.
Le problème obtenu est alors discrétisé par éléments finis. L’inconvénient de cette méthode
est l’apparition d’un bloc plein dans la matrice éléments finis. La méthode que nous
proposons consiste à résoudre la formulation en domaine borné à l’aide d’une technique
de point fixe. Cela permet de restaurer à chaque itération la structure creuse de la matrice
à inverser. Nous montrons que cette technique s’interprête comme une méthode d’itérations
de sous-domaines sans recouvrement. Notons que le choix d’une frontière séparable nous
permet de faire l’économie de la résolution d’un problème en domaine extérieur à chaque
itération. Cet avantage indéniable pourrait être nuancé, dans le cas de géométries allongées,
par l’obligation de mailler des zones plus grandes. Nous donnons la démonstration de
convergence de l’algorithme Fourier-Fourier. Nous effectuons une analyse de convergence
dans un guide rectangulaire, ce qui permet de faire des calculs analytiques qui mettent
en lumière le rôle des deux types d’ondes (propagatifs et évanescents). Nous mettons
en évidence en particulier, que les modes évanescents ralentissent la convergence. Nous
proposons également un algorithme alternatif permettant de pallier, dans une certaine
mesure, les défauts de la première méthode. Cette seconde méthode repose sur les techniques
d’itérations de sous domaines avec recouvrement, tout en considérant une géométrie
séparable pour le sous-domaine extérieur. N. Zrelli a également utilisé une méthode intoduite
par M.J Gander et Nataf qui consiste à utiliser des conditions aux limites du second ordre.
– Méthode de Schwarz Alternée en domaine extérieur
Des méthodes alternatives utilisant des formules de représentation intégrale, permettent
de choisir la frontière fictive délimitant le domaine de calcul de forme quelconque. Cela
l’autorise donc à être voisine de l’obstacle. C’est le principe de la méthode de couplage entre
éléments finis et représentation intégrale, proposée par Jami et Lenoir. Cette formulation
est résolue par la technique du point fixe de Cauchy, permettant d’expliciter le terme de
couplage. Son analyse de convergence repose sur sa reformulation en termes de méthode de
Schwarz modifiée. Nous montrons que dans le cas de l’équation de Laplace, les résultats de
Pierre-Louis Lions peuvent être étendus au cas de problèmes en domaine non borné, pour
établir une convergence géométrique de notre algorithme de Schwarz modifié. Nous étudions
les problèmes de Laplace-Neumann et Laplace-Dirichlet dans le cas tridimentionnel, et
nous indiquons les modifications liées à la formule de représentation intégrale qui doivent
être apportées dans le cas bidimensionnel. Nous donnons également, quelques résultats de
convergence dans le cas de l’équation de Helmholtz à l’aide de calculs analytiques, pour des
géométries particulières. Ce travail constitue une partie de la thèse de F.Jelassi.
– Courants de Foucault
Nous proposons d’élargir le champ d’application de la méthode de Schwarz modifiée,
décrite ci-dessus à d’autres domaines de la physique. Nous nous intéressons à un modèle
d’électrotechnique, le modèle des courants de Foucault. L’étude théorique présente quelques
difficultés supplémentaires liées au cadre fonctionnel. Il s’agit d’un modèle régi par une
équation à coefficients variables à l’intérieur des conducteurs et constants dans le vide, qui
rend possible l’emploi d’une représentation intégrale. La formulation couplée résultante est
ensuite approchée par l’algorithme de Schwarz modifié. Nous montrons par ailleurs que dans
le cas où l’on considère plusieurs conducteurs, ce qui est souvent les cas dans les problèmes
d’électrotechnique, l’utilisation de la méthode de Schwarz modifiée avec un choix judicieux
de la frontière fictive du domaine de calcul, permet de découpler le problème initial en
autant de sous-problèmes que de conducteurs. Cela permet de l’implémenter de manière
naturelle dans des calculateurs parallèles.