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Images, Modélisation et Géométrie 47
ondes deviennent instables (exponentiellement croissantes) dans les couches pml au lieu d’y être
absorbées. Le résultat inattendu qu’ils ont observé numériquement et expliqué théoriquement
est que ce comportement ne nuit aucunement à l’efficacité des pml pour le problème fréquentiel
(contrairement au problème transitoire). En revanche ces modes inverses posent problème dans
le cas d’un guide élastique. Nous proposons dans le cadre d’un projet de coopération INRIA-
Université de Tunis, en collaboration avec Eliane Bécache et Anne-Sophie Bonnet BenDhia,
d’étudier une nouvelle variante de la méthode pml permettant de traiter séparément les ondes
inverses, ainsi que de l’étudier dans le cas de milieux anisotropes.
Formulations mixtes et hybrides en magnétostatique 3D dans un domaine non borné
et modélisation d’antennes en éléctromagnétique à l’aide d’intégrales de frontière :
Ce travail s’inscrit dans le prolongement de la thèse de L. Hamouda. Il repose sur l’étude
mathématique et numérique de formulations mixtes et hybrides en magnétostatique tridimensionnelle,
discrétisées par des éléments finis appropriés. Ce travail est fait dans le cadre de matériaux
isotropes bornés dans l’espace. La réduction du problème à un domaine borné est effectuée par
une représentation intégrale du potentiel réduit sur le bord du domaine magnétique.
Dans la littérature, divers travaux concernant les formulations en champ pour la magnétostatique
ont été présentés. Signalons tout d’abord celle proposée par F. Kikuchi dans le cas où la
perméabilité des matériaux est constante et où des conditions au bord sont imposées. En
général dans les calculs de problèmes de la magnétostatique, on est intéressé par les champs
électromagnétiques. Même s’il possible de les dériver à partir d’un potentiel, on peut s’intéresser
à des méthodes faisant apparaitre explicitement ces champs. Dans ce cadre, les formulations
mixtes sont bien appropriées.
La mise en œuvre d’une méthode d’éléments finis mixtes présente deux difficultés principales.
Premièrement les sous-espaces de discrétisation choisis doivent traduire les propriétés des espaces
variationnels et satisfaire une condition de type inf-sup. Deuxièment, la matrice du sytème
à résoudre n’est pas définie positive. Dans ce cas, on ne peut plus employer les méthodes de
résolution classiques mais l’on doit mettre en œuvre des algorithmes spécifiques.
Le premier volet de ce travail de recherche est consacré aux aspects théoriques d’une première
formulation variationnelle mixte en champ magnétique h et potentiel vecteur a. L’existence et
l’unicité de la solution de cette formulation y sont montrées. Ensuite, pour la discrétisation de
cette formulation, nous utilisons les éléments de Whitney. Le système matriciel obtenu est alors
résolu par la méthode d’Uzawa.
6.3 Images, Modélisation et Géométrie
Traitement d’images
Pour restaurer ou débruiter une image u à partir d’une image bruitée f, l’approche classique
consiste à résoudre l’équation aux dérivées partielles −div(c∇u) + u = f dans un ouvert Ω ⊂ R 2
avec des conditions du type Dirichlet ou Neumann sur le bord Γ = ∂Ω. Ici c est une fonction
scalaire (ou tensorielle dans le cas anisotrope). Si c est une constante, l’image restaurée sera floue.
Dans le cadre de son mémoire de Mastère, M. L. Siala a utilisé la technique de l’asymptotique
topologique pour trouver le scalaire c optimal. Cette technique consiste à minimiser l’énergie
J(u ρ ) = ∫ Ω ρ
‖∇u ρ ‖ 2 + βmes(ω ρ ) où u ρ est solution du problème de restauration avec c(x) = ε
dans ω ρ = x 0 +ρB et c(x) = 1 dans Ω ρ = Ω\¯ω ρ où x 0 ∈ Ω, B est un domaine borné de R 2 contenant
l’origine, ρ est un réel positif et ε > 0 un paramètre petit devant 1. Les méthodes développées
ont montré leur efficacité par rapport aux méthodes classiques de restauration d’images.