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3.3.3 Extension des modèles à quarts d’arête . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.4 Les modèles fondés sur des complexes cellulaires . . . . . . . . . . . . . . 583.4 Conclusion sur les modèles topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 L’approche « géométrico-topologique » du modèle Cristage : une premièreproposition 675 Conclusion : vers une analyse des principaux éléments constitutifs des objetsgéographiques 71II Analyse morphologique des objets géographiques 771 Introduction : l’analyse de la forme, un complément au modèle géométricotopologiquede Cristage 792 Notions de cristallographie 812.1 Introduction : de Stenon à Miller, un bref aperçu de l’histoire de la cristallographiegéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.2 Motif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3 Réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.4 Maille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.5 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.6 Conclusion : la cristallographie, outil de description adapté aux objets géographiques? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883 Apports de la cristallographie pour une description haut niveau des objetsgéographiques 893.1 Introduction : intégration des concepts issus de la cristallographie . . . . . . . . 893.2 La projection stéréographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3 La symétrie comme outil d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3.2 Les éléments de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3.3 Les classifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.3.4 Conclusion : limites de l’apport de la cristallographie sur des objets géographiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.4 Structure de l’objet géographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.5 Maille de l’objet géographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.6 Conclusion : la cristallographie, clé de voûte de notre abstraction de l’informationgéographique en vue de son analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084 Deux applications de la structure et la maille : la subdivision géométrique etla simplification de bâtiments 3D 1094.1 Introduction : la structure et la maille, outils d’analyse . . . . . . . . . . . . . . 1094.2 La subdivision en convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1098

4.2.1 Rappels des principaux algorithmes développés dans la littérature . . . . 1094.2.2 Présentation de l’algorithme de décomposition en convexes . . . . . . . . 1114.2.3 Conclusion : vers une approche combinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3 La simplification de bâtiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3.1 Introduction : un aperçu des méthodes de simplification . . . . . . . . . . 1164.3.2 Première étape de notre algorithme : la détection des faces parallèles etdes faces colinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3.3 Deuxième étape de notre algorithme : l’analyse des symétries . . . . . . . 1244.3.4 Troisième étape de notre algorithme : la subdivision en convexes . . . . . 1264.3.5 Conclusion : et la simplification d’objets naturels ? . . . . . . . . . . . . . 1264.4 Conclusion : la maille ou l’élément fondamental pour une analyse intra-objet. . . 1275 Conclusion générale : la cristallographie et l’abstraction de l’information géographique129III Mise en relations des objets géographiques 1351 Introduction : la modélisation d’un phénomène ou les besoins d’une analysespatio-temporelle 1372 Mise en relation des objets géographiques 1412.1 Introduction : vers une abstraction généralisée des objets géographiques . . . . . 1412.2 Rappels sur les espaces proximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1462.3 Principes de mise en relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1472.4 Description des relations entre objets géographiques . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.5 Conclusion : de la description à l’évolution des relations . . . . . . . . . . . . . . 1533 Évolution des relations dans le temps 1553.1 Introduction : l’intégration du temps ou l’évolution temporelle . . . . . . . . . . 1553.2 Rappels en théorie des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.2.1 Définition et terminologie d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.2.2 Graphe partiel, sous-graphe et clique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.2.3 Chaîne et chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.3 Le graphe d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.4 Le graphe temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.5 Conclusion : vers une gestion particulière des interfaces . . . . . . . . . . . . . . 1694 Conclusion générale : utilisation des mailles et des graphes dans un contexted’affaissement minier 170Conclusions et perspectives générales 177Conclusions Générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Perspectives Générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Réflexions sur une modélisation 3D unique pour un SIG . . . . . . . . . . . . . . 1809

INTRODUCTION GÉNÉRALEContexteIl existe de nombreux logiciels 3D assurant l’acquisition, le stockage et la représentation dedonnées géographiques sensu largo (Figure 1). Ils peuvent être classés en trois groupes :– les logiciels de CAO 9 ;– les géomodeleurs 10 ;– et, depuis quelques années, les SIG 11 3D qui sont encore à l’état de prototype.Cette diversité résulte de développements indépendants car chaque logiciel propose des solutionsoptimales pour des applications spécifiques. Les logiciels de CAO comme AutoCAD sonttrès utilisés par les urbanistes parce qu’ils permettent de représenter, de manière très précise, unensemble de bâtiments avec leurs fondations, leurs fenêtres, leurs balcons, etc. Les géomodeleurs(ex. : GOCAD 12 , Petrel 13 ou 3D geomodeller 14 ) sont très prisés par les géologues et le plus souventpar les pétroliers. Ils reconstruisent, à partir de données hétérogènes et disparates (donnéessismiques, de puits, etc.), des objets naturels aussi complexes que des formations géologiquessur lesquelles des simulations d’écoulement sont, entre autres, calculées. Le dernier groupe delogiciels 3D, les SIG 3D, est issu du monde de la géomatique. Malgré des demandes expriméesdans de nombreux domaines (Rahman et al ; 2001), le développement encore modeste des SIG3D implique que les applications actuelles restent le plus souvent limitées à la topographie (ex. :visualisation de MNT) et à l’exploitation de modèles urbains (Flamanc et al, 2003 ; Zlatanova,2000 ; Stoter, 2004). Ces derniers proposent la reconstruction et la visualisation d’un très grandnombre de bâtiments de manière moins détaillée et moins réaliste que ceux qui sont produits àl’aide d’un logiciel de CAO.9 CAO : Conception Assistée par Ordinateur.10 Géomodeleur : logiciel de CAO dédié à la modélisation d’objets spécifiques aux géo-sciences ou au milieumédical.11 SIG : Système d’Information Géographique.12 http ://www.gocad.org/www/13 http ://www.slb.com/content/services/software/geo/petrel/index.asp14 http ://www.geomodeller.com/geo/index.php13

Fig. 1 – Exemple de logiciels 3D.(A) Représentation d’un bâtiment créé à partir d’AutoCAD et de 3D StudioMax, (B) Représentation d’un diapirde sel sous GOCAD (www.gocad.org/www/gocad/Applications/ geophysic.html), (C) Représentation de l’extraitd’une ville à l’aide d’un SIG 3D, d’après Ramos (2004).Les géomodeleurs proposent un ensemble de « méthodes mathématiques pour modéliser de manièreunifiée la topologie, la géométrie et les propriétés physiques d’objets naturels en prenanten compte n’importe quel type de données » (Mallet, 2002). Une modélisation unifiée 15 , limitéeà la géométrie et à la topologie dans les logiciels de CAO, présuppose l’acquisition des objetsgéographiques à l’aide d’un même logiciel ou la remise en cohérence géométrique et topologiquedes objets. Très coûteuse en temps de calculs et en main-d’œuvre, la remise en cohérence s’effectuelors de l’intégration de tout nouvel objet géographique et se recalcule lors de certainesdéformations géométriques ou topologiques.L’intérêt d’une modélisation unifiée, et de la mise en cohérence sous-jacente, est multiple. Ellepermet d’améliorer la représentation et le réalisme des objets géographiques, de les manipuler etde développer des requêtes et des analyses 3D. Ce dernier aspect, regroupé dans le domaine dela géomatique sous le terme d’analyse spatiale, s’appuie sur l’ensemble des opérations métriques(distance, longueur, surface, volume, etc.), logiques (intersection, union, différence), de généralisation(simplification, typification, etc.), de buffering 16 , de fusion de données ou les calculssur des réseaux comme les plus courts chemins (Rahman et al, 2001). L’analyse spatiale est,avec l’acquisition et le stockage des données, au cœur de la géomatique. Appliquée à l’exploitationdes données 3D, elle constitue, avec la visualisation, un outil indispensable pour l’aide àla décision. Elle prend tout son sens dans l’analyse de phénomènes spatialisés comme les risques.15 Modélisation unifiée : une modélisation qui tend à l’unité c’est-à-dire qui sous-entend un unique modèletopologique et géométrique ou qui permet une conversion aisée de l’un à l’autre.16 Buffering : méthode créant un buffer, ou « zone-tampon », autour d’un point, d’une ligne ou d’une polyligne.La taille de cette surface dépend des choix de l’utilisateur.14

Cependant, l’analyse d’un risque naturel ou anthropique, comme la mise à jour d’un fontis 17en zone urbaine, est le point de rencontre de nombreux domaines d’application et dépasse lecadre classique de la géomatique (Figure 3). Ce type d’étude nécessite l’intégration et la mise encohérence d’un large panel de données numériques aux thématiques variées (géologie, urbanisme,etc.) pour répondre à des requêtes sur un objet ou un ensemble d’objets dont les résultats sont,le plus souvent, obtenus à l’aide d’outils d’analyse spatiale. Voici quelques exemples de requêtessusceptibles d’être formulées :– comment distinguer le toit 18 du mur 19 de la cavité ?– quelle est la première interface susceptible de s’effondrer ?– quelles sont les couches géologiques concernées par le phénomène d’effondrement ?– quels bâtiments sont affectés par l’effondrement de cette cavité ?– quelles sont les conséquences du rejeu 20 d’une faille ?Dans un contexte de risque, la modélisation unifiée, par un logiciel de CAO, un géomodeleur ouun SIG 3D, de données aussi diverses semble délicate. Elle nécessite une homogénéisation desreprésentations géométriques et topologiques, ce qui implique de longs calculs de conversion, quisont parfois difficiles à réaliser (Breunig, 1996), et une remise en cohérence, souvent manuelle,des données. En outre, dans le cas de phénomènes évolutifs, cette remise en cohérence est àeffectuer à chaque modification des données, et nécessite de s’écarter des données produites parles différents fournisseurs (IGN, BRGM, CEMAGREF, etc.).ProblématiqueA la lumière de la définition donnée par Worboys (1995), un SIG 3D, « système capable demodéliser, représenter, gérer, manipuler, analyser et supporter des décisions fondées sur l’informationassociée à un phénomène 3D », doit constituer une plateforme susceptible d’intégrerdes données modélisées différemment, qui sont d’origine et de dimension variées, et, au-delà decette intégration, de les analyser, c’est à dire extraire de l’information utile pour supporter desdécisions. Cependant les SIG 3D actuels sont le plus souvent restreints à de simples viewers-3ddotés de quelques fonctionnalités. En effet, le développement des SIG 3D est freiné par :– la difficulté d’acquérir des objets à la géométrie complexe, à l’exception de quelques prototypescomme le GO-3DM (Rimscha, 1997) qui utilise conjointement un noyau de CAOet un MNT, les SIG 3D ne proposant pas d’outils de CAO et de geomodeling ;– l’incapacité de gérer l’intégration de données dont la géométrie et la topologie sont modéliséesde manières différentes ;17 Fontis (anciennement fondis) : effondrement du toit d’une cavité ou d’une galerie souterraine, naturelle ounon. Fontis à jour : même phénomène avec affaissement local du sol, de forme conique ou cylindrique (Foucaultet Raoult,1995).18 Toit : terme de mineur désignant la surface supérieure d’une formation (ex. : cavité ou couche géologique),ou bien les terrains la surmontant immédiatement, d’après Foucault et Raoult (1995).19 Mur : terme de mineur désignant la surface inférieure d’une formation, ou bien les terrains situés immédiatementsous elle, d’après Foucault et Raoult (1995).20 Rejeu : nouveau déplacement des compartiments d’une faille lors de sa réactivation, d’après Foucault etRaoult (1995).15

Fig. 2 – Modélisations d’objets géographiques.Cette figure présente des objets géographiques, créés à partir du logiciel libre Blender (www.blender.org),susceptibles d’être modélisés par différents acteurs des études de risques pour simuler la mise à jour d’un fontis.(A) Modélisation précise de bâtiments par des urbanistes. (B) Modélisation de données topographiques (ex :MNT, Bâtiment, etc.) par l’IGN. (C) Modélisation de données géologiques par le BRGM. (D) Modélisation decavités par l’Inspection Générale des Carrières (IGC).16

– les problèmes de (re)mise en cohérence des données et de mise en relation des objets. Lesmodèles de description des relations entre objets, fondés sur des principes de topologie,nécessitent une reconstruction précise de la géométrie des objets. Si deux objets ne sontpas parfaitement mis en relation, comme l’illustre la Figure 3, certains calculs risquentd’être erronés ;– le manque d’outils d’analyse spatiale et de requêtes 3D à l’exception de quelques algorithmesde parcours de graphe (Ramos, 2003 ; Lee et Kwan, 2005) ou de simplification(Kada, 2005).Fig. 3 – Deux exemples d’incohérence entre un MNT et un bâtiment.L’acquisition et la reconstruction des bâtiments ou des MNT sont souvent imprécises, ce qui entraîne parfois desincohérences géométriques entre les objets géographiques (dans le cas présent entre un MNT (A) et un bâtiment(B)). Cas 1 : la relation topologique est une relation d’intersection (le bâtiment est traversé par le MNT), alorsque, dans la réalité, le bâtiment repose sur le MNT. Cas 2 : en termes de topologie, le bâtiment est « suspendu »et il est, par conséquent, non-adjacent au MNT, alors qu’il l’est dans la réalité.Les difficultés expliquent très certainement la faible utilisation des SIG 3D notamment dansl’aide à la décision. Les outils d’analyse existants, ainsi que les algorithmes de remise en cohérencedes données, reposent, pour tout ou partie sur des modèles de type carte topologique, dontles principales déclinaisons sont présentées dans la partie I. Ces modèles explicitent, à l’aide deprimitives topologiques, qui pour les plus simples correspondent aux nœuds, arcs et faces, lesrelations entre les primitives géométriques. Ils permettent d’assurer une certaine cohérence géométriquemais surtout de parcourir, à l’aide d’opérateurs topologiques, la géométrie des objetset de leur voisinage. Décrivant les relations de voisinage, ces modèles reposent sur une approche« locale » 21 pour répondre aux requêtes ou réaliser les analyses spatiales (ex. : la simplification).21 L’approche « locale » s’intéresse, pour une primitive géométrique, à ses relations de voisinage. Elle se distingued’une approche « globale » qui prend en compte l’objet dans sa globalité. Cette deuxième approche décrit,en particulier, la place des primitives géométriques par rapport à lui-même (ex. : haut, bas).17

Cependant un modèle topologique ne peut servir de support à lui seul à l’ensemble des analyses,en complément de la géométrie. En effet, les requêtes, ou les analyses, sont sensibles à la précisiongéométrique des données et aux incohérences. Elles ne tiennent pas compte de l’objet dans saglobalité (Figure 4) et nécessitent l’utilisation d’un unique modèle topologique. Comme nousle montrons dans la partie I, un même modèle topologique n’est pas forcément adapté à toutesles applications (description fine de l’objet ou des relations entre objets) ou à tous les typesd’objets. Enfin, les analyses qui utilisent uniquement une approche locale sont sujettes à delourds et fastidieux traitements.Fig. 4 – L’approche « locale » des modèles topologiques : une limite pour l’analyse. Casd’une cavité.Cette figure illustre un des intérêts de la topologie : le parcours de proche en proche des primitives géométriques.Dans le cas de cette cavité, l’utilisation d’un modèle topologique permet de parcourir sa surface mais n’apporteaucune information sur sa morphologie. En effet, la description de l’objet, notamment par une approche « globale», rend certaines analyses spatiales beaucoup plus aisées comme la description de sa forme ou l’extractionde zones caractéristiques comme le toit de la cavité.En définitive les quatre aspects que nous avons relevés (difficultés à acquérir des objets à lagéométrie complexe et à gérer l’intégration de données modélisées différemment, problèmes deremise en cohérence et manque d’outils d’analyse spatiale) qui limitent le développement desSIG 3D, montrent que ces derniers :1. sont tributaires des autres logiciels pour l’acquisition et la modélisation des données géographiques3D ;2. nécessitent une représentation unifiée et une mise en cohérence de ces données pour réaliserdes analyses et des requêtes 3D (Figure 5) avec l’approche classique des SIG 3D(modèle topologique en complément de la géométrie).Cependant, dans un contexte de risque, il semble illusoire de viser une représentation unifiéepour l’ensemble des données géographiques et d’obtenir une mise en cohérence parfaite, alors18

que des modèles géométriques, et topologiques, ont été développés et optimisés pour certainsthèmes géographiques ou applications. Aussi, nous proposons un modèle, dédié essentiellementà l’analyse spatiale, explicitant des caractéristiques générales pour tous les objets, qui soitcomplémentaire des modèles géométriques et topologiques.Fig. 5 – Limites au développement d’un SIG 3D.Les SIG 3D actuels ne possèdent pas les outils nécessaires pour assurer l’acquisition et la représentation dedonnées produites et/ou modélisées de manière différente. Aussi la majorité des prototypes de SIG 3D utiliseune modélisation « géométrico-topologique » unique qui implique de lourds calculs de conversion (entre différentsmodèles géométriques ou topologiques) pour assurer une cohérence géométrique et topologique des objetsgéographiques et pour les mettre en relation. Cependant, la modélisation choisie n’est pas forcément adaptée auxspécificités de chaque objet géographique (ex. : forme, nature), ce qui rend certaines analyses délicates voireimpossibles.19

Approche retenueIl existe au moins une caractéristique, commune à tous les objets géographiques, qui resterelativement indépendante des problèmes de représentation, de précision, de cohérence ou dedimension des données : la forme. En effet, tout objet géographique possède une forme globalequi, dans la réalité, est volumique et qui présente un certain degré de symétrie. De nombreuxobjets naturels ou anthropiques (bâtiments, couches géologiques, etc.) possèdent des symétriescomme l’illustre la Figure 6. L’analyse et l’explicitation de la forme des objets dans un modèlegénérique constitue le cœur de cette thèse. Elle est réalisée en s’inspirant de la cristallographiegéométrique dont les premiers principes, édictés au cours du XVII ième siècle, servaient à décriremacroscopiquement la forme des cristaux à l’aide de l’ensemble des symétries d’un solide.Fig. 6 – Quelques exemples d’objets géographiques (naturels et anthropiques) présentantdes symétries.Les objets géographiques naturels (le pli symétrique) et anthropiques (la tour Eiffel) présentent différentséléments de symétrie. Le pli possède deux plans de symétrie (représentés en bleu) : un plan axial qui présenteun versant du pli comme l’image inversée de l’autre versant et un plan longitudinal. La tour Eiffel présente enréalité 4 plans de symétrie verticaux : 2 à travers les piliers et deux autres entre les piliers. Par souci de clartéun seul plan de symétrie, coloré en vert, a été représenté.Cette description, appliquée aux objets géographiques, permet d’obtenir trois abstractions quisont calculées à la faveur des analyses demandées (Figure 7) :20

– pour un objet : l’analyse des symétries, déterminée à l’aide des normales définies enchacune des faces de l’objet, permet de révéler la structure de l’objet, c’est à dire la manièredont sont agencés les différents éléments le composant et sa forme. Cette premièreabstraction, utile pour détecter les faces coplanaires ou parallèles, permet de manipulerl’objet dans sa globalité et constitue un complément aux modèles topologiques pour réaliserdes analyses sur l’objet. Par exemple, elle facilite, avec l’aide des modèles topologiques,l’extraction de zones caractéristiques comme le toit d’une cavité ou d’une formation géologique;– pour plusieurs objets : chacun des objets analysés est défini par sa maille qui estune généralisation 3D du Minimum Bounding Rectangle 22 . Utile pour le buffering, cetteseconde abstraction est essentiellement dédiée à la mise en relation des objets et à ladescription de leurs relations ;– pour l’évolution des objets : les mises en relation des mailles et leurs évolutions dansle temps sont décrites à l’aide de deux graphes : un graphe d’adjacence et un graphetemporel. Ce dernier type d’abstraction constitue un outil fondamental pour l’aide à ladécision.Cette simplification 23 des objets, qui croît au fur et à mesure que l’analyse se complexifie,repose sur trois principes pour que la mise en relation des objets et leurs évolutions restentproches de la réalité :– tout objet, quelle que soit sa dimension géométrique, est considéré comme volumique, cequi permet d’obtenir une représentation unifiée et de ne raisonner qu’à partir de mailles ;– pour se rapprocher de la réalité, on considère que tout objet est soumis à la gravité.Le vide n’existe pas dans ce modèle. Cela implique que deux objets géométriquementnon-adjacents et directement superposés sont logiquement adjacents ;– enfin, si deux objets s’intersectent ou si l’un est inclus dans l’autre, ils seront considéréscomme adjacents. L’intersection et l’inclusion constituent un niveau de description à pluspetite échelle que l’adjacence.Véritable clé de voûte de ce travail, la cristallographie géométrique guide l’analyse et permet,à l’aide des principes énumérés précédemment, d’analyser les objets, les relations entre objetset leurs évolutions dans le temps.22 Minimum Bounding Rectangle (MBR) : le MBR est la version de 2D de la Bounding Box, ou boîte englobante,qui constitue un cas particulier des volumes englobants (Bounding volumes). Le terme Bounding Volumese réfère, dans le monde de la 3D, à tout objet convexe (ex. : sphère, enveloppe englobante, bounding box orientée)qui contient un autre objet. Les Bounding Volumes sont très utilisés, en infographie ou en programmation,pour le culling (c’est-à-dire l’élimination de portions d’un objet, ou de sa totalité, qui ne sont pas visibles dupoint de vue) et la détermination de collision pour le picking 3D (sélection dans une scène).23 L’utilisation du terme simplification est à prendre comme synonyme d’abstraction (action d’abstraire c’està dire d’isoler, de séparer mentalement un élément ou une propriété d’un objet afin de le considérer à part.D’après Le petit Larousse, 1996.) qui s’accompagne, ou non, d’une simplification géométrique.21

Fig. 7 – Schéma résumant notre approche.La géométrie (A), utile pour représenter et visualiser les objets, peut être analysée soit en explicitant lesrelations entre ses primitives à l’aide de la topologie (B) soit en analysant sa structure (C). La topologie al’avantage d’apporter des informations facilitant la mise en cohérence et le parcours dans et autour de l’objet,alors que la structure apporte une description de l’objet dans sa globalité (ex. : orientation, forme). A partir dela structure, il est possible de déterminer une maille (D) qui permette certaines opérations en analyse spatiale(ex. : buffering) et facilite la mise en relation des objets et la description de leurs relations. Enfin, la mailleest utilisée pour créer des graphes servant à modéliser l’évolution temporelle d’un objet et de ses relations devoisinage.Organisation du mémoireCe mémoire de thèse est organisé en trois parties (Figure 8) :– la première partie constitue un état de l’art des principaux modèles géométriques ettopologiques rencontrés dans les SIG 3D ou les géomodeleurs disponibles actuellementsur le marché ou développés dans le monde de la recherche. Elle reprend les conclusionsdes nombreuses recherches bibliographiques effectuées sur le choix du modèle le mieuxadapté pour la représentation de données géographiques et propose, à partir de critèresdéfinis préalablement, d’évaluer les différents modèles géométriques en termes d’analysespatiale, c’est à dire de déterminer le ou les modèles permettant de réaliser plus facilementcertaines opérations comme la capacité pour un objet à se simplifier ;22

– la deuxième partie présente le cœur de l’approche défendue dans cette thèse i.e. l’intégrationde la notion de structure et d’éléments de cristallographie géométrique dans lesSIG 3D. Cette approche propose de raisonner sur deux abstractions : la structure et lamaille. Ces deux représentations simplifiées permettent de réaliser des requêtes au niveauintra-objet (la forme) ou inter-objets (la maille). Pour illustrer l’intérêt d’analyserla structure d’un objet, deux applications de requêtes intra-objets sont proposées : lasubdivision d’objets géographiques en convexe et la simplification de bâtiments 3D. Cesexemples ont pour but de montrer la capacité d’un objet géographique, via sa structure,à être analysé, à se simplifier ou à se subdiviser ;– la troisième partie se focalise sur la mise en relation des objets, la description et l’évolutionde ces relations dans le temps. La mise en relation n’est pas géométrique mais logique carelle s’effectue à partir des mailles des objets. Plusieurs axiomes sont définis pour assurercette mise en relation. Ensuite, deux graphes, un graphe d’adjacence et un graphe qualifiéde « temporel », sont construits pour décrire les relations entre mailles et suivre, àdifférents instants, l’évolution des mailles affectées par un phénomène tel que la mise àjour d’un fontis. Ce dernier aspect est illustré par un exemple de risque anthropique : lesaffaissements résiduels issus de l’exploitation de concessions minières.Les différents éléments, présentés au cours de ce mémoire, ont été implémentés dans un prototypede SIG 3D, appelé Cristage (Cristallographie appliquée aux géosciences), qui a été développéà partir de la plateforme GeOxygene (Badard et Braun, 2004) : SIG « Open Source » duCOGIT (IGN).23

Fig. 8 – Les différentes étapes pour faciliter l’analyse d’un objet géographique (1), sesrelations avec autrui (2) et pour gérer l’évolution de ses relations, et celles de ses voisins,dans le temps (3).L’analyse de l’objet à travers sa structure, la description de ses relations avec les objets voisins (la cavité estincluse dans une couche géologique) et l’évolution dans le temps de ses relations offre un outil d’analyse spatialequi permet, dans le cas présent, d’extraire le toit de la cavité, de connaître ses relations avec l’encaissant etde pouvoir ainsi, si la cavité s’effondre, connaître les objets géographiques susceptibles d’être affectés par cephénomène naturel.24

Première partieEtat de l’art en modélisation 3D desobjets et proposition d’un modèle adaptéà l’analyseCette première partie passe en revue les principaux modèles géométriques utilisés pour lamodélisation de données géographiques 3D en évoquant pour chacun leurs forces et faiblessesen fonction des critères définis par Requicha (1980). Elle présente les différentes classificationspossibles de ces modèles. En se fondant sur les conclusions de certains travaux (Requicha, 1980 ;Billen, 2002), elle met en exergue les modèles géométriques les mieux adaptés pour représenterdes données géographiques et, à l’aide d’une grille de critères, évalue leur capacité de requêtes oud’analyse spatiale. Enfin, un rapide aperçu des principales structures topologiques rencontréesdans la littérature est proposé. Chaque modèle est présenté et classé en fonction de son domained’application. En guise de conclusion est présenté le modèle retenu et implanté dans notreprototype.25

CHAPITRE 1INTRODUCTION : DE LA VISUALISATION À L’ANALYSELa modélisation 3D regroupe l’ensemble des techniques permettant de représenter un objetplongé dans un espace tridimensionnel, reflet de la réalité ou de notre imaginaire, de le visualiserà l’aide d’algorithmes de rendu plus ou moins réaliste (ex. : le lancer de rayon ou raytracing, lestextures) et de le manipuler (ex. : animation, déformation). L’intérêt majeur de la modélisation3D est obvie 1 dans différents domaines comme les sciences (ex. : médecine, géologie), les filmsd’animation (ex. : Ratatouille 2 ) ou les jeux vidéos. Plus proche de notre thématique, la visualisationde scènes virtuelles 3D, comme un réseau de failles (Halbwacks et al, 1996) ou une zoneurbaine (Flamanc et al, 2003), plonge l’utilisateur dans un univers approchant la réalité. La 3Dpermet alors d’appréhender une quantité d’informations comme la morphologie des objets etleurs interactions et constitue un outil d’aide à la décision.Les modèles topologiques (Carlson, 1987 ; Brisson, 1990 ; Lienhardt, 1994 entre autres), associésaux représentations géométriques, sont utiles dans la plupart des applications. Ils rendent lavisualisation d’objets plus réaliste. En explicitant les relations de voisinage entre les primitivesgéométriques constitutives de chaque objet, ils garantissent une cohérence géométrique, quiest parfois altérée lors de l’acquisition des données ou la modification géométrique des objets(Figure 1.1), et évitent des reconstructions non valides. La description, par ces modèles topologiques,des relations entre primitives topologiques montre que l’avantage de la 3D, loin d’êtremineur, ne se cantonne pas dans l’unique application que constitue la visualisation (Verbree etVerzijl, 1998).En effet, ces modèles ont l’avantage, par la création de certaines primitives (ex. : le couple « arcface» établi par de la Losa (2000) et l’utilisation d’opérateurs topologiques), de permettre leparcours des primitives géométriques de proche en proche.Cette spécificité, utilisée pour les modèles topologiques 2D et 2.5D, permet de décrire, entre1 Obvie : (vient du latin obvius) évident, démontré, qui se présente naturellement à l’esprit, d’après Le PetitLarousse (1996).2 http ://www.pixar.com/27

tiques géométriques (parallélisme, orthogonalité, coplanarité, etc.), la morphologie, c’est-à-direla description de la forme globale (orientation, principales directions) et de son implantationspatiale, la possibilité de se déplacer autour et dans l’objet et de détecter les relations de voisinage.Fig. 1.2 – Présentation des critères retenus pour évaluer la capacité d’analyse des modèlesgéométriques.Raper (1989) a développé plusieurs critères relatifs à la position du centre, à l’implantation spatiale et à lamorphologie auxquels nous avons rajouté l’estimation des volumes, la description des relations de voisinage etle parcours à travers, ou autour, de l’objet. Ces critères vont nous aider à déterminer le modèle 3D le mieuxadapté à l’analyse géographique ou géologique.29

En effet, dans un contexte de risque naturel comme la mise à jour d’un fontis, ces différentscritères pourraient permettre :– le calcul du volume de la cavité avant son affaissement ;– la description de la forme de la cavité à l’aide de son implantation spatiale, de sa morphologieafin de connaître les relations de voisinage entre la cavité et son encaissant ;– l’extraction des zones susceptibles de s’effondrer en parcourant la surface ou en mettanten évidence certaines caractéristiques géométriques.Dans cette partie, nous présentons les différents modèles géométriques et topologiques rencontrésdans la littérature. Nous proposons, à l’aide des critères illustrés à la Figure 1.2, le modèlequi présente une disposition particulière pour l’analyse tridimensionnelle et qui sera retenu dansle cadre de cette thèse. L’objectif est de proposer un modèle « géométrico-topologique » apte àrépondre aux requêtes spatiales 3D.30

CHAPITRE 2LA MODÉLISATION GÉOMÉTRIQUE2.1 Introduction : aperçu des classificationsLes modèles géométriques 3D émanent originellement du domaine de la CAO 1 /DAO 2 etservent essentiellement pour la représentation d’objets, notamment à l’aide de modeleurs ou degéomodeleurs utilisés, par la suite, pour le pilotage de machines outils et des chaînes de production(CAO de pièces industrielles, circuits imprimés, etc.). Pour des raisons de performance,ils gèrent la notion de niveaux de détails (Level of Details) utilisés pour fluidifier l’affichage enlimitant le nombre de primitives à afficher tout en conservant le réalisme ou la résolution de lascène, pour optimiser des données (ex. : la subdivision de surfaces) ou pour l’animation (ex. :l’utilisation d’une spline pour engendrer le parcours d’une caméra).Plusieurs classifications ont été élaborées pour regrouper les divers modèles géométriques utilisés: la classification de Requicha (1980), adoptée par Raper (2000), est la plus ancienne et laplus simple (Figure 2.1). Elle distingue trois catégories :– les modèles d’énumération spatiale (spatial enumeration) qui décomposent l’objet àl’aide de primitives volumiques identiques (cube, tétraèdre, hexagone, etc.);– les modèles constructifs (Constructive Solid Geometry) qui proviennent de l’agrégationet de la paramétrisation de solides (ex. : sphère, parallélépipède) ;– et les modèles fondés sur une description de la frontière (Boundary Representation)de l’objet.De Cambray (1994), à partir des travaux de Foley et al (1990), regroupe les modèles constructifset d’énumération spatiale sous la locution représentation volumique et différencie une catégoriedédiée aux représentations par balayage (Kajiya, 1983). Cette dernière catégorie, illustrée à laFigure 2.2, engendre des objets en déplaçant une surface ou une courbe le long d’une trajectoire.1 CAO : Conception Assistée par Ordinateur.2 DAO : Dessin Assisté par Ordinateur.31

Fig. 2.1 – Une classification simplifiée des modèles géométriques 3D, d’après Pfund (2001).La maison est représentée de trois manières : par sa subdivision en une multitude de volumes identiques (SpatialEnumeration), par l’association de primitives volumiques comme la sphère ou le prisme (Constructive SolidGeometry) ou par une représentation de sa frontière (Boundary Representation) c’est-à-dire sa façade et sontoit.Fig. 2.2 – Un exemple de balayage.La pièce métallique est conçue en déplaçant la surface le long d’une trajectoire induite par une rotation autourde l’axe vertical.32

Breunig (1996) considère que ces dernières classifications ne sont pas exactement adaptées auxdonnées géographiques. Il suggère de voir la représentation spatiale indépendamment de la représentationgraphique et de classer les modèles géométriques suivant une approche analogue àcelle utilisée pour les modèles géographiques 2D : des modèles vectoriels, de tesselation 3 , analytiqueset hybrides 4 .Cette classification est très proche de celle de Requicha (1980) : les modèles hybrides, de tesselationet vectoriels correspondent aux trois classes précédemment décrites, c’est à dire le modèleconstructif, le modèle par énumération spatiale et le modèle par frontière. Le modèle hybridene se limite pas à une association de primitives volumiques homogènes mais permet l’intégrationde primitives modélisées différemment comme, par exemple, le POLY-system de Meier etLoacker (1987) ou l’AIM-P de Dyballa et al (1991).Au même titre que Cambray (1994), Breunig (1996) a créé une autre classe qui rassemble, sousle terme « modèles analytiques », les représentations par balayage et les formes paramétrables.Cette catégorie est, dans la classification de Requicha, incluse dans les méthodes constructives.Enfin, la classification de Pouliot et al (2006) catégorise les représentations géométriques enfonction des deux approches de modélisation orientées soit espace soit objet. La classe orientéeespace est équivalente à la modélisation par énumération spatiale de Requicha. La classe orientéeobjet sépare les représentations s’appuyant sur la frontière, équivalentes à la classe éponymede Requicha, de celles qui sont fondées sur des formes paramétrables. Les auteurs distinguenttrois représentations : les modélisations par balayage, constructives et paramétrables.Toutes ces classifications sont relativement proches (Figure 2.3). Cependant la classificationproposée par Requicha a l’avantage, en plus de sa simplicité, de ne pas différencier, pour lesméthodes constructives, la manière d’agréger et de créer les primitives solides évitant ainsi certainesconfusions liées à la représentation par balayage.Nous passons en revue dans la suite de ce chapitre les modèles géométriques et nous les analysonset les comparons à l’aide de la grille de critères, illustrée à la Figure 1.2, pour pouvoir proposercelui qui permettra de répondre, le plus aisément, à ces quelques questions :– le modèle géométrique permet-il le calcul du volume de l’objet ?– est-il aisé, à partir de ce modèle, de calculer le centre de l’objet ?– le modèle permet-il une mise en évidence des caractéristiques géométriques de l’objetcomme le parallélisme ou l’orthogonalité ?– quelle morphologie (orientation et principales directions) de l’objet représente-t-il ?– quelle est l’implantation spatiale de l’objet qu’il modélise ?– est-il adapté au parcours de l’objet (autour et à travers) ?– permet-t-il une détection des relations de voisinage ?3 Modèle de tesselation : ce type de modèle géométrique modélise l’objet par son découpage, plus ou moinsrégulier, en primitives volumiques (ex. : tétraèdres, cubes, etc.).4 Modèle hybride : ce type de représentation se fonde sur la combinaison de formes paramétrables.33

Fig. 2.3 – Synthèse des principales classifications des représentations géométriques 3D.Cette analyse nous conduit à proposer un modèle « géométrico-topologique » adapté à l’analysedans les SIG 3D.2.2 Les modèles constructifsLa Constructive Solid Geometry (CSG) est un des modèles constructifs les plus usités. Il assemble,à l’aide d’opérateurs booléens régularisés 5 (Rossignac et Requicha, 1999), des primitivesvolumiques (Figure 2.4) comme des sphères, des cubes, des tores, etc. Ce type de modélisation,détaillé dans Rossignac (1993), est associé à un arbre binaire dont :– les nœuds internes représentent des opérations booléennes ou des transformations géométriques(rotations, translations, mise à l’échelle) ;– les nœuds terminaux correspondent aux primitives solides.L’arbre d’un modèle CSG laisse la possibilité d’instancier les primitives solides (en fonction deparamètres différents dont la position, la taille, l’orientation) et de les grouper hiérarchiquement.5 Opérateurs booléens régularisés ou RBSO (Regularized Boolean Set Operations) : « permettent de garantirque les résultats d’opérations booléennes sur des solides aboutissent dans tous les cas à un solide » (Ramos,2003). Ils regroupent l’union, l’intersection, la différence symétrique, le complémentaire.34

Fig. 2.4 – Représentation d’un objet à l’aide d’un arbre CSG.Cette figure présente la construction d’un bâtiment (1) par l’assemblage, à l’aide d’opérateurs booléens (unionet différence), de primitives volumiques (2, 3 et 4). L’ensemble de ces opérations est représenté par un arbreillustré, ici, par des lignes et des flèches où les nœuds intermédiaires sont les opérations booléennes et les nœudsterminaux sont les primitives solides ou le résultat des opérations booléennes.Les primitives volumiques sont, selon Raper (2000), le plus souvent créées à partir d’équationsparamétriques continues trivariées (ex. : la sphère), d’un assemblage d’équations bidimensionnelles(ex. : les splines), où la morphologie tridimensionnelle est contrôlée par des pôles (Figure2.5), ou par une technique de balayage.Fig. 2.5 – Primitives solides paramétriques, d’après Raper (2000).La CSG, a contrario d’autres méthodes constructives comme la primitive instancing, qui estune paramétrisation d’une forme CSG prédéfinie (Figure 2.6), se révèle, en plus d’être optimaleen termes de stockage, avantageuse pour certaines analyses. Grâce à son arbre, il est possiblede parcourir l’ensemble des primitives volumiques d’un objet et de les modifier (ex. : taille,couleur, etc.) ou de calculer son volume global. Thiemann et Sester (2004), par exemple, utilisentcette structure binaire pour simplifier progressivement des bâtiments 3D : l’arbre est créélors du découpage, à l’aide de l’algorithme de Ribelles et al (2001), des bâtiments en primitivesvolumiques simples. La simplification s’effectue ensuite en vertu d’un critère de représentati-35

vité calculé, en fonction des nœuds-parents, en chaque nœud terminal (pour plus de détails, serapporter à la partie II de ce mémoire).Fig. 2.6 – Primitive Instancing.La technique de modélisation primitive instancing permet de construire un objet (ici, un bâtiment) en répliquantdes composants déjà modélisés (fenêtres, cheminées, etc.) et dont la taille, ou le nombre de composants, estdéfinie par l’utilisateur (ex. : la longueur du bâtiment et le nombre de fenêtres).Une autre qualité de ce modèle est sa facilité, grâce aux représentations équationnelles de sesprimitives 3D, de calculer des intersections (ex. : raytracing), de distinguer pour des solidesstrictement convexes l’intérieur, la frontière et le complémentaire d’un solide (Rossignac etRequicha, 1990) et, dans le cas d’objets relativement simples, de décrire leurs relations topologiques(union, intersection et différence). Mais, à l’exception de Jarroush et Tzur (2004) quiutilisent cette méthode pour visualiser le cadastre, les SIG 3D ou les géomodeleurs le délaissenten grande partie en raison de sa difficulté pour représenter des objets complexes.En termes d’analyse, ce modèle souffre de plusieurs inconvénients résumés, dans le Tableau 2.1dont :– l’absence de structure permettant de parcourir la frontière et l’intérieur des primitivesvolumiques ;– la difficulté de circonscrire, d’extraire et de manipuler certaines parties de l’objet ou d’uneprimitive ;– la détection délicate, voire impossible, des relations topologiques entre deux objets complexes(Pouliot et al, 2006).36

Tab. 2.1 – Évaluation du modèle CSG en termes d’analyse.Le modèle CSG offre une bonne estimation des volumes. L’objet modélisé est le résultat de primitives dont lesvolumes (ex. : sphère, cône, etc.) sont relativement simples à calculer. Il suffit de parcourir l’arbre CSG etde sommer (ou de soustraire) les volumes présents aux nœuds. Le parcours de l’arbre CSG permet d’obtenirfacilement le centre de l’objet (somme des centres des primitives) et d’obtenir son orientation et ses principalesdirections. Ce dernier aspect est déterminé en calculant les Bounding Box des primitives et en les comparant lesunes par rapport aux autres pour déterminer celle(s) qui représente(nt) le mieux les caractéristiques géométriquesde l’objet. Outre la difficulté de calculer l’implantation spatiale (difficulté de définir une Bounding Box générale),ce modèle souffre du manque de discrétisation de ses primitives (en triangles par exemple), ce qui rend la miseen évidence des caractéristiques géométriques, la détection des relations de voisinage ou les parcours dans ouautour de l’objet très délicats si on ne procède pas à une conversion.37

2.3 Les modèles par énumération spatialeLes méthodes de modélisation par énumération spatiale, aussi nommées Spatial PartitioningRepresentations (SPR) ou Spatial Occupancy Enumeration, décomposent un objet en un ensemblede volumes élémentaires (simplexes, cellules, etc.) contigus, sans intersection et de mêmenature (cube, hexaèdre, tétraèdre, etc.).Le modèle voxel (Figure 2.7) est la méthode d’énumération spatiale la plus connue. Il est l’exacteextension du modèle raster 2D à la troisième dimension. Il propose un découpage régulier del’espace par pavage mais, a contrario du pixel (dont l’origine vient de picture et element) quiest un carré, l’élément de base, le cube, est volumique (voxel pour volume et element, le x étantun héritage du mot pixel).Fig. 2.7 – Construction d’un tore, d’après Ramos (2003).Tore décomposé en volumes parallélépipédiques identiques et contigus. Les principaux inconvénients de ce typede modélisation sont la représentation très approximative de la frontière de l’objet et le nombre conséquent deprimitives.Ce modèle souffre de plusieurs inconvénients dont l’approximation très médiocre de la forme etle nombre trop important de voxels qui est directement lié à la résolution du pixel. Il possèdecependant quelques avantages (Kaufman, 1994) comme une distinction aisée de l’intérieur etde l’extérieur de l’objet ou un calcul du volume facilité, quelle que soit la forme du solide, ensommant les voxels utilisés. Différentes améliorations ont tenté de pallier les désavantages techniquessoit en optimisant le nombre de voxels, comme l’octree (Samet, 1992), soit en proposantune méthode hybride, le polytree (Carlbom et al, 1985 ; Carlbom, 1987), qui tente d’associer lesqualités de la modélisation par frontière et de l’octree (Figure 2.8) :– l’octree structure l’objet de manière hiérarchique, sous la forme d’un arbre (Figure 2.8), enremplissant l’espace avec des cubes de tailles différentes pour limiter le volume de données.La racine de l’arbre est l’espace global, les nœuds sont des cubes décomposés en huit oùchaque feuille associée stocke l’information : espace occupé, espace non occupé ou espacepartiellement occupé. L’avantage d’une telle structure est de compresser les données àstocker (à la manière du quadtree en 2D) et d’y accéder rapidement (indexation spatiale) ;– le polytree précise pour les feuilles occupées de l’arbre si elles représentent une face, unearête ou un nœud. Son avantage est de posséder une modélisation volumique qui faciliteles opérations booléennes.38

Fig. 2.8 – Représentation octree d’un objet 3D, d’après Thalmann (2003).L’octree propose une subdivision de l’objet, ou de la scène, en huit volumes égaux. Chaque volume peut êtreresubdivisé s’il est partiellement occupé par un objet. Par exemple, le cube 2 (indiqué par une flèche rouge)n’occupe pas la totalité du volume, ce qui entraîne la subdivision en huit du volume le contenant. L’octree estreprésenté par un arbre dont les nœuds (plein, vide ou partiel) décrivent son remplissage.Ces deux méthodes profitent, par le positionnement contigu de leurs primitives, d’une topologiede voisinage implicite et permettent, selon Raper (1990), de calculer ou d’opérer certaines requêtesou analyses 3D en termes de visualisation (ex. : rotation, réflexion, redimensionnement,etc.), de caractérisation (ex. : calcul d’un volume, d’une aire, etc.) ou de relations inter-objetsmétriques ou topologiques. En dépit de ces avantages, ces deux méthodes présentent l’inconvénientd’une représentation approximative de l’objet, et de la mise en œuvre difficile de certainscalculs plus complexes comme les opérations d’intersection, d’inclusion, d’égalité et de disjonction.Des travaux sur la topologie discrète cherchent à combler cette lacune (Kaufman et al,1993).39

Contrairement à la méthode du voxel, qui approxime la frontière de l’objet, il est possible dedécomposer, ou mailler, l’objet en tenant compte de ses contours. La décomposition est réaliséeà l’aide de cellules volumiques connectées (des tétraèdres le plus souvent selon Field (1986))dont le nombre et la taille sont fonction de la densité des points échantillonnés (Figure 2.9). Denombreux algorithmes ont été développés pour interpoler les nuages de points (Mallet, 2002)et, à l’aide de structures topologiques comme celles de Pilouk (1996) ou de Lachance (2005),pour parcourir de proche en proche l’intérieur de l’objet.Fig. 2.9 – Exemple d’énumération spatiale, d’après Lepage (2003).Contrairement au voxel, cette décomposition en tétraèdres respecte la frontière des objets (ici, un ensemblede couches géologiques) mais elle ne permet pas d’obtenir (à cause de la forme et de la taille irrégulière destétraèdres) une topologie implicite.Les méthodes de décomposition en cellules 6 respectent la frontière des objets et calculent aisémentleur volume. Contrairement aux voxels, elles ne possèdent pas d’information topologiqueimplicite (Breunig, 1996) et nécessitent la description, par un modèle topologique, des relationsde « voisinage » entre chaque cellule. Si l’énumération spatiale est une tétraédrisation (Pilouk,1996 ; Penninga, 2005), les relations entre les tétraèdres sont explicitées par une discrétisationde leur frontière, c’est à dire leurs sommets, leurs arêtes et leurs faces.6 Dans cette partie, cellule est un terme générique qui regroupe les primitives géométriques de même dimension.Elle ne doit pas être confondue avec la notion de cellule topologique qui est présentée dans la partie dédiéeaux modèles topologiques.40

L’énumération spatiale ne convient pas à la mise en évidence de caractéristiques géométriquescomme l’orthogonalité et nécessite, pour parcourir la surface d’un objet, l’extraction de sa frontièreou la conversion dans le modèle B-Rep (Tableau 2.2). Elle profite des modèles topologiquespour parcourir l’ensemble de ses cellules, pour détecter ou circonscrire certaines zones d’intérêtset décrire aisément les relations topologiques entre objets (Lachance, 2005).Tab. 2.2 – Évaluation du modèle d’énumération spatiale en termes d’analyse.L’estimation du volume, pour le modèle par énumération spatiale, est extrêmement aisée : elle consiste à sommerl’ensemble des tétraèdres remplissant l’objet géographique. De la même manière, le centre est déduit en moyennantles centres des tétraèdres et, à l’aide d’un modèle topologique, il est facile de parcourir l’intérieur (et l’extérieuren extrayant les tétraèdres possédant une face non-partagée). De plus, la détection des relations de voisinage (surle principe du « point dans volume », se référer à Eberly (2007)) est facilement calculable. Cependant, ce modèleprésente certaines difficultés pour mettre en évidence les caractéristiques géométriques, qui sont déterminées àpartir de la frontière, et pour parcourir l’extérieur de l’objet.41

2.4 Les modèles par frontièreHistoriquement, la première technique de modélisation par frontière, le fil de fer (ou wire framedans la littérature anglo-saxonne), décrit les objets par leurs sommets et leurs arêtes. Elle a étérapidement abandonnée car elle peut conduire à des représentations ambigües (Figure 2.11),pour être remplacée par une description hiérarchique de la frontière de l’objet : le modèle B-Repou Boundary representation (représentation par frontière).Fig. 2.10 – La représentation ambigüe du wire frame, d’après Chaillon (1992).Dans le cas d’une modélisation par wire frame, l’absence de surface rend la distinction de la frontière délicate.Le cube, modélisé par un wire frame, peut être interprété comme un volume (la forme désirée) ou comme sonintérieur.Le modèle B-Rep propose une décomposition d’un solide en faces (planes ou gauches) qui sontelles-mêmes délimitées par des arêtes (droites ou courbes) bornées par des sommets. SelonBillen (2002), un B-Rep bien formé ne peut s’entrecroiser, doit être fermé, orientable, borné ettopologiquement connecté. Ces aspects, qui feront l’objet de la prochaine partie, sont pris encompte par un modèle topologique qui explicite les relations entre ces primitives géométriques.Fig. 2.11 – Le modèle B-Rep, d’après Mäntyla (1988).(A) sous la forme d’un solide, (B) avec ses faces enveloppantes, (C) avec ses nœuds et ses arêtes.Le modèle B-Rep est le mieux adapté pour visualiser des objets complexes notamment si lesfaces sont planes (ex. : triangle). Au même titre que le modèle de décomposition en cellules,42

2.5 Conclusion sur les modèles géométriquesLe choix du modèle géométrique le plus adapté pour représenter des objets géographiquess’oriente intuitivement vers la représentation par frontière. Il a d’autre part été corroboré parplusieurs travaux, dont Cambray (1994), Breunig (1996), de la Losa (2000), Bernard et al (2000),Billen (2002), Ramos (2003), qui ont évalué chaque modèle, en termes de représentation, à l’aidede critères introduits par Requicha (1980) (Tableau 2.4) et décrit ci-dessous par de Cambray(1994), Billen (2002) et Ramos (2003) :– le domaine de la représentation doit couvrir un ensemble important d’objets ;– l’exactitude : une représentation exacte représente un objet sans approximation géométrique;– la validité : une représentation est invalide si elle ne correspond pas à un solide ;– la complétude : une représentation est complète si elle est bi-univoque i.e. s’il n’existeaucune équivoque possible sur la nature de ce qui est représenté et, si une représentationdonnée correspond à un objet et à un seul ;– l’unicité : une représentation est unique si tout solide n’est représenté que d’une seulemanière ;– la concision : une représentation est concise si elle économise de l’espace mémoire ;– la facilité de création ;– la fermeture de l’algèbre : l’algèbre ainsi définie doit être fermée pour les opérationsautorisées (appliquer une opération autorisée à un solide doit donner un solide valide) ;– l’efficacité : la possibilité d’appliquer des algorithmes efficaces.D’un point de vue de l’analyse 3D, chaque modèle présente des avantages et des inconvénientsrésumés dans le Tableau 2.5. Le modèle CSG, par son arbre et la description équationnelle desobjets qu’il manipule, se prête au raytracing et aux calculs volumiques. Inadapté pour la modélisationde formes irrégulières, il ne convient pas aux analyses et aux requêtes 3D au niveaude l’objet. Le modèle par énumération spatiale, notamment celui à base de tétraèdres, semblemieux adapté pour l’analyse que le modèle B-Rep. Il quantifie aisément un volume, décrit facilementles relations entre objets et permet le parcours de proche en proche mais il souffre dela surabondance de ses primitives. Le modèle B-Rep, essentiellement dédié à la visualisation,ne propose que le parcours de la frontière d’un objet. Il supporte difficilement, sans conversiondans un autre modèle géométrique, des requêtes volumiques, ce qui le rend peu approprié pourl’analyse.Le modèle par énumération spatiale est, sur l’ensemble des critères, la représentation géométriquela mieux adaptée pour supporter des analyses 3D. Facilement convertible dans le modèleB-Rep, il profite des avantages de ce dernier notamment pour parcourir la frontière d’un objetou mettre en évidence des caractéristiques géométriques. Malgré ses nombreux avantages, lemodèle par énumération spatiale n’est pas retenu à cause :– de l’éclatement de ses primitives dont le nombre est souvent très élevé : si l’énumérationspatiale est à base de tétraèdres, chaque tétraèdre est composé de trois triangles quisont chacun composés de trois arêtes qui elles-mêmes sont limitées par deux nœuds. Lamodélisation d’un tétraèdre nécessite 24 primitives différentes ;44

Tab. 2.4 – Analyse des modèles de représentation des objets spatiaux sur base des critèresretenus, d’après Billen (2002), modifié. 45

– des données qui sont le plus souvent fournies sous forme de B-Rep.Ce modèle est complémentaire du B-Rep qui est moins adapté à l’analyse mais qui présentel’avantage d’une représentation plus allégée des objets. Ces modèles se complètent pour assumerà la fois une représentation de bonne qualité et des analyses sur l’objet ou sur un ensembled’objets. Nous choisirons donc d’utiliser un système hybride pour les besoins de cette thèsec’est à dire un B-Rep complété par une énumération spatiale obtenue par la tétraédrisationcontrainte de la frontière.Tab. 2.5 – Évaluation récapitulative des modèles géométriques en termes d’analyse.Ce tableau comparatif met en exergue le modèle par énumération spatiale. En effet, ce modèle est adapté à lamajorité des requêtes 3D comme la détection des relations de voisinage ou le parcours dans et autour de l’objet.Sa seule limite est l’excès de primitives (ex. : tétraèdres), ce qui rend la mise en évidence de caractéristiquesgéométriques difficile. Cependant cette limite peut être facilement contournée par une conversion dans le modèleBrep.La capacité, offerte par ces modèles, de parcourir l’intérieur d’un objet ou sa frontière provientessentiellement de l’explicitation, à l’aide de modèles topologiques, des relations de voisinageentre les primitives géométriques. Cet aspect, et la possibilité d’inférer sur ces relations, sontdéveloppés dans la partie suivante.46

– combien de champs vais-je devoir traverser pour me rendre dans telle parcelle ?La topologie intra-objet et inter-objets repose sur des principes développés en topologie algébrique,anciennement appelée topologie combinatoire, qui permettent d’ordonner et decombiner les primitives géométriques (sommets, arêtes, faces, etc.) des objets discrétisés entreeux. Mais la géométrie et la combinatoire n’ont pas toujours été clairement séparées commel’illustre l’un des premiers modèles topologiques : la représentation à base d’arêtes ailées deBaumgart (1975), ou Winged-Edge data structure, décrit la manière dont les arêtes sont ordonnéesautour des nœuds (Figure 3.1). Elle fait donc porter l’information d’ordre sur les primitivesgéométriques sans identifier explicitement des primitives topologiques.Fig. 3.1 – La Winged-Edge data structure de Baumgart (1975).Ce modèle des arêtes ailées est la plus conventionnelle des structures topologiques. Il est centré sur une primitive,l’arête, à partir de laquelle est décrit l’ensemble des relations de voisinage qu’elle possède avec les noeuds et lesfaces incidentes.Weiler est le premier à distinguer dans son modèle le Radial Edge Structure (Weiler, 1986a ;Weiler, 1986b) la combinatoire du plongement. Ce modèle, comme la majorité des modèlestopologiques de ces deux dernières décennies, ne distingue pas la topologie intra-objet de la topologieinter-objets, ce qui alourdit les structures de données et rend l’analyse plus fastidieuse.Pour pallier ces problèmes, Conreaux (2001) propose de dissocier totalement ce triptyque :l’objet est défini par une toile qui représente, par une G-Map développée par Lienhardt (1994),la topologie intra-objet et par un cadre qui décrit la topologie inter-objets.Après avoir exposé les notions de topologie nécessaires à la présentation des modèles, nous passonsen revue les principaux modèles topologiques rencontrés dans la littérature, nous mettonsen avant le modèle topologique qui semble le plus apte pour modéliser les objets géographiquesde nature différente (ex. : maisons, MNT et autres formations géologiques).48

3.1 Notions de topologieLa topologie est une branche assez récente des mathématiques. Souvent qualifiée de « sciencedes objets en pâte à modeler » (Lévy, 2000), elle étudie les invariants des déformations spatialespar des transformations continues. Dans le domaine de la géométrie euclidienne, deux objetssont géométriquement équivalents s’il est possible, par l’intermédiaire d’une isométrie (ex. :rotation, translation, réflexion), de passer d’un objet A à un objet B en conservant la valeurdes angles, des longueurs, des aires, des volumes et autres. En topologie, deux objets A et B,ou espaces topologiques, sont topologiquement équivalents, ou homéomorphes, s’il existe uneapplication φ bijective et continue associant tout point de A à un point unique de B et dontl’inverse φ −1 est elle - même continue (Agoston, 1976). La théière ci-dessous (Figure 3.2) esthoméomorphe au tore à deux trous : les deux trous du tore correspondent, par une déformationcontinue, à l’anse et au bec de la théière.Fig. 3.2 – Une théière et son couvercle sont respectivement homéomorphes à un tore àdeux trous et à une sphère, d’après Grosse (2002).Cette partie présente succinctement certaines notions, en topologie générale (point-set topologydans la littérature anglo-saxonne) et en topologie algébrique, nécessaires pour décrire les différentsmodèles topologiques. Elles sont aussi utilisées dans le cadre de la partie III qui se focalisesur la mise en relation d’objets géographiques (topologie intra-objet).3.1.1 Espace topologiqueLa majorité des représentations géométriques discrétise un objet en un ensemble de briques,ou primitives, de dimension topologique différente (le point (0D), l’arête (1D), la surface (2D),etc.). Chaque brique correspond, en topologie, à un espace topologique qui est défini comme uncouple (X, T ), où X est un ensemble et T une topologie sur X.49

La topologie T est un ensemble de sous-ensembles (parties) de X définis comme ouverts, c’està dire vérifiant les propriétés suivantes :– X et ∅ sont ouverts (ils appartiennent à T );– l’union d’une famille quelconque d’ensembles ouverts est ouverte ;– l’intersection d’une famille finie d’ensembles ouverts est ouverte.Les espaces topologiques sont classés selon plusieurs propriétés topologiques comme la connectivité,la continuité ou par des axiomes de séparation (Willard, 1970). Ces derniers classent lesespaces topologiques, notés T n , en fonction de la notion de voisinage. Le voisinage d’un point,ou élément, x de X est un sous-ensemble contenant un ouvert qui contient ce point. L’espace T 2 ,aussi connu sous le nom d’espace d’Hausdorff, présente, pour deux points distincts, un voisinagedisjoint. Il est le plus adapté pour représenter notre réalité (Daragon, 2005) et, par conséquent,il constitue la base des modèles topologiques.Il est possible de construire de nouveaux espaces topologiques à partir d’espaces topologiquespréexistants par produit en définissant, au préalable, la base d’un espace topologique. Une base,pour une topologie T , est une famille B telle que chaque ensemble ouvert dans X est une uniond’ensembles dans B. La topologie T est alors la plus petite topologie sur X contenant B etengendrée par B. L’espace produit est le produit cartésien d’une famille d’espaces topologiqueséquipée d’une topologie naturelle appelée la topologie produit.Ces définitions constituent les outils de base pour définir les notions fondamentales, en topologiealgébrique, de cellules, de complexes cellulaires et de variétés sur lesquelles certains formalismesde modèles topologiques sont fondés (Lienhardt, 1994 ; Brisson, 1990).3.1.2 Cellules et complexes cellulairesUne cellule est un espace topologique homéomorphe à une boule 4 ouverte de dimension i. LaFigure 3.3 présente des exemples de cellules de dimension 0 à 3 plongées dans R 3 :– une 0-cellule, appelée par la suite sommet, est un point isolé de R 3 ;– une 1-cellule, nommée arête, est une ligne simplement connexe, c’est à dire composéed’une seule partie, dont les deux extrémités ont été retirées 5 ;– une 2-cellule, appelée face, est une surface simplement connexe, c’est-à-dire composéed’une seule partie et sans trou et dont le bord, assimilable à une ligne, a été retiré ;– une 3-cellule, appelée corps, est un solide simplement connexe dont le bord, assimilable àune surface, a été retiré.4 Boule : en topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d’un espace métrique. Dans un espacemétrique (E, d), pour x 0 ∈ E et ρ ∈ R + , une boule ouverte de centre x 0 et de rayon ρ est définie comme étantl’ensemble défini par B ( x 0 ,ρ := {x ∈ E/d(x, x 0 )

Fig. 3.3 – Exemples de cellules plongées dans R 3 , d’après Grosse (2002).La discrétisation d’un objet, en une succession de cellules de dimension différente, permet dedécrire la topologie d’un objet en :– combinant l’ensemble des cellules décrivant l’objet ;– ordonnant certains éléments autour d’éléments de dimension inférieure (Figure 3.4).Fig. 3.4 – Éléments ordonnés autour d’éléments de dimension différente, d’après Lévy(2000).Les sommets d’un polygone sont ordonnés autour du polygone, les polygones d’une surface sont ordonnés autourdes sommets et, dans un solide, les polyèdres sont ordonnés autour d’arêtes.51

Ansaldi et al (1985) et de Floriani et Falcidieno (1988) représentent les objets par des hypergraphes(c’est-à-dire des graphes possédant des multi-arcs, liant un nombre arbitraire desommets du graphe) où les facettes incidentes à un sommet sont ordonnées autour de ce sommet(Figure 3.5).Fig. 3.5 – Graphe et hypergraphe d’adjacence de faces, d’après Billen (2002).Le cube grisé est représenté soit par un graphe d’adjacence de faces soit par un hypergraphe d’adjacence de faces.Le graphe d’adjacence représente uniquement les relations entre faces : chaque face est modélisée par un noeudet ses relations d’adjacence avec les autres faces par des arcs. L’hypergraphe d’adjacence de faces précise si deuxfaces sont adjacentes suivant une arête ou un noeud. Cela permet de connaître, pour un noeud ou une arête,l’ensemble des faces incidentes.La combinaison d’un ensemble de cellules décrivant un objet engendre un type particulierd’espace topologique : le CW complex, ou Closure-finite weak complex, introduit par Whitehead(1949), qui est construit à partir de n − cellules de dimensions croissantes. L’espace engendréX est un espace d’Hausdorff qui satisfait aux conditions suivantes :– il existe un filtre 6 par les sous-espaces tel que X (−1) ⊆ X (0) ⊆ X (1) ⊆ X (2) ⊆ . . . avecX ⋃ n≥−1 X (n) ;– X (−1) est vide et pour n ≥ 0, X (n) est obtenu à partir de X (n−1) en associant une famille{e n i : i ∈ I n } de n-cellules ;– chaque cellule fermée contient une union finie de cellules ouvertes, ce qui explique le termede closure-finite ;– X a une topologie faible en ce qui concerne la famille de toutes les cellules. A ⊂ X estfermé dans X si et seulement si l’intersection de A avec chaque cellule fermée e est ferméedans e en ce qui concerne le sous-espace topologique.6 Filtre : partie F non vide d’un ensemble partiellement ordonné (P, ≤) vérifiant les deux conditions suivantes :– pour tout x, y dans F , il existe z dans F , tel que z ≤ x et z ≤ y. (c’est une base de filtre) ;– pour tout x dans F et y dans P , x ≤ y implique que y est dans F .52

Les CW complex sont une généralisation des complexes simpliciaux que certains auteurs, commeCarlson (1987) ou Pilouk (1996), préfèrent car ils sont plus faciles à manipuler. Un complexesimplicial est un ensemble fini de simplexes k = {σ 0 , . . . , σ n } tel que :– si σ i ∈ k alors toutes les faces 7 sont dans k ;– soient si σ i ,σ j ∈ k alors σ i ∩ σj ∈ k (les deux simplexes ont une face commune).Un simplexe est homéomorphe à une cellule et il a la particularité de représenter géométriquementl’enveloppe convexe d’un ensemble de (n + 1) points indépendants affinement dans unespace euclidien (Figure 3.6).Fig. 3.6 – Simplexes de dimension 0, 1, 2 et 3, d’après Billen (2002).L’utilisation de simplexes a pour avantage de présenter une topologie implicite. En effet, un 3-simplexe seratoujours composé de quatre 2-simplexes. Chaque 2-simplexe est lui-même composé de trois 1-simplexes qui euxmêmessont constitués de deux 0-simplexes. De manière générale, pour tout n>0, un n-simplexe sera composéde n (n − 1)-simplexes.3.1.3 Notions de variétésUn espace topologique (dans notre cas une cellule ou complexe cellulaire) est qualifié en fonctionde son voisinage. Il peut, dans notre cas, être :– une variété topologique de dimension n si chacun de ses points possède un voisinagehoméomorphe à une boule ouverte de R n ;– une non-variété si le voisinage de chacun de ses points n’est pas homéomorphe à uneboule de dimension n (Figure 3.7) ;– une quasi-variété, ou pseudo-variété, si tout (n − 1)-cellule est au bord d’au plus deuxn-cellules.Les modèles topologiques, utilisés dans les géomodeleurs ou les SIG, servent à la représentationde volumes et de surfaces subdivisées orientables. Ces structures combinatoires, connues sousle terme de cartes combinatoires (Edmonds, 1960) pour des représentations 2D et étendues à la7 Face : l’enveloppe convexe d’un sous-ensemble non-vide de n+1 points qui définit un n−simplexe est appeléeface du simplexe.53

correspondante dans le dual, sont précisés, ce qui fait quatre possibilités (donc quatre arêtesdirigées et orientées) pour chaque arête (Figure 3.9).Fig. 3.9 – Structure de quarts d’arête.Le modèle des quarts d’arête utilise, pour chaque arête, quatre demi-arêtes (en vert) ou arêtes orientées etdirigées :– deux demi-arêtes issues du découpage de l’arête (au niveau de sa médiatrice) et orientées vers un noeuddifférent ;– deux demi-arêtes décrivant les faces incidentes de l’arête initiale. Dans le cas d’un diagramme de Voronoï,elles permettent de reconstruire son dual : une triangulation Delaunay (en rouge).3.3 Les modèles topologiques dans R nA l’exception de modèles dédiés à des applications orientées Web, comme le Simplified SpatialModel de Zlatanova (2000) ou l’Urban Data Model de Coors (2002), qui n’utilisent que les 0-cellules et les 2-cellules pour construire la topologie d’un objet, les modèles topologiques dansR n dérivent des précédents modèles, comme le SOMAS de Pfund (2001) ou le OO3D de Shi etal (2002) qui sont une extension du DCEL.3.3.1 Extension du modèle des arêtes ailéesLe modèle des arêtes ailées a donné naissance, surtout dans le domaine des SIG 3D, à denombreuses extensions qui sont assises sur la relation « arc-face », ou « arc-face orientée ». Ellesse distinguent du modèle des arêtes ailées en différenciant la topologie intra-objet du plongement.Les principaux modèles sont :– le 3D Formal Data Structure de Molenaar (1990), qui utilise quatre cellules topologiques(nœud, arc, face et arête) et quatre primitives géométriques (point, ligne, surface et corps).L’arête est utilisée pour la relation « arc-face » et pour orienter les faces. Grâce à 12conventions, ou règles, ce modèle gère des objets non-variétés en explicitant les singularitéscomme la relation« nœud dans face ». Malgré une structure de données assez lourde etcertaines difficultés pour la visualisation (Zlatanova et Tempfli, 1998), ce modèle estutilisé pour la modélisation urbaine (Shibasaki et Shaobo, 1992 ; Grün et Wang, 1998) etconstitue une base pour de nombreux travaux (Rikkers et al, 1993 ; de Hoop et al, 1993 ;Abdul-Rahman, 2000) ;56

– le TEtrahedral Network de Pilouk (1996) qui reprend les travaux de Carlson (1987) etdécrit, à l’aide de complexes simpliciaux, les maillages à base de tétraèdres. Dédié auxobjets aux limites flous comme une couche géologique, il a été implémenté dans GOCADpar Lachance (2005) pour décrire les relations topologiques inter-objets (ex. : inclusion,intersection, etc.);– le OO-model (de la Losa et Cervelle, 1999 ; de la Losa, 2000) qui utilise des simplexes.Il présente, en plus de la relation « arc-face orientée », les primitives topologiques « facesorientées » et « arcs orientés ».3.3.2 Le modèle des arêtes radialesWeiler (1986b) étend son modèle à base de demi-arêtes en ordonnant les faces adjacentes à unemême arête (par un balayage ou un éventail, d’où le terme d’arête radiale) pour représenterdes objets non-variétés et décrire, sans ambiguïté, les relations de connectivité des surfacespartageant une arête commune. Cette structure est utilisée dans le logiciel GOCAD pour lareprésentation des modèles volumiques (Figure 3.10).Fig. 3.10 – La structure de l’arête radiale, d’après Grosse (2002).Dans ce modèle, chaque face est constituée de deux faces orientées différemment. Chaque face est constituée dedemi-arêtes (arêtes coupées dans le sens de la longueur) qui sont ordonnées autour d’une arête centrale.3.3.3 Extension des modèles à quarts d’arêteDobkin et Laszlo (1987) étendent la structure de Guibas et Stolfi (1985) aux 3-variétés. Ilsutilisent, comme brique de base, le couple (arête, face) pour lequel l’arête est incidente à la face.57

Au même titre que le modèle des quarts d’arête, ils exploitent le fait que le dual topologiqued’une arête est une face, et réciproquement, pour donner une orientation et parcourir la structureà l’aide d’objets face-arêtes associés à chaque couple (arête, face). Les face-arêtes permettentde tourner autour d’une arête et de traverser une face de deux manières différentes.3.3.4 Les modèles fondés sur des complexes cellulairesDans cette représentation, les objets sont décomposés en un ensemble fini de cellules de formequelconque. Les cell-tuples de Brisson (1990), les Cartes Généralisées (G-Map) de Lienhardt(1994) et les n-surfaces de Bertrand et Couprie (1999) sont trois exemples de ces représentations.Elles présentent l’intérêt majeur de reposer sur un formalisme mathématique bien défini quidécrit les différentes relations associant les cellules d’un même objet. Par conséquent, un seulélément topologique associé à un opérateur d’adjacence par dimension est nécessaire pour décriretout objet variété ou quasi-variété.Les cell-tuplesBrisson (1989) introduit un modèle cell-tuple, fondé sur les propriétés de CW-Complex, pour décrireles subdivisions d’objets variétés. Un cell-tuple décrit le chemin du graphe d’incidence quiévolue, à travers le graphe, à partir d’une cellule de dimension 0 vers des cellules de dimensionscroissantes. Il s’écrit sous la forme (C α0 ,C α1 , . . . , C αn ) où C αk désigne une cellule de dimension k.Ce modèle repose sur la propriété fondamentale que les cellules, entre deux cell-tuples adjacents,sont identiques à l’exception de celle de dimension K. Brisson définit un opérateur Switch k quipermet de passer d’un cell-tuple à un autre en changeant la cellule de dimension k (Figure 3.11).Par exemple, en 2D, un cell-tuple est donc un 3-uplet (s, a, f) composé d’un sommet s, d’unearête a et d’une face f. Il existe un unique sommet s ′ partageant la même arête a et la mêmeface f, une unique arête a ′ partageant le même sommet s et la même face f, et une unique facef ′ partageant le même sommet s et la même arête a.Les opérateurs Switch k peuvent être chaînés de manière à se déplacer dans la structure. Lastructure des cell-tuples a été simplifiée dans le contexte des SIG 3D par l’ajout de frontières 9et de co-frontières 10 par (Pigot, 1995) et étendue aux quasi-variétés par Mesgary (2000).9 « La frontière d’une k-cellule est définie comme l’ensemble de toutes les (k−1)-cellules qui lui sont incidentes »(Billen, 2002).10 « La co-frontière d’une k-cellule est définie comme l’ensemble de toutes les (k + 1)-cellules qui lui sontincidentes » (Billen, 2002).58

Fig. 3.11 – Exemple d’une décomposition d’un complexe cellulaire 2D en cell-tuples eteffet de l’opérateur de changement (Switch) sur certains d’entre eux, d’après Mesgary(2000).L’utilisation du Switch permet, à partir du 3-uplet (2, e, A), d’atteindre le noeud décrit par le 3-uplet (5, e, A)(si k =0), l’arc décrit par le 3-uplet (2, a, A) (si k =1) et la surface décrite par le 3-uplet (2, e, B) (si k =2).Les n-GmapLa structure des G-Maps, ou cartes généralisées, de Lienhardt (1994) est plus générale que celledes Cell-Tuples de Brisson. Elle représente une classe plus vaste d’objets : les quasi-variétés,ou pseudo-variétés, cellulaires. Cette structure repose sur l’utilisation du brin qui est une arêtecoupée latéralement (Figure 3.12).Les brins sont associés entre eux par des involutions α i , en considérant un type d’involution 11par dimension. Ces involutions lient les brins entre eux et permettent de parcourir la structure.Ils opèrent de la même manière que l’opérateur Switch de Brisson. La surface de la Figure 3.12est construite par une association de 14 brins :– l’involution α 0 forme des arêtes à partir des brins des sommets ;– l’involution α 1 construit, dans l’exemple ci-dessus, trois polygones à partir des brins desarêtes ;– l’involution α 2 associe les brins des polygones pour assembler les polygones et créer l’objet(surfacique ou volumique).Formellement, une G-Map est un (n + 2)-uplet G =(B, α 0 , . . . , α n ) où B est un ensemblefini de brins, et les α 0 sont des involutions sur les éléments de B qui sont des involutions ettelles que pour ∀i ∈ (0, . . . , n − 1) α i est une involution sans point fixe, et ∀i ∈ (0, . . . , n − 2)et ∀j ∈ (i +2, . . . , n),α i ◦ α j est une involution. Cette dernière condition assure que, selon11 Une involution est une fonction f telle que f ◦ f = Id où Id est la fonction identité.59

Fig. 3.12 – Exemple de G-Map, d’après Conreaux (2001).la définition de Lienhardt (1994), les structures représentées sont, en 3D, des quasi-variétés(Figure 3.13). Ce modèle est très utilisé pour modéliser des objets aussi complexes que desformations géologiques, comme la caractérisation d’un réseau de failles (Halbwacks et al, 1996),ou à la géométrie plus simple comme des bâtiments (Horna et al, 2006).Fig. 3.13 – Exemples de quasi-variétés représentés par des G-Maps, d’après Lévy (2000).En dimension 2, cette classe est équivalente aux variétés. Les différences commencent à apparaître pour desvolumes. Ainsi, l’assemblage de quatre pyramides à base carrée se touchant en leur sommet (A) forme un objetvolumique (B) qui n’est pas une variété, à cause du point central dont les voisinages ne sont pas équivalents àune boule. Cet objet, ainsi qu’un tore dont le rayon central est nul (C, D) sont des quasi-variétés, pouvant êtredécrites comme l’assemblage de n-cellules le long de (n − 1)-cellules.60

Les n-SurfacesLes n-Surfaces ont été développées par Bertrand et Couprie (1999) pour la topologie d’imagescontenant des objets. Les n-surfaces sont utilisées pour définir les surfaces n-dimensionnellesdans le cadre des ordres, et plus généralement, des graphes (Figure 3.14). Elles se fondent sur leprincipe que le voisinage de tout point dans une n-surface est une (n − 1)-surface. Un ordre estune paire (X, α), avec X un ensemble et α une relation réflexive, antisymétrique et transitive.On note β l’inverse de α et θ l’union d’α et de β. Les ordres finis dénombrables, ou CF-Order,sont les ordres pour lesquels X est dénombrable et localement fini c’est-à-dire que ∀x ∈ X, θ(x)est fini. Pour n’importe quelle relation binaire ϕ sur un ensemble X, pour tout élément de x deX l’ensemble ρ(x) est appelé ρ-adhérence de x et ρ(x) ✷ (x) =ρ(x) − S l’ensemble l’adhérencestricte de x. L’ordre (X, α) est dit connecté si tout couple de cellules peut être joint par unesuite de cellules liées par l’opération θ ✷ . Soit un CF-order non vide :– l’ordre |X| est une 0-surface si |X| est composé d’exactement deux points x et y tels quey/∈ α(x) et x/∈ α(y) ;– l’ordre |X| est une n-surface, n>0, si |X| est connexe et si ∀x ∈ X l’ordre |θ (x)X | est une(n − 1)-surface.Fig. 3.14 – Quelques n-surfaces, d’après Daragon (2005).(a) Subdivision d’une sphère creuse en deux hémisphères e et f (2-cellules) séparés eux-mêmes par un cerclesubdivisé en deux segments c et d (1-celulles), lesquels sont séparés par les points a et b (0-cellules). (b) Représentationsous forme de graphe de la subdivision représentée en (a) ; c’est une 2-surface nommée par la suite|S2|. (c) θ ✷ -voisinage du 1-cellule c dans |S2| est une 1-surface. (d) Subdivision d’un tore creux. (e) Représentationpar un graphe d’incidence de la subdivision représentée en (d). C’est une 2-surface dans laquelle les2-cellules se nomment A, B, C et D, les 0-cellules se nomment a, b, c, et d, et les 1-cellules sont numérotés de1 à 8.61

Daragon (2005) a démontré que les n-surfaces constituent une structure intermédiaire entrevariétés combinatoires et pseudo-variétés. Il a développé des opérateurs permettant de convertirles n-surfaces en un sous-ensemble de G-Map et réciproquement.3.4 Conclusion sur les modèles topologiquesLa diversité des objets géographiques (qu’ils soient anthropiques ou naturels), leurs spécificités(objets eulériens 12 ou non-eulériens, objets à trous, etc.) et la rapidité d’affichage ou la gestiond’une cohérence « géométrico-topologique » inter-objets sont autant de critères à prendre encompte pour définir un modèle topologique adapté aux besoins des utilisateurs.En effet, la modélisation d’un cadastre 3D, comme Stoter l’a réalisée dans sa thèse 3D Cadastreen 2003, nécessite la gestion d’objets uniquement volumiques et sans faces pendantes.Ils sont, par conséquent, assimilables à des objets variétés représentés à l’aide de la structureSSM de Zlatanova (2000). Cette dernière offre, par l’omission d’une primitive topologique (la1-Cell), une représentation optimisée pour l’affichage (notamment via le Web) de modèles exclusivementurbains. L’inconvénient de ce modèle est son impossibilité de traiter des objetsnon-variétés (ex. : l’intersection d’une faille dans une formation géologique ou la relation desuperposition entre un MNT et un bâtiment (Figure 3.15)), l’omission des 1-Cell (qui peut êtreà l’origine de certains problèmes de cohérence) et un manque de formalisme qui nécessite, pourse déplacer d’une primitive à une autre, une implémentation algorithmique rigoureuse (c’est-àdirequi prévoit et gère toutes les configurations possibles) comme pour le modèle 3D FDS deMolenaar (1990) qui assure la cohérence des données à travers une dizaine de règles (ex. : lesarcs et les faces ne peuvent s’entrecroiser ou un arc peut croiser une face si un noeud et un arcsont créés, etc. ).L’utilisation de modèles topologiques non-formalisés (UDM, 3D FDS, TEN, etc.) ne se limite pasaux objets variétés. Ils permettent, comme les structures topologiques de Weiler (1986, 1988),de modéliser des objets non-variétés comme l’illustre la Figure 3.15. Cependant, le manque deformalisme entraîne souvent :– une augmentation du nombre de primitives en fonction du nombre de cas susceptiblesd’être gérés. Plus l’objet sera complexe (ex. : présence d’anse), ou dans un environnementcomplexe, plus sa modélisation nécessitera de primitives topologiques ;– des structures de données assez lourdes et une maintenance souvent délicate ;– l’établissement de règles pour permettre la gestion de certaines singularités (ex. : un pointdans une face) et assurer une implémentation robuste.Le OO-model, développé par de La Losa (2000), illustre ces trois aspects (Figure 3.16). Ilconstitue un des modèles topologiques les plus complets (notamment par sa gestion des anses)mais il nécessite un nombre élevé de primitives à instancier, ce qui rend sa maintenance et sonimplémentation extrêmement délicate. Pour représenter un objet variété, comme un immeuble12 Un objet est dit eulérien s’il vérifie cette relation : f − a + s =2où f représente le nombre de faces del’objet, a le nombre d’arêtes et s le nombre de sommets.62

Fig. 3.15 – Exemple d’objets variétés et non-variétés.(A) Deux objets variétés : une maison (3-variété) et un MNT (2-variété) (B) Objet fusionné : les deux objetsvariétés deviennent un objet non-variété.sans ouverture, il nécessite l’instanciation d’au moins 11 primitives : le couple « arc-face », l’arc,l’arête, le segment, le noeud, le point, la face, etc.Les modèles topologiques formalisés, comme la G-Map de Lienhardt (1991), le Cell-tuple deBrisson (1990) ou les n-surfaces de Bertrand et Couprie (1999) ont l’avantage de faciliter le parcoursdes primitives topologiques (ex. : l’opérateur Switch de Brisson) et de limiter leur nombrequel que soit le type d’objet (variété ou non-variété). En effet, le modèle de Lienhardt n’utiliseque 5 primitives (la demi-arête, l’arête, le noeud, la surface et le volume) pour reconstruireet décrire l’ensemble des configurations topologiques possibles. Utilisés pour reconstruire desbâtiments (Horna et al, 2007) ou des formations géologiques (Bertrand et al, 1992 ; Halbwatchset al, 1996), ils restent difficiles à implémenter et ne sont pas plus rapides que les structuresnon-formalisées comme le montre Lévy (2000) dans son analyse comparant la structure de demiarêtede Weiler à sa H-G-Map.Actuellement, le grand nombre de modèles topologiques (Tableau 3.1) permet aux utilisateursde choisir en fonction des objets qu’ils ont à manipuler : variété, non-variété ou quasi-variété.Cependant, les modèles intégrant des objets de nature et de dimension différentes, comme dansle cas d’une analyse de risque, nécessitent la mise en relation d’objets pouvant être (ou devenir)non-variétés (Figure 3.15). Par conséquent, l’utilisation de structures non-variétés s’impose etdoit être accompagnée par une représentation géométrique précise et cohérente et par une homo-63

Fig. 3.16 – Le OO-model de de la Losa (2000).Le modèle topologique de De La Losa est dans la lignée du modèle 3D FDS ou du SSM. Il est composé d’unniveau géométrique, représenté par une décomposition en simplexes sans enregistrement explicite des arêtes, etd’un niveau topologique. Ce dernier, plus complexe, comporte six primitives (le noeud, l’arc, l’arête, la face, laface orientée et le volume) généralisées en un objet topologique. Ces primitives, et les relations qu’elles partagent,rendent compte d’une gestion très pointue de la topologie notamment les anses. L’inconvénient de ce modèle estsa difficulté d’implémentation et de mise à jour.64

Tab. 3.1 – Classification des modèles topologiques.Le choix du modèle topologique, selon Skapin (2007), dépend du :– type d’objets à représenter : utiliser un modèle adapté à une sous-classe pour représenter une classe plusgénérale est source d’erreurs ;– coût espace/temps du modèle et des opérations : pour une classe d’objets donnée, un modèle permettant de représenterune sur-classe d’objets est souvent plus coûteux en espace qu’un modèle optimisé pour cette classe.En effet certaines informations explicites dans le premier modèle sont rendues implicites dans le second.Réciproquement, si des opérations nécessitent de souvent recalculer explicitement certaines informations implicites,il peut être préférable, malgré la perte en espace, de choisir un modèle plus général. Quelques modèlesfont d’ailleurs un certain compromis : la définition des G-Map comporte des contraintes de cohérence quipourraient être utilisées pour encore optimiser la représentation, mais cette optimisation en espace rendraitcoûteuses les opérations de manipulation de base. Enfin, certains traitements n’ont pas besoin d’exploiter l’ensembledes informations fournies par le modèle, et on peut (parfois) les optimiser en ne leur fournissant queles informations nécessaires (Prat et al, 2005) ;– coût de conception de certaines opérations. Par exemple, la définition même de certains modèles ne prend pasen compte les contraintes de cohérence que doivent vérifier les objets représentés. Le contrôle de la validitédes objets doit donc se faire via les opérations de construction.65

généisation des modèles topologiques (par une conversion ou une reconstruction des structurestopologiques). Dans cette optique, le modèle des arêtes radiales est certainement le plus adaptéet le plus facile à implémenter à moins que nous distinguions, de la même manière que Lévy(2000), une topologie intra-objet qui respecte le choix des utilisateurs et un modèle topologiqueinter-objets qui soit dédié à la mise en relation. Cette distinction éviterait des reconstructionsou des conversions et ne nécessiterait pas une parfaite cohérence géométrique.66

CHAPITRE 4L’APPROCHE « GÉOMÉTRICO-TOPOLOGIQUE » DUMODÈLE CRISTAGE : UNE PREMIÈRE PROPOSITIONL’évaluation des modèles géométriques, en termes de représentation (Billen, 2002 ; Ramos,2003) et d’analyse (à partir des critères évoqués dans l’introduction : position du centre, implantationspatiale, morphologie, etc.), a montré qu’il n’existe pas de modèle universel assurantune représentation adaptée à la visualisation et aux analyses intra-objet et inter-objets :– Le modèle CSG, malgré une structure arborescente avantageuse, souffre de la manipulationde formes trop simples (ex. : sphère, cube, etc.) dont la modélisation peut s’avérer délicate(ex. : NURBS). Cette méthode est cependant adaptée au lancer de rayon (ex. : picking)qui est calculé par l’intersection de demi-droites avec des volumes mathématiques. Parexemple, l’intersection d’une droite avec une sphère est plus facilement calculable qu’avecun ensemble de polygones approchant la forme de la sphère ;– Le modèle par énumération spatiale permet, notamment par une décomposition en tétraèdres,de respecter la forme de l’objet géographique (quelle que soit sa complexité),de calculer son volume et de parcourir son intérieur ou son extérieur. Il pâtit essentiellementdu nombre, parfois excessif, de primitives qui limite l’affichage ou le traitement denombreux objets géographiques ;– Le modèle B-Rep semble dédié à la visualisation mais il ne présente pas, contrairement aumodèle par énumération spatiale et plus particulièrement à celui à base de tétraèdres, lescapacités nécessaires pour supporter l’ensemble des requêtes volumiques 3D (ex. : calculde volume).Les conclusions du chapitre 2 ont mis en exergue l’importance du choix du modèle topologique(variété, non-variété ou pseudo-variété) en fonction du type d’objets géographiques et la nécessité,si possible, de conserver le modèle topologique défini par l’utilisateur. En effet, le choix dumodèle topologique dépend du type d’objets à représenter (variété, non-variété, etc.), de leurcomplexité et de la densité de leurs données. En milieu urbain, avec des données épurées dutype bati3D représentant des objets variétés, un modèle topologique proche de l’implémentation,comme le SSM (Zlatanova, 2000), est suffisant. En revanche, la modélisation d’une forme67

plus complexe, ou non-variété comme une formation géologique recoupée par une faille, nécessiteun modèle topologique formel et robuste, tel que les G-Maps (Lienhardt, 1991) ou le modèledes arêtes ailées (Weiler, 1988), pour s’assurer de la parfaite cohérence du modèle géométrique.Face à ces observations, le prototype Cristage (Cristallographie pour l’Analyse Géographique)propose :– d’associer les avantages du modèle géométrique B-Rep, pour assurer la visualisation, etdu modèle par énumération spatiale pour les requêtes volumiques. Chaque objet géographique,défini comme un ensemble d’objets géographiques ou de sous-objets, possèdeune modélisation par B-Rep à partir de laquelle il est possible de dériver, à l’aide del’algorithme de tétraédrisation de Si et Gaertner (2005) développé dans la bibliothèqueTetGen 1 , un modèle par énumération spatiale dont les primitives sont des tétraèdres (Figure4.1).– d’utiliser un modèle topologique basique, pour le modèle B-Rep ou par énumération spatiale,qui est directement issu de la Winged-Edge data structure de Baumgart (1975) àpartir duquel nous avons explicité les relations faces - nœuds et volumes - faces (Figure4.2). L’utilisation d’une structure liant combinatoire et plongement nous fait qualifier lemodèle de géométrico-topologique. Ce modèle a été choisi car les objets testés sont uniquementdes objets eulériens. De plus, Cristage, même si le temps nous a manqué pourimplémenter et tester l’ensemble des modèles topologiques existants, a pour vocation deconserver, au niveau de l’acquisition d’un objet géographique, le modèle topologique définipar l’utilisateur et d’assurer la topologie inter-objets (Cf. Partie III).Fig. 4.1 – La représentation d’un objet géographique dans le prototype Cristage.L’objet géographique se définit, dans Cristage, comme étant un objet possédant une sémantique. De ce fait, ilpeut être le résultat de la composition d’autres objets géographiques (Une maison, par exemple, est composée d’untoit, d’une cheminée, d’une porte, etc.). Il est susceptible de se décomposer en sous-objet (c’est-à-dire forme nepossédant pas une sémantique explicite), comme un convexe, pour faciliter certains traitements (Cet aspect seradéveloppé dans la Partie II de ce mémoire).1 TetGen : Bibliothèque algorithmique en C++ dédiée à la tétraédrisation Delaunay, contrainte ou non, ouaux diagrammes de Voronoï. Site internet : http ://tetgen.berlios.de/68

Fig. 4.2 – Le modèle topologique du prototype Cristage.Chaque primitive géométrique de dimension n (Volume, Surface, Ligne et Point) est composée de (n-1) primitiveset elle est associée à une primitive topologique de dimension équivalente (3-Cell, 2-Cell, 1-Cell et 0-Cell). Lesprimitives géométriques sont spécialisées en simplexe (3-Simplexe, 2-Simplexe, 1-Simplexe, 0-Simplexe) pour lareprésentation par énumération spatiale. Les primitives topologiques peuvent, dans le cas d’un graphe (Cf. PartieIII), se spécialiser en face, arc ou nœud.69

CHAPITRE 5CONCLUSION : VERS UNE ANALYSE DES PRINCIPAUXÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DES OBJETS GÉOGRAPHIQUESCette étude bibliographique a permis la détermination d’un modèle géométrique et topologiquele mieux adapté à l’analyse et aux requêtes spatiales 3D et la constitution du noyau demodélisation de Cristage (Figure 5.3 , Figure 5.4). En effet, la combinaison du modèle B-Rep,du modèle par énumération spatialle et d’un modèle topologique relativement simple, permetde parcourir la surface d’un objet (ou son intérieur), de calculer son volume, d’obtenir certainesinformations sur sa morphologie, la mise en évidence des caractéristiques géométriques ou dedécrire les relations entre objets.Cependant, dans le cadre d’une analyse de risque, il est nécessaire de décrire plus globalementles objets géographiques, pour réaliser certaines requêtes comme l’extraction du toit d’une cavité,ce qui permet de mieux circonscrire la zone susceptible de s’effondrer, et plus précisémentla position des primitives géométriques par rapport à l’objet (ex. : haut, bas, devant, derrière,etc.). En effet, comme l’illustre la Figure 5.1 sur une application du relief à partir d’un MNTtriangulé, le déplacement de proche en proche (Bonin et Poupeau, 2005) facilite le regroupementde primitives (ici des triangles) possédant les mêmes caractéristiques. En revanche, il estdifficile de raisonner sur l’objet, c’est à dire de connaître les triangles appartenant au mêmeversant ou de déterminer le flanc opposé à un triangle, d’appréhender sa forme pour la décrire,la prolonger (comme dans la Figure 5.1 où seulement la partie supérieure de l’antiforme a étédétectée) et la classer ou de comprendre l’organisation des affluents d’un talweg.De plus, la détection des relations de voisinage entre objets souffre le plus souvent d’incohérences,plus ou moins marquées, issues de la modélisation ou de l’acquisition de données. Parconséquent, toute relation topologique ou logique peut être erronée comme dans la Figure 5.2où le bâtiment intersecte le MNT qui n’est plus en relation avec le sous-sol (« il flotte »).Pour permettre la manipulation (extraction d’une zone, position des primitives par rapportà l’objet, etc.) et la classification de l’objet, nous proposons dans la partie II, d’analyser et71

d’expliciter sa structure, à l’aide de principes issus de la cristallographie géométrique, pourconnaître le positionnement des primitives et, dans la partie III, d’assimiler les objets géographiques,quelle que soit leur dimension géométrique, à un volume englobant pour permettre deconserver, malgré les incohérences, les relations logiques, de pouvoir les décrire et, si nécessaire,de les faire évoluer dans le temps.Fig. 5.1 – Exemple de caractérisation du relief, d’après Bonin et Poupeau (2005).La caractérisation du relief est réalisée, de manière semi-automatique, en regroupant les triangles possédant descaractéristiques proches (ex. : pentes, directions, etc.). L’algorithme utilisé permet d’extraire la zone sommitale(A) et la partie supérieure d’un antiforme (B), dont la forme est représentée par un trait pointillé (C) et untalweg (D).72

Fig. 5.2 – Exemple de problème de cohérence des données.(A) Données en cohérence ; (B) Perte de cohérence entre les données.Fig. 5.3 – Schéma HBDS simplifié du prototype Cristage.Ce diagramme HBDS (Hypergraph Based Data Structure), méthode développée par Bouillé (1977 a, 1977 b, 1978,1996, 2008), permet de mettre en évidence les principaux ensembles, et concepts, de notre prototype Cristage.Nous observons que la classe « Objet Géographique » est associée à deux hyperclasses : une, intitulée « Sous-Objet », qui s’intéresse à la manière dont l’objet géographique se décompose et l’autre, nommée « Modélisationgéométrique », qui présente, sous forme de classes, différentes méthodes (ex. : B-Rep) permettant de modéliser sagéométrique. Cette dernière est associée à l’hyperclasse « Représentation géométrique » qui permet de représenteret d’afficher, notamment à l’aide des classes de « simplex », les objets géographiques. De ce diagramme simplifié(puisque nous avons omis, par soucis de visibilité, certains attributs et la cardinalité des liens), nous dérivons,sans difficulté, le schéma UML de notre prototype (cf. Figure 5.4).73

FIG. 5.4 - Schéma UML du prototype Cristage.Ce diagramme UML présente, en rouge, le modèle « géométrico-topologique » de Cristage : un objet géographique, constitué d’un ensemble d’objets géographiques ou de sous-objets (pouvant êtreconvexe), peut être modélisé par un B-Rep (pour l’affichage), par une énumération spatiale (pour les calculs volumiques) ou par la CSG (pour certaines modélisations ou pour le picking). Auxdeux premières modélisations est associé un même modèle topologique fondé sur celui de Baumgart (1975).75

Deuxième partieAnalyse morphologique des objetsgéographiquesCette deuxième partie présente deux abstractions de l’objet géographique introduites pourfaciliter l’analyse : la structure et la maille. Complémentaires du modèle B-Rep, considéré parde nombreux auteurs comme le modèle le mieux adapté aux SIG 3D, et aux structures topologiquesassociées, ces abstractions, ou représentations simplifiées, sont obtenues en décrivant, àl’aide de principes et de méthodes connus en cristallographie, la forme de l’objet. Chacune deces représentations sert de support à des applications, des analyses et des requêtes différentes.La structure, appréhendée par une analyse des symétries de l’objet, rend plus aisées certainesrequêtes liées à la morphologie de l’objet comme l’extraction du toit d’une cavité. La maille, quiest une généralisation 3D du Minimum Bounding Rectangle, est dédiée à la mise en relation desobjets entre eux et à la description de ces relations i.e. l’intersection, l’inclusion, l’adjacenceou la non-adjacence. Les principes de mise en relation des objets et l’évolution de ces relationssont développés dans la troisième partie.77

CHAPITRE 1INTRODUCTION : L’ANALYSE DE LA FORME, UNCOMPLÉMENT AU MODÈLE GÉOMÉTRICO-TOPOLOGIQUEDE CRISTAGELes conclusions de la partie I ont mis en évidence les capacités d’analyse des principauxmodèles géométriques et topologiques. Pour offrir un large panel d’analyses et assurer une visualisationde bonne qualité, le prototype SIG Cristage implémente deux modèles géométriquesassociés à un modèle topologique proche de celui développé par Baumgart en 1975 :– le modèle B-Rep, souvent préféré aux autres modèles géométriques par sa structure allégéeen termes de primitives géométriques (nœud, arc, face) qui permet la visualisationd’objets divers (couches plissées, ville, etc.) mais avec lequel les analyses sont restreintesau déplacement sur la frontière ;– le modèle par énumération spatiale, grâce à une subdivision de l’espace par des primitivesvolumiques (tétraèdres, voxels, etc.), qui convient particulièrement bien aux requêtesvolumiques et à la simulation mais reste limité par le nombre important de primitives volumiquesnécessaires pour modéliser les objets géographiques.La majorité des analyses intra-objet profite du modèle topologique qui, par une descriptionlocale des relations de voisinage, assure une cohérence géométrique et le déplacement de procheen proche des primitives géométriques.Toutefois cette approche est essentiellement locale, l’objet géographique reste perçu comme un« paquet non organisé », par rapport à lui-même, de primitives géométriques (ex. : faces), cequi a pour conséquence de rendre certaines analyses délicates. En effet, la description de lamorphologie d’un objet (c’est à dire sa forme et ses orientations préférentielles), la mise enévidence de ses particularités géométriques (parallélisme, colinéarité, etc.), le positionnementrelatif et absolu de ses primitives géométriques (haut, bas, gauche, etc.) par rapport à lui-mêmeou le guidage du parcours de proche en proche des primitives géométriques ne peuvent êtresimplement obtenus en combinant les spécificités des modèles géométriques (B-Rep ou énumérationspatiale) et la structure topologique qu’au prix de calculs complexes.79

En observant la forme d’un cristal, « solide naturel homogène limité par des surfaces habituellementplanes faisant entre elles des angles bien définis » (Pomerol, 2003), nous nous sommesaperçus que cet objet présente de nombreux points communs avec les objets géographiques. Eneffet, un cristal présente un arrangement interne régulier d’atomes qui le structure et lui donnecette forme régulière. L’analyse de cet arrangement régulier, connu sous le terme de structurecristallographique, donne une description synthétique de la forme et de la position des élémentsqui le constituent. Par analogie, nous pouvons considérer que l’objet géographique, malgré unecertaine hétérogénéité, possède lui aussi une structure qui définit « la manière dont les partiesd’un ensemble sont agencées entre elles » (Larousse, 1996), c’est à dire qui décrit la positiondes primitives géométriques par rapport à l’objet.Cette nouvelle approche offre une description haut niveau 1 de l’objet géographique, complémentairede l’approche bas niveau apportée par les modèles topologiques, à partir de laquelleil est possible de réaliser l’ensemble des requêtes nécessitant une connaissance de sa forme etde ce qui la régit. Elle se fonde sur la structure, première abstraction 2 de l’objet géographiqueque nous représentons par les normales aux faces passant par son centre. La structure permetde reconstruire une forme régularisée, c’est à dire sans artefact, à partir de laquelle il est possibled’analyser ses symétries et d’en déduire une deuxième abstraction : la maille qui est unegénéralisation de la Bounding Box ou boîte englobante.Cette partie, consacrée au développement d’une description haut niveau de l’objet à travers certainsprincipes cristallographiques, est composée de trois chapitres. Le premier chapitre exposebrièvement les fondements de la cristallographie géométrique. Le second chapitre s’intéresse àl’intégration de certains principes cristallographiques, et plus particulièrement à la notion destructure, pour analyser les objets géographiques. Enfin, le dernier chapitre présente deux applicationsréalisées à partir de la structure des objets géographiques : la subdivision de formesnon-convexes en formes convexes et la simplification de bâtiments 3D.1 Le terme haut niveau distingue la description de l’objet géographique et de ses relations avec ses composants(primitives, sous-objets, etc.) géométriques. Le terme bas niveau décrit les primitives (géométriques outopologiques) constitutives de l’objet géographique et de leurs relations. Ces deux approches sont complémentaires.Nous avons choisi le terme haut niveau car la nouvelle description est plus synthétique et plus abstraiteque la représentation géométrique. La représentation haut niveau se contente d’expliciter un certain nombre depropriétés importantes présentes dans le bas niveau.2 Nous utilisons le terme abstraction pour décrire une représentation qui s’éloigne de la réalité mais obéit àdes critères prédéfinis facilitant sa manipulation.80

CHAPITRE 2NOTIONS DE CRISTALLOGRAPHIE2.1 Introduction : de Stenon à Miller, un bref aperçu del’histoire de la cristallographie géométriqueAvant de devenir une branche importante des sciences physico-chimiques, la cristallographieétait utilisée en pétrographie pour décrire la morphologie des cristaux. Dès le XVII ième siècle,un danois, Nicolas Stenon (1638-1686), présente, dans son ouvrage De solido intra solidumnaturaliter contento dissertationis prodromus, la première loi de constance des angles dièdres.Cette loi est établie à partir d’observations sur des cristaux de quartz. Il remarque que lesangles des faces des cristaux restaient constants malgré leurs différences d’aspect et de taille.A la même période, Huygens (1629-1695) pose, à partir du spath d’Islande 1 , les fondements del’optique cristalline en émettant l’hypothèse que les propriétés optiques des cristaux pouvaients’expliquer par les règles de leur arrangement interne.Dès le XVIII ième siècle, sans être clairement formulée, l’hypothèse d’une notion de structureinterne régissant la morphologie d’un cristal commence à émerger. Elle est étayée par la loi descaractéristiques entières formulée par l’abbé René Just Haüy (1743-1822) dans son Essai d’unethéorie sur la structure des crystaux (1784). En analysant le découpage naturel des cristaux decalcite selon des plans particuliers, ou clivages 2 , il met en évidence que la forme des cristauxrésulte de l’empilement, suivant les trois directions de l’espace, de petits volumes de matièrequ’il nomme « molécules intégrantes ».Un de ses disciples, Gabriel Delafosse (1795-1878) étudie, dans sa thèse De la structure descristaux (1840), les rapports entre la forme d’un cristal et sa structure. Il dégage la notion de1 Spath d’Islande : Variété de calcite présentant des faces cristallines nettes.2 Clivage : aptitude pour un minéral ou pour une roche à se fendre facilement suivant une famille de plansparallèles bien définis. Ces plans de clivage traduisent des anisotropies mécaniques qui sont liées, dans un cristal,à l’orientation des plans atomiques (d’après Foucault et Raoult, 1995).81

éseau cristallin 3 et distingue la maille cristalline 4 de son contenu « la molécule physique » qu’ilsitue aux nœuds du réseau, alors que Haüy concevait la « molécule intégrante » à la fois commeentité chimique et comme maille élémentaire.A partir des travaux de Delafosse et d’Haüy qui influencent profondément la cristallographieau XIX ième siècle, Auguste Bravais (1811-1863) formule, en étudiant les formes externes descristaux et leur structure interne, l’hypothèse de la structure réticulaire des cristaux. Il montre,en analysant toutes les combinaisons possibles des éléments de symétrie cristalline, que les cristauxpouvaient être regroupés en 32 classes de symétrie, elles-mêmes réparties en 14 types deréseaux de telle manière qu’aucun volume libre n’était laissé entre les réseaux. Son hypothèsede structure réticulaire des cristaux n’a été vérifiée qu’en 1912 avec l’apparition de la diffractiondes rayons X.L’émergence, à travers les travaux de Haüy, Delafosse et Bravais, d’une notion de structurecristalline interne régissant la forme du cristal montre l’importance d’abstraire le cristal, toutau moins son enveloppe géométrique, pour mieux l’analyser. Par analogie, nous posons commeaxiome que tout objet géographique possède une structure interne qui, même si elle ne présentepas la régularité d’une structure cristalline, peut décrire et manipuler son enveloppe géométriqueextérieure. L’intégration d’une notion de structure nécessite l’apport de nouveaux outils encomplément de ceux habituellement utilisés en géométrie. En effet, comme l’illustre l’exempleci-dessous (Figure 2.1), la structure d’un parallélogramme peut être décrite à l’aide de relationsd’équivalence et d’une symétrie centrale.Ce chapitre présente les concepts généraux de la cristallographie : le motif, la maille et lastructure et propose, en guise de conclusion, une réflexion sur la possibilité d’intégrer ces notionsaux SIG.3 « . . .dans l’intérieur du cristal, les molécules sont systématiquement espacées, de manière à présenter dansleur ensemble une sorte de configuration en quinconce, ou plus exactement l’image d’un réseau continu à maillesparallélépipédiques. . . », (Delafosse, 1840).4 « . . . la molécule intégrante d’Haüy n’est rien autre chose que le plus petit des parallélépipèdes que formententre elles les molécules voisines et dont elles marquent les sommets, ou si l’on veut, elle n’est que la représentationdes petits espaces intermoléculaires ou des mailles du réseau cristallin. Cette dernière est le véritable élémentatomique du corps, à part toute considération d’état cristallin : la particule intégrante n’est que élément de sastructure géométrique, quand il s’offre sous cet état particulier », (Delafosse, 1840).82

Fig. 2.1 – Intégration de la notion de structure dans un parallélogrammeA - Analyse du parallélogramme à partir de propriétés angulaires et des égalités triangulaires. B - Descriptiondu parallélogramme via sa structure. Il est défini à l’aide de relations d’équivalence et d’une symétrie centrale(représentée par un point bleu) : « pour que le quadruplet (A, B, C, D) soit un parallélogramme, il faut et ilsuffit que deux points occupant dans le quadruplet des places de même parité soient homologues dans la symétriecentrale échangeant les deux autres » (extrait d’un livre de cours de mathématiques des années 1970).2.2 MotifLe motif d’un cristal (Figure 2.2) est un atome, ou un groupe d’atomes, qui par son empilementpériodique tridimensionnel constitue le cristal.Fig. 2.2 – Exemple de motif.83

2.3 RéseauLe réseau cristallin (Figure 2.3) est l’abstraction de l’arrangement tripériodique des motifscristallins dont les centres sont représentés par un nœud. Lorsqu’un plan passe par trois nœudsnon coplanaires du réseau (et donc une infinité de nœuds), il est appelé plan réticulaire.Fig. 2.3 – Exemple de réseau et de plans réticulairesA - Représentation du réseau par des nœuds (boules vertes) qui sont l’abstraction des motifs. B – Famille deplans réticulaires (en bleu).2.4 MailleLa maille, ou lattice unit dans la littérature anglo-saxonne, est le plus petit parallélépipède quiconserve les propriétés géométriques, physiques et chimiques d’un cristal. Délimitée par huitnœuds du réseau, elle est représentée par trois vecteurs portés par les directions O x , O y et O zet caractérisée par trois longueurs a, b et c et trois angles α, β, γ (Figure 2.4).Les mailles sont associées à un système cristallin ou syngonie. Il existe sept systèmes cristallins(Figure 2.5) : le cubique, le quadratique (ou tétragonal), l’hexagonal, le rhomboédrique(ou trigonal), l’orthorhombique, le monoclinique le triclinique (celui qui présente le moins de84

symétrie). Ils sont définis à l’aide des paramètres de la maille c’est-à-dire à l’aide des longueursdes vecteurs de base et des angles entre ces vecteurs.Il est impossible pour une maille de posséder des symétries d’ordre 5 5 ou supérieur à 6. Eneffet, comme l’illustre la Figure 2.6, une maille d’ordre 5, comme le pentagone, ne permet pasde générer un réseau périodique.Fig. 2.4 – Exemples de maille.A – Maille dans le réseau, B – Caractéristiques de la Maille, C – Maille multiple. Selon Bravais, une maille estdite simple (A) si elle ne possède que des nœuds sur les sommets du prisme correspondant. Une maille est ditemultiple (C) si elle possède des nœuds supplémentaires (à l’intérieur, sur les faces ou sur les arêtes).Les paramètres de la maille permettent d’orienter le réseau et de décrire l’orientation des plansréticulaires notamment grâce aux indices de Miller (Figure 2.7). Ces indices, introduits en 1839par William Hallowes Miller (1801-1880) dans son Treatise on Crystallography, sont caractériséspar un ensemble de trois nombres entiers (positifs, négatifs, ou nuls) et notés ainsi (hkl).5 Symétrie d’ordre n d’axe (d) signifie que l’objet qui subit la transformation est globalement invariant parune rotation d’angle 2π/n autour d’un axe (d).85

Fig. 2.5 – Les sept systèmes cristallins, d’après Pomerol 2003.Les systèmes représentés de gauche à droite sont : le système cubique caractérisé par trois angles droits et par leslongueurs égales des vecteurs de base ; le système quadratique qui possède, lui aussi, trois angles droits et deuxvecteurs de norme égale ; le système hexagonal présente deux angles droits, un angle à 120˚et deux longueurs desvecteurs de base identiques ; le système rhomboédrique a trois angles différents et deux vecteurs de même norme ;le système orthorhombique est défini par trois angles droits et trois normes différentes les unes des autres ; lesystème monoclinique possède deux angles égaux et les normes de ses trois vecteurs sont différentes ; le systèmetriclinique ne présente aucune égalité entre ses angles ou les normes de ses vecteurs de base.Fig. 2.6 – Cas de mailles possédant des symétries d’ordre 5, 7 et 8.Lorsqu’une maille présente des symétries d’ordre 5, 7 ou 8, il est impossible de paver l’espace avec un seul typede maille. Cependant, de récentes recherches (Shechtman al, 1984) ont mis en évidence l’existence de structurecristalline apériodique présentant des symétries d’ordre 5 comme celle observée par Shechtman au cours detravaux effectués sur un alliage aluminium-manganèse rapidement solidifié.86

Fig. 2.7 – Indices de Miller, d’après Rousseau (2002).(A) Vue de face. (B) Vue de profil. Les indices de Miller décrivent l’orientation d’une famille de plans réticulaires.Ils sont les inverses des longueurs découpées sur les axes par le premier plan de la famille (c’est pourquoi le plangrisé, premier de la famille (102) a pour indice l = 2) qui ne contient pas l’origine.2.5 StructureLa structure d’un cristal (Figure 5.2) est la répétition périodique d’atomes ou de groupementsd’atomes (de même nature ou de natures différentes) suivant trois directions non coplanairesde l’espace définies par la maille. Elle est composée d’un motif, d’un réseau et d’une maille.Fig. 2.8 – Exemple de structure.En rouge, le motif de la structure. En bleu, la maille qui décrit la plus petite entité représentant les caractéristiquesgéométriques du réseau (α, β, γ et a, b, c). En vert, le réseau qui est constitué de la réplicationtridimensionnelle de maille. En gris, la structure ou l’association des motifs en chaque nœud du réseau (bouleverte).87

2.6 Conclusion : la cristallographie, outil de descriptionadapté aux objets géographiques ?La cristallographie et ses principales notions (la maille, la structure, le motif ou le réseau) reposentsur la régularité de l’arrangement interne des cristaux. Cette régularité est perceptibleà partir de leur forme et plus particulièrement à travers les angles (ex. : loi de constance desangles dièdres de Stenon) et les symétries qu’elle comporte.Malgré une définition relativement proche de celle du cristal, l’objet géographique n’offre pasles mêmes spécificités en termes de régularité, de convexité et il est difficile de lui imaginer unarrangement interne régulier. En effet, l’objet géographique par ses composants (ex. : sable,argile, etc.), ou ses matériaux de construction (ex. : tuiles, bois, etc.), ne semble pas présenterune homogénéité interne qui permette l’application directe des notions de motif, de réseau oude structure. Par exemple, il est impossible de concevoir, dans le cas d’une maison, que sa formesoit issue de l’empilement tridimensionnel d’un même motif.Cependant, tout objet géographique présente des éléments de symétrie (ex. : des miroirs ou desaxes de symétrie) suggérant une organisation interne qui régit et décrit sa forme tout en restantindépendante de la nature de ses composants. L’intégration de cette notion de structure dansles SIG et son analyse, notamment par une recherche des symétries présentes dans les objetsgéographiques, apporte une description haut niveau permettant :– une classification des objets géographiques en fonction de leurs symétries ;– une régularisation géométrique de la forme des objets géographiques qui est, entre autres,utile pour leur mise en relation (cf. Partie III) ;– la détection des caractéristiques géométriques de chaque objet (parallélisme, colinéarité,etc.) fondamentales pour certaines analyses comme la simplification ;– le guidage des déplacements sur la frontière des objets géographiques pour extraire certainséléments comme la détection et l’extraction du toit d’une cavité.Le chapitre suivant aborde l’intégration de la notion de structure dans les SIG et présente lamanière de la décrire et de la manipuler.88

CHAPITRE 3APPORTS DE LA CRISTALLOGRAPHIE POUR UNEDESCRIPTION HAUT NIVEAU DES OBJETSGÉOGRAPHIQUES3.1 Introduction : intégration des concepts issus de la cristallographieDans le chapitre précédent, l’arrangement interne d’un cristal est décrit à l’aide d’une structurecristalline, d’une maille, d’un motif et d’un réseau. A défaut d’un tel édifice, il n’est paspossible d’appliquer directement l’ensemble de ces concepts à un objet géographique. En effet,la structure, qui représente normalement l’arrangement interne de l’état cristallin, constitue,pour un objet géographique, une première abstraction. Représentée par les normales aux facespassant par le centre de l’objet géographique, la structure apporte de nombreuses informationscomme :– le parallélisme ou la colinéarité des faces ;– la position des faces, ou des composants (toit, mur, colonne, etc.), par rapport à l’objet ;– la manière de manipuler les primitives constitutives de l’objet (ex. : simplification).L’analyse des symétries, présentes dans la structure, permet de décrire la forme de l’objet, dela classer et de l’associer à une seconde abstraction : la maille. Cette dernière est défini commesa représentation géométrique la plus symétrique. Utilisée comme une généralisation de la boîteenglobante, elle donne l’emprise spatiale et l’orientation générale de l’objet géographique, indexeses faces et facilite sa mise en relation (cf. Partie III).Notons que les symétries ne sont qu’un sous-ensemble des propriétés géométriques et topologiquesd’un objet. Nous choisissons de les mettre en avant en adoptant l’approche cristallographiquecar elles présentent l’avantage d’être simples, génériques, compactes à décrire, etadaptées aux applications que nous avons abordées. Elles apportent donc, à notre sens, uncomplément utile aux modèles classiques sans prétendre s’y substituer.89

Le motif et le réseau ne sont pas considérés pour un unique objet géographique. Cependant,à une échelle plus petite, un îlot urbain ou un quartier peut être décrit comme un réseau oùchaque bâtiment est assimilé à un motif. Cet aspect est développé dans les perspectives de cemémoire.Avant de présenter en détail le mode opératoire pour calculer et manipuler la structure (section3.4) et la maille d’un objet géographique (section 3.5), nous étudions comment calculer saprojection stéréographique qui facilite l’extraction des éléments de symétrie et leurs propriétésdont l’étude constitue un véritable outil d’analyse.3.2 La projection stéréographiquePour obtenir la projection stéréographique d’un objet géographique de centre 0 (Figure 3.1),il est nécessaire de calculer les normales à ses faces passant par O et une sphère. Pour chaquenormale, son intersection avec la sphère de centre O et de rayon R est calculée. Ces intersections,appelées pôles par les cristallographes, possèdent deux informations angulaires l’azimut(ϕ) et l’inclinaison (ρ).Après avoir déterminé la position des pôles, il suffit de les transformer stéréographiquement,c’est à dire de calculer l’intersection entre le plan équatorial de la sphère et une droite passantpar un point de la sphère (généralement un de ses pôles : Nord ou Sud) et un des pôles issus del’intersection des normales avec la sphère. Cette transformation stéréographique a l’avantagede conserver les angles.Enfin, pour faciliter les mesures d’angle entre deux pôles ou déterminer des éléments de symétrie,il est pratique d’utiliser un canevas de Wülff qui est la projection stéréographique, selonune vision équatoriale, d’un réseau de parallèles et de méridiens tracé sur la sphère de projection(Figure 3.2).3.3 La symétrie comme outil d’analyse3.3.1 IntroductionLe postulat fondamental de la cristallographie géométrique est qu’un réseau cristallin resteinvariant lors de certaines transformations de l’espace. Ces transformations, ou opérations desymétrie, sont classées en deux groupes :– les symétries d’orientation qui rassemblent les translations, les rotations pures 1 , lesréflexions, l’inversion, les roto-réflexions et les roto-inversions ;1 Une rotation pure peut être remplacée par une transformation continue de l’espace donc sans modificationde l’orientation de l’espace. Un objet et son image dans l’opération sont rigoureusement superposables. Ondit qu’une telle rotation est une rotation propre. Par opposition, les opérations qui modifient l’orientation del’espace (comme l’inversion) et pour lesquelles objet et image ne sont pas superposables sont dites des rotationsimpropres.90

Fig. 3.1 – Cas de la projection stéréographique d’un bâtiment convexe.(A) Bâtiment modélisé par un B-Rep. (B) Calcul des normales (vert) aux faces passant par le centre de l’objet.(C) Calcul de la sphère englobante dont le centre correspondant à celui de l’objet. Intersection des normales avecla sphère. (D) Coupe verticale de la sphère pour illustrer les caractéristiques angulaires d’un pôle : l’azimut etl’inclinaison. (E) Projection stéréographique du bâtiment : les points rouges correspondent aux pôles des facesdu toit et les gris à ceux du corps du bâti.Fig. 3.2 – Autre exemple de projection stéréographique d’un bâtiment et représentationdes pôles projetés sur un canevas de Wülff.L’utilisation de la projection stéréographique nous permet de dissocier le corps du bâti (en jaune), dont les pôlesdes faces sont projetés sur le bord du canevas, du toit (en rouge).91

– les symétries de position qui comportent le produit des rotations par les translations.Ne pouvant appréhender le réseau d’un objet géographique (cf. 2.6), l’analyse des symétries secantonne aux symétries d’orientation à l’exception de la translation. Chaque opération de symétrieest calculée à partir d’un ensemble de points fixes (c’est à dire invariant dans l’opération),appelés éléments de symétrie (points, droites ou plans), qui servent pour la représentation graphiquede l’opération à laquelle ils sont associés (Figure 3.3). Ces éléments de symétrie peuventêtre :– le centre de symétrie associé à l’inversion ;– le plan de réflexion ou miroir associé aux réflexions ;– les axes de rotation propres (C n ) ou impropres (S n ) qui peuvent éventuellement être interprétéscomme la combinaison de plusieurs éléments de symétrie plus simples (miroir,inversion, axe d’indice plus faible).Fig. 3.3 – Exemples d’éléments de symétrie.(A) 3 axes A4 c’est à dire des axes avec un angle de rotation de 2π/4 et un centre de symétrie ; (B) 4 axes A3(angle de rotation de 2π/3) (C) 6 A2 (angle de rotation de 2π/2) (D) 3 miroirs, ou plans de symétrie, passantpar le milieu des arêtes de deux faces parallèles (E) 6 miroirs passant par un couple d’arêtes de faces opposés.La manière la plus efficace pour représenter les opérations de symétrie dans un cristal est detracer la projection stéréographique de ses éléments de symétrie. Cette technique, adaptée auxobjets géographiques, nous a aidé à détecter les éléments de symétrie dans un objet géographique92

et constitue un support à la réflexion pour réaliser certaines analyses comme la simplificationde bâtiments 3D.3.3.2 Les éléments de symétrieLes rotations d’ordre nLes rotations, notées habituellement R(u, ϕ), sont caractérisées par un axe de rotation (ensemblede points invariants), noté u, et par la valeur de l’angle de rotation ϕ. L’axe de rotation estd’ordre n et noté C n si, pour un angle ϕ =2π/n avec n entier et après n opérations, l’objettransformé est rigoureusement superposable à l’objet initial (Figure 3.4), c’est à dire que :(C n ) n = C n n = E.Fig. 3.4 – Exemple d’une rotation d’ordre 4.Après avoir subi 4 opérations autour de l’axe C 4 (en rouge), l’objet transformé (ici un F) est parfaitementsuperposable à l’objet initial.Centre de symétrie et symétries inversesL’inversion I, ou « symétrie-point », transforme un vecteur en son opposé (I(u) =I.u = −u)en laissant un seul point de l’espace invariant : le centre de symétrie (Figure 3.5).A la suite d’une inversion, il est impossible de faire coïncider, par une transformation continue,l’objet initial et l’objet final. Ils ne sont, en effet, pas superposables car ils sont énantiomorphes,c’est à dire que l’objet final est l’image dans un miroir de l’objet initial.Le produit des rotations par l’inversion : les roto-inversionsUne roto-inversion, notée ¯R, est la combinaison d’une inversion I et d’une rotation d’angle ϕdont l’axe de rotation u contient le centre d’inversion : I.R(u, ϕ) =R(u, ϕ).I = ¯R(u, ϕ) (Figure3.6).93

Fig. 3.5 – Exemple d’une inversion.Inversion du F par rapport au centre de symétrie (sphère jaune).Fig. 3.6 – Exemple d’une roto-inversion Ā4.Rotation d’un angle ϕ (π/4) autour de u (axe en vert) et inversion par rapport au centre de symétrie (sphèrejaune).94

Plans de symétrieLes plans de symétrie, ou miroirs, sont les produits d’axes binaires (axes de rotation d’ordre 2)par l’inversion. Notés généralement σ avec σ = I.C 2 = I.R(u, π), ils peuvent être notés σ h siles miroirs sont horizontaux et σ v si les miroirs sont verticaux (Figure 3.7).Fig. 3.7 – Exemple de réflexion.Rotation d’un angle ϕ autour de u et inversion par rapport au centre de symétrie (sphère jaune). Les F initiauxet finaux sont énantiomorphes.Le produit d’un C n par un miroir perpendiculaire à l’axe : les roto-réflexionsEquivalente à une roto-inversion d’angle ϕ + π, une roto-réflexion, notée S(u, ϕ), est le produitd’un C n par un miroir perpendiculaire à l’axe (Figure 3.8). Pour analyser les symétries de l’objetgéographique, nous utiliserons de préférence les roto-inversions.95

Fig. 3.8 – Exemple de roto-réflexions.Rotation d’un angle π/4 autour de u (en rouge) et réflexion par rapport à un plan (en bleu) perpendiculaire àu horizontal (A) ou vertical (B).3.3.3 Les classificationsIl existe deux classifications permettant de représenter les éléments de symétrie dans les groupesponctuels : la notation de Schönflies-Federov et celle d’Hermann-Mauguin. Cette dernière estsouvent préférée en cristallographie parce qu’elle peut facilement inclure des éléments de symétriecombinés à des translations (spécifiques aux groupes d’espace) et spécifier la direction desaxes de symétrie (Sands, 1993).La classification de Schönflies-Federov, très utilisée en spectroscopie pour décrire la symétried’une molécule, note les éléments de symétrie par un I pour une inversion, par un C pour lesrotations propres, par un S pour les rotations impropres et σ pour les miroirs. Les C et S sonthabituellement suivis par un n qui spécifie l’ordre de la rotation.La classification d’Hermann-Mauguin utilise, dans sa nomenclature, un n pour représenter unerotation de 2kπ/n (où k est un entier) ou un m pour un miroir. Si plusieurs axes de rotationexistent, on note le n correspondant à chaque type d’axe et si un axe de rotation d’ordre n aun miroir perpendiculaire, on note n/m. Enfin, une roto-inversion est notée ¯n.Cependant, par simplicité d’implémentation du prototype Cristage (une succession de case),nous proposons une notation plus simple (Figure 3.9) qui énumère les éléments de symétrie des32 groupes de symétrie. De plus, les objets géographiques étant orientés en fonction de l’altitude(représentée par le vecteur z), l’axe vertical est privilégié lors de la détection des éléments desymétrie. Il est le plus souvent l’axe de référence, c’est à dire celui qui présente le plus haut degré96

Tab. 3.1 – Opérateurs et éléments de symétrie, d’après Guymont (2003).97

de symétrie, déterminant, dans la classification, la maille à laquelle cette forme appartient.Fig. 3.9 – Notation utilisée dans Cristage pour classer les objets géographiques en fonctionde leur maille.98

3.3.4 Conclusion : limites de l’apport de la cristallographie sur desobjets géographiquesL’intégration de la cristallographie géométrique, pour décrire et manipuler (cf. Chapitre 4) lastructure, ne peut se faire sans une prise en compte des spécificités des objets géographiques,c’est à dire l’irrégularité et la non-convexité. Cette section présente certaines limites à l’analysede la structure et propose des solutions pour y remédier.Détection des symétries sur un objet irrégulierLe premier problème rencontré vient de la qualité des données (ex. : modélisation approximative)ou de la forme irrégulière d’un objet géographique (s’il présente, par exemple des faces« quasi-parallèles » ou s’il ne respecte pas les symétries associant les autres faces). Cet aspectnous impose de filtrer les normales aux faces, à l’aide du canevas de Wülff, pour obtenir unestructure épurée sur laquelle il est possible de raisonner et de reconstruire une forme régularisée(Figure 3.10). Cette forme simplifiée est utile pour la simplification de bâtiments 3D (cf.Chapitre IV).Cependant, si trop de normales ne sont pas associées à des éléments de symétrie, la forme nesera presque pas régularisée et sera, par défaut, classée comme une forme triclinique.Sélection de la symétrie possédant le degré le plus élevéUne autre limite, lors de la détection des éléments de symétrie, est la possibilité, pour un mêmeaxe, de décrire des symétries d’ordre différent. Par exemple, dans la Figure 3.11, l’axe verticalpeut, pour certaines parties de l’objet, être un A4 alors que pour le toit, il est uniquementun A2. Dans ce cas, nous sommes obligés, pour la description et la classification de l’objetgéographique, de considérer l’axe vertical comme un A2. Cette caractéristique permet unesubdivision géométrique qui, bien souvent, s’accompagne d’une distinction sémantique comme,dans un bâtiment, la distinction entre son toit et son corps.Détails faussant l’analyse : vers une subdivision de l’objet géographiqueUn autre aspect affecte l’analyse de la structure et la reconstruction d’une forme régularisée :la présence d’une concavité ou d’une non-convexité (Figure 3.12). En effet, la cristallographiegéométrique est une méthode adaptée à des formes convexes (les cristaux), ce qui impose detravailler sur des objets convexes, ou faiblement non-convexes, ou de subdiviser l’objet géographiqueen sous-objets convexes.La cristallographie et la représentation stéréographique permettent, comme l’illustrent les travauxdu chapitre IV, de faciliter la subdivision de l’objet géographique. Chaque forme subdiviséesera susceptible d’être régularisée par l’analyse de sa structure.99

Fig. 3.10 – Simplification de la structure pour faciliter sa manipulation.(A) Bâtiment issu de Bati 3D ; (B) Normales aux faces (représentées en vert) ; (C) Projection stéréographiquedes pôles (intersections normale-sphère englobante) sur un canevas de Wülff. Présence de 13 pôles dont cinqsont « quasi-parallèles » et peuvent être regroupés ; (D) Normales après regroupement des pôles ; (E) Projectionstéréographique après regroupement ; (F) Reconstruction de la forme régularisée (en jaune) à l’intérieur de l’objetinitial (en fil de fer).100

Fig. 3.11 – Axe décrit comme A2 pouvant être, pour certaines parties (le corps du bâti),un A4. L’utilisation de cet axe peut faciliter la subdivision géométrique de l’objet géographiqueet, dans le cas présent, dissocier le toit du corps du bâti.Fig. 3.12 – Exemple de reconstruction (en jaune) d’un objet géographique (en bleu) nonconvexeà l’aide de sa structure.101

3.4 Structure de l’objet géographiqueLa structure de l’objet géographique, définie précédemment comme la manière dont les partiesd’un objet sont agencées entre elles, est représentée par ses normales aux faces. Avant de pouvoirla manipuler, quatre étapes sont nécessaires (Figure 3.13) :– le regroupement des pôles les plus proches ;– l’élimination des pôles qui ne sont pas associés à un élément de symétrie. Cependant, denombreuses formes appartiennent au système triclinique et ne possèdent pas d’éléments desymétrie. Dans ce cas, si trop de pôles ne sont pas associés à un élément de symétrie, nousn’éliminerons pas ces pôles car nous considérons qu’ils définissent une forme triclinique ;– la description des symétries d’une forme régularisée ;– la détermination de la maille.Fig. 3.13 – Les quatre étapes pour filtrer et décrire la structure.Le regroupement des pôles les plus proches (c’est à dire si l’angle entre deux pôles est inférieurà un seuil que nous avons fixé à 5˚, c’est à dire une fraction suffisamment faible de l’angle de larotation d’ordre 6) constitue le premier filtrage (Figure 3.10) et donne une première structureépurée à partir de laquelle les éléments de symétrie vont être recherchés.Pour détecter la présence des éléments de symétrie, nous considérons que chaque normale estsusceptible d’être associée ou d’appartenir à un élément de symétrie (axe, axe inverse, centreou miroir). Par conséquent, nous définissons, itérativement, un vecteur u, de coordonnées l, met n, passant par un pôle et par le centre de l’objet.Ensuite, à partir d’un pôle, nous calculons sa position (x, y, z) après transformation (c’est àdire la rotation ou l’inversion) autour du vecteur u comme exprimé ci-dessous :102

x ′y ′z ′ =( l 2 +(m 2 + n 2 ).cosθ l.m.(1 − cosθ) − n.sinθ n.l.(1 − cosθ)+m.sinθl.m.(l − cosθ)+n.sinθ m 2 +(l 2 + n 2 )+cosθ n.m.(l − cosθ)+l.sinθn.l.(l − cosθ)+m.sinθ n.m.(l − cosθ)+l.sinθ n 2 .(m 2 + l 2 ).cosθ)( xyz)Si le transformé est proche d’un autre pôle, nous continuons la transformation jusqu’à acheverla rotation (ou l’inversion). Mais s’il ne trouve pas un pôle proche, nous considérons qu’il participeà l’irrégularité de la forme, donc il est supprimé. Cependant, si trop de pôles sont éliminés,nous ne pouvons considérer que l’élément de symétrie associé au vecteur u caractérise l’objetgéographique (Figure 3.14).Fig. 3.14 – Projection stéréographique à partir de laquelle un axe A2 vertical est déterminé.Le vecteur u vertical est représenté en jaune. Pour savoir si le vecteur u est un axe de symétrie (A 6 ,A 4 ,A 3 ouĀ 6 , Ā4, etc.), nous calculons, à partir du pôle bleu, son transformé à chaque rotation. S’il n’y a pas de pôle àproximité, on considérera que l’axe u est de degré inférieur. Dans le cas présent, le vecteur u ne peut être un A 6(en vert), un A 4 (en orange) ou un A 3 (en rouge) mais un A 2 car le pôle transformé (en bleu clair) est proched’un pôle existant (représenté par une croix bleue).Ensuite, les éléments de symétrie sont extraits et leurs combinaisons nous permettent de trouverla maille associée à l’objet géographique (Figure 3.15). S’il n’existe pas de pôle à la verticalede l’objet, il est rajouté car tous les objets géographiques sont soumis à la gravité et donc sontorientés verticalement.Enfin, dans le cas d’une forme non-convexe, cas le plus général, il est possible d’affiner l’analyseen la subdivisant en sous-objets convexes, ce qui nous permet d’avoir la description générale dela structure de l’objet et celle de ses parties convexes.103

Fig. 3.15 – Détermination et analyse de la structure de l’objet géographique.(A) Objet géographique issu des données Bati 3D ; (B) Calcul des normales (en vert) aux faces passant par lecentre du bâtiment. Ces normales représentent la structure ; (C) Calcul des pôles par l’intersection entre lesnormales et la sphère ; (D) Projection stéréographique des pôles de l’objet par rapport aux deux pôles de la sphère(N, les cercles rouges, et S les croix bleues) ; (E) Centre de symétrie (en jaune) déterminé par la présence d’unaxe inverse ; (F) Détermination d’axes de symétrie : 2 A2 (en rouge) et 1 A4 (en orange) ; (G) Présence de 3plans de symétrie (en bleu) associés à l’axe A4 et aux axes A2.104

Avant de s’intéresser à la maille et de développer quelques applications de la structure, notammentpour subdiviser et simplifier des bâtiments 3D, voici deux exemples où nous avons utiliséla notion de structure :– pour extraire une zone des objets géographiques : le toit d’un bâtiment et d’une couchegéologique (Figure 3.16) ;– pour procéder à la classification des bâtiments du centre ville de Marseille en fonction dela description de leurs éléments de symétrie (Figure 3.17).Fig. 3.16 – Extraction de zones caractéristiques d’objets géographiques à l’aide de lastructure.L’extraction du toit des objets géographiques (bâtiment ou cavité) a été réalisé à l’aide de la projection stéréographique,calculée en fonction du pôle Sud de la sphère, des pôles associés aux faces de l’objet. Les pôles décrivantle toit des objets sont projetés, à l’exception de ceux qui présentent un angle égal à 90˚, à l’intérieur du canevas,ce qui facilite leur extraction.105

Fig. 3.17 – Représentation des objets géographiques appartenant, par leurs éléments desymétrie, au système orthorhombique.(A) Détail du centre ville de Marseille, (B) Extraction des bâtiments appartenant au même système cristallin,c’est à dire le système orthorhombique.3.5 Maille de l’objet géographiqueLa maille, déterminée par une description des éléments de symétrie (Figure 3.9), constitue larégularisation maximale d’un objet géographique. Utilisée pour la mise en relation des objetsgéographiques (cf. Partie IV) ou comme boîte englobante, elle présente de nombreuses applicationspour l’analyse intra-objet telles que :– la simplification géométrique (cf. Chapitre 4 - Section 3) ;– l’indexation des faces de l’objet à l’aide des indices de Miller (Figure 3.18) : à chaque facede la maille, on associe les faces de l’objet dont les normales, passant par le centre del’objet, l’intersectent. Ensuite, on calcule les indices de Miller en chacune des faces de lamaille que l’on applique aux faces de l’objet. Cette indexation permet de spatialiser lesfaces de l’objet, c’est à dire de décrire leur position dans l’espace (haut, bas, devant, àgauche, etc.), ce qui permet une manipulation rapide de l’objet (Figure 3.19).Avant de conclure sur l’apport de la cristallographie pour l’analyse, nous présentons un dernierexemple d’application de la maille pour extraire le toit des bâtiments du centre ville de Marseille(Figure 3.20). Cette analyse est beaucoup plus grossière que si elle avait été exécutée à partirde la structure et de sa projection stéréographique. En effet, lorsque les faces du toit sontsupérieures à 45˚, elles peuvent être associées aux faces verticales, ce qui explique que certainsbâtiments n’ont pas leur toit extrait.106

Fig. 3.18 – Indices de Miller et association aux faces de l’objet.Fig. 3.19 – Classification des objets géographiques en fonction de leurs éléments de symétrie.(A) Exemples de mailles calculées à partir d’un bâtiment et d’une cavité ; (B) Utilisation des indices de Millerpour indexer les faces de l’objet. Les faces rouges sont de type (001), les faces vertes sont de type (100), la facemauve est de type (¯100), etc.107

Fig. 3.20 – Extraction du toit des bâtiments du centre-ville de Marseille.(A) Données Bati 3D du centre-ville de Marseille ; (B) Extraction des toits des bâtiments. On remarquera queplusieurs d’entre eux ne sont pas détectés à cause de l’angle trop élevé de certains toits.3.6 Conclusion : la cristallographie, clé de voûte de notreabstraction de l’information géographique en vue deson analyseLa description haut niveau, apportée par les notions de structure et de maille, présente une visionglobale de l’objet qui facilite certaines analyses, notamment celles effectuées sur la frontièrede l’objet (ex. : parcours, classification, etc.). Complémentaire des modèles topologiques, elleoffre une abstraction de la forme rendant son utilisation indépendante du modèle géométrique,ce qui permet l’intégration, dans un SIG, d’objets géographiques modélisés différemment (ex. :CSG, énumération spatiale, etc.) sans avoir besoin d’une conversion dans un autre modèle géométrique.Avant d’aborder, plus en détail, la mise en relation de ces objets, le chapitre 4 propose deuxapplications illustrant l’utilisation de ces deux abstractions et l’importance d’une descriptionhaut niveau pour l’analyse intra-objet.108

CHAPITRE 4DEUX APPLICATIONS DE LA STRUCTURE ET LA MAILLE :LA SUBDIVISION GÉOMÉTRIQUE ET LA SIMPLIFICATIONDE BÂTIMENTS 3D4.1 Introduction : la structure et la maille, outils d’analyseL’intégration des notions de structure et de maille présente un intérêt au-delà des applicationsde classification de bâtiments ou d’extraction de zones caractéristiques comme le toitd’une cavité. En effet, comme l’illustrent les applications présentées ci-dessous, l’utilisationde la structure et de la maille permettent, ou facilitent, la subdivision d’objets concaves, ounon-convexes, en convexes, et la simplification de bâtiments 3D.4.2 La subdivision en convexes4.2.1 Rappels des principaux algorithmes développés dans la littératureLa subdivision, ou décomposition, en convexes (Figure 4.1) est une technique principalementutilisée pour partitionner des modèles complexes en composants plus simples et faciliter ainsil’exécution de certains algorithmes comme la détection de collision (Manocha et al, 2002 ; Brickhill,2002). Ce domaine est sujet à de nombreux travaux en 2D (se référer à Chazelle et Palios(1994) pour un aperçu des principales stratégies de décomposition) et depuis quelques années en3D (Chazelle et al, 1995 ; Lien et Amato, 2006). Les algorithmes existants, et leur optimisation,tiennent compte de la présence de trous dans l’objet à subdiviser et de l’ajout de points deSteiner (points ajoutés dans l’objet pour améliorer sa décomposition). Cependant, la décompositionen convexes, traditionnellement réalisée en enlevant progressivement des notches (Figure4.2) ou parties non-convexes, reste délicate pour des objets complexes car une décompositionexacte est coûteuse en temps de calcul et s’accompagne d’un nombre difficilement gérable decomposants (Lien et Amato, 2006).109

Fig. 4.1 – Exemples d’ensembles convexe et non-convexes.(A) représente un ensemble convexe. Il est, par conséquent, possible de tracer un segment reliant deux points(X et Y) de cet ensemble. (B) représente un ensemble non-convexe à cause de la présence d’un trou et parceque il présente un angle interne supérieur à 180˚(C). Cette spécificité est appelée « notch » dans la littératureanglo-saxonne.Fig. 4.2 – L’approche de Chazelle pour découper un « notch », d’après Lien et Amato(2003), modifié.Cette figure représente un polyèdre vu en coupe (A) et en perspective (B). L’angle dihédral de r (en rouge)est l’angle interne entre f1 et f2 (en bleu). Notons que cet angle est plus grand que 180˚, donc r constitue un« notch ». HP1 et HP2 contiennent r mais seul HP1 coupe l’angle dihédral de r en deux angles inférieurs à 180˚.HP1 est le plan permettant de découper la forme au niveau de son « notch » et d’obtenir deux objets convexes.De la même manière que Lien et Amoto (2006), qui proposent une décomposition en convexesapproximative (c’est à dire qu’ils subdivisent des formes en parties convexes ou faiblementnon-convexes), nous manipulons la structure de l’objet pour obtenir une décomposition exacteou une décomposition partielle, c’est à dire une forme partiellement convexe qui comportera110

des notches. Cet algorithme gère les objets troués mais, en revanche, il est limité aux objetseulériens.4.2.2 Présentation de l’algorithme de décomposition en convexesNotre algorithme de décomposition en convexes tente de reconstituer, autour d’une face sélectionnéeen fonction de sa distance au centre de l’objet, une forme convexe (Figure 4.3). Il estconsiste en quatre étapes qui sont répétées itérativement jusqu’à une subdivision complète del’objet :1. dans une première étape, on calcule la structure de l’objet géographique et on oriente lesnormales aux faces vers l’extérieur ;2. dans une deuxième étape, on utilise la structure pour déterminer la face la plus éloignée ducentre de l’objet. Le plan, porté par cette face, est orienté vers le centre de l’objet, ce quilui permet de délimiter un demi-espace positif. Cette face est appelée face de référence ;3. dans une troisième étape, on sélectionne une face et on l’oriente vers la face de référence.Si le plan, qui définit la face sélectionnée, intersecte la face de référence, alors cette facen’appartient pas à la forme convexe constituée autour de la face de référence. Dans le cascontraire, toutes les faces situées dans son demi-espace négatif sont éliminées.4. la quatrième étape consiste, après avoir déterminé l’ensemble des faces constitutives d’uneforme convexe, à refermer cette forme.La dernière étape, qui clôt la forme convexe, est la plus délicate alors que le reste de l’algorithmeest plutôt simple. De la même manière que pour des objets 2D, l’ajout de points de Steiner, oula manière de découper des objets 2D, est avant tout un choix d’optimisation. Cependant, dansle but d’obtenir pour chaque objet convexe, une structure régulière, trois possibilités s’offrentà nous (Figure 4.4) :– la première est celle utilisée actuellement : on triangule pour fermer la forme convexe.Les faces issues de la triangulation sont ajoutées à la structure de l’objet qui va êtreredécomposé. L’inconvénient de cette méthode est d’obtenir des faces qui ne respectent pasl’orientation préférentielle de la forme convexe et qui affectent l’analyse de la structure ;– la deuxième consiste à ajouter des points de Steiner en prolongeant les faces de la formeconvexe sur les faces voisines n’appartenant pas au notch. L’inconvénient est double :la structure, à l’exception de formes orthogonales, est rarement régulière et, dans le casd’une forme complexe, le nombre de points de Steiner peut être conséquent. De plus, ilest possible qu’il intègre des faces qui rendent la forme non-convexe ;– enfin, la troisième se concrétise en ajoutant des points de Steiner tout en respectant, depréférence, des angles caractéristiques (π ou π/2). Elle s’accompagne d’une décompositionplus importante en convexes.4.2.3 Conclusion : vers une approche combinéeActuellement, les premiers résultats de cet algorithme sont assez décevants notamment à causede problèmes de précision dans le mapping des nœuds et d’échantillonnage (le rapport de superficieentre deux faces constitutives d’une même forme convexe peut être trop important pour111

Fig. 4.3 – Subdivision d’un bâtiment en convexes.(A) Sélection du pôle le plus éloigné du centre de l’objet, représentation du plan (en bleu) porté par la face etorientation du demi-espace positif vers le centre de l’objet. (B) Sélection d’un autre plan qui est orienté versla face de référence. Elimination des faces (en marron) n’appartenant pas à la forme convexe qui se constitueautour de la face de référence. (C) Sélection de la face dont le plan intersecte la face de référence. Elle estéliminée. (D) et (E) présentent l’élimination progressive des notches pour obtenir en (F) une forme convexe.112

Fig. 4.4 – 3 possibilités pour refermer une forme convexe.(A) Fermeture d’une forme convexe (délimitée par un trait en pointillé rose) par triangulation (en rouge). Enutilisant la projection stéréographique, nous remarquons qu’un pôle (celui associé aux faces de fermeture) rendla structure irrégulière. Sa position idéale est la position du pôle vert ; (B) Points de Steiner (en vert) issusde la prolongation d’une face de la forme convexe qui soit limitrophe du « trou »à refermer. La projectionstéréographique montre un pôle (en orange) qui affecte la régularité de la structure ; (C) Ajout de points deSteiner en respectant certains angles caractéristiques par rapport à une face limitrophe (notamment π et π/2).Obtention de deux autres formes convexes (en bleu) et entourées par les points de Steiner (vert) et les sommetsgrisés. Structure régulière, comme l’illustre la projection stéréographique, mais au détriment du nombre de formesconvexes.113

obtenir une décomposition plus fine) qui rendent la sélection des faces, constitutives d’une formeconvexe, aléatoire. Cet aspect explique le fait que les tests ont été limités à des bâtiments etn’ont pas été réalisés sur des formes plus complexes comme des objets géologiques (Figure 4.5).Fig. 4.5 – Quelques bâtiments subdivisés en formes convexes (en noir).(A) Subdivision d’un bâtiment en deux formes convexes. L’algorithme n’éprouve aucune difficulté car les facesont des superficies relativement proches et le mapping entre les nœuds des faces s’est bien effectué. (B) Lebâtiment se subdivise en quatre formes convexes. L’algorithme effectue correctement la subdivision à l’exceptionde la forme numéro 3. En effet, la partie inférieure du bâtiment est représentée par une face unique qui, en plusde ne pas être limitée à l’intérieur du bâtiment, entraîne une subdivision de mauvaise qualité. Cet exemple meten évidence l’importance d’une phase de rééchantilllonnage des faces avant d’effectuer une subdivision de l’objet.(C) Le bâtiment est découpé en six formes convexes. La subdivision est de très mauvaise qualité comme l’illustrentles formes 1 et 3. De nouveau, la phase rééchantillonnage et la qualité du mapping font défaut. Cependant, il estimportant de noter que nous avons tenté de remédier à ces problèmes en redécoupant les bâtiments afin d’obtenirdes faces relativement homogènes. Mais, cette étape s’est révélée extrêmement coûteuse en temps de calcul cequi rend l’utilisation de cet algorithme délicat pour un gros jeu de données.114

Cependant, si nous réglons ce premier problème, nous pouvons utiliser la structure de la formeconvexe en complément pour refermer la forme en la rendant plus régulière. De la même manièrequ’un axe permet de décomposer une forme géométrique (cf. la conclusion 3.3.4), nous pouvonsutiliser les éléments de symétrie pour reconstruire une forme plus régulière. Ce dernier aspectdoit être implémenté et testé.115

4.3 La simplification de bâtiments4.3.1 Introduction : un aperçu des méthodes de simplificationLa simplification géométrique 3D est un domaine qui a été très étudié ces dernières décennies eninfographie. En effet, beaucoup d’algorithmes (se référer à Heckbert et Garland (1997), Puppoet Scopigno (1997) ou Gobbetti, Scateni et Scopigno (2002) pour avoir un large aperçu desalgorithmes de simplification de surface) ont été développés, selon Kada (2005), pour réduirel’espace de stockage, pour raccourcir les calculs géométriques ou pour améliorer les performancesde rendu.Utile pour simplifier des milliers de primitives comme dans les MNT, ces algorithmes (Figure4.6) ne sont pas adaptés aux modèles de bâtiments 3D qui sont, comparativement au MNT,beaucoup plus simples mais qui présentent plus de contraintes géométriques.Fig. 4.6 – Exemple d’un algorithme de simplification 3D : le edge collapsing d’aprèsHeckbet et Garland, 1997.Cet algorithme propose de simplifier la géométrie des objets en utilisant les relations de voisinage développéesdans un modèle topologique, ce qui lui permet, comme dans le cas présent, d’« effondrer » une arête, de fusionnerainsi les deux nœuds la délimitant et d’éliminer une face.En effet, reconstruits à partir d’images aériennes (Kaartinen et Hyypä, 2006), les bâtiments sontgénéralement modélisés à l’aide de quelques centaines de polygones. De plus, un des objectifsdes algorithmes de simplification est de lisser les surfaces, ce qui entraîne, pour les bâtiments3D où certaines caractéristiques géométriques telles que les angles droits doivent être préservés,des résultats inadaptés.De nombreux chercheurs ont défini des algorithmes de simplification adaptés au contexte urbain(se référer à Mackanass et al. (2007) pour avoir un aperçu de ces algorithmes). Ces algorithmesrespectent certaines contraintes pour préserver les spécificités géométriques de l’architecturedes bâtiments telles que les angles droits (ou l’orthogonalité), le parallélisme et la co-planarité.Kada (2002), à partir des travaux de Sester (2000) en généralisation 2D, a proposé de simplifierles bâtiments 3D en appliquant un ensemble de règles simples suivi par un ajustementpar moindres carrés. En 2005, Kada a proposé une autre approche qui crée différentes versionssimplifiées de bâtiments en remodelant l’objet à partir de plans approximatifs. Un plan approximatifse définit comme la moyenne d’un ensemble de polygones appartenant à la même façade,116

en incluant les protrusions (i.e. des petites saillies) et autres petits éléments structuraux. Acause de la complexité de la structure du toit, l’auteur le remodèle par fragments en utilisantdes plans approximatifs qui moyennent les polygones du toit (Figure 4.7).Fig. 4.7 – Modèles de bâtiments 3D généralisés (Kada, 2006).(A) Bâtiments originaux ; (B) Formes simplifiées.Forberg (2004) a développé une autre méthode fondée sur la théorie échelle-espace (scale-spacedans la littérature anglo-saxonne). Les structures orthogonales des bâtiments sont simplifiéesen décalant parallèlement les facettes qui sont à une certaine distance les unes des autresjusqu’à ce qu’elles fusionnent. Une opération d’équarrissage est utilisée pour les structures nonorthogonalestelles que les toits (Figure 4.8).Enfin, Thiemann et Sester (2004) présentent un algorithme de segmentation adapté du travailde Ribelles et al. (2001). Le partitionnement des modèles de bâtiments 3D est transformé enarbres CSG (Voir Partie I, Chapitre II). Ainsi, les fragments de bâtiment sont soit enlevés soitagrégés en fonction de leur importance (Figure 4.9).Evidemment, toutes les techniques mentionnées ci-dessus dépendent des caractéristiques desbâtiments et de la qualité des modèles d’entrée comme Kada (2005) l’exprime : « If e. g. anglesare close but not very exactly orthogonal, building regularities may not be found (Kada, 2002),shifted facets never merge (Forberg, 2004) or the segmentation produces too many fragments(Thiemann and Sester, 2004) ».117

Fig. 4.8 – Les différents niveaux de détail d’un bâtiment automatiquement calculés àpartir d’une généralisation fondée sur la théorie scale-space (Forberg, 2004).Fig. 4.9 – Simplification d’un bâtiment 3D par l’algorithme de Thiemann et Sester (2004).(A) Segmentation du bâtiment par les plans de sa frontière géométrique (Ribelles et al., 2001) pour éliminerles protrusions ou remplir les trous ; (B) Création d’un arbre CSG décrivant le bâtiment comme un ensemble d’éléments issus de la segmentation (ex. : cheminée, fenêtres, etc.).118

Contrairement à ces algorithmes qui se fondent sur une segmentation et une reconstructiondu bâtiment, nous proposons un algorithme de simplification (Poupeau et Ruas, 2007) qui sefonde sur les notions de structure et de maille. L’avantage d’utiliser la structure est de pouvoirfacilement respecter les spécificités géométriques de l’architecture des bâtiments (Figure 4.10)tout en guidant la simplification progressive de l’objet géographique.Fig. 4.10 – Spécificités géométriques des bâtiments à respecter lors de la simplification.(A) Bâtiment 3D extrait des données Bati3D de Marseille ; (B) Caractéristiques spécifiques du bâtiment : orthogonalité,parallélisme et co-planarité.Cet algorithme, qui convient parfaitement aux bâtiments convexes, a dû être adapté aux objetsnon-convexes. En effet, l’algorithme présente, dans le cas d’un objet non-convexe, trois étapes :– la détection de faces parallèles, ou quasi-parallèles, et colinéaires. Cette étape nous permetde fusionner les faces colinéaires et d’éliminer les petites protrusions ;– la subdivision d’un objet non-convexe en objets convexes (se référer à la section I de cechapitre dédiée à la subdivision d’un objet géographique en parties convexes) ;– l’utilisation des propriétés de symétrie d’un bâtiment pour le simplifier tout en conservantses principales caractéristiques géométriques.Avant d’examiner plus en détail chaque étape de cet algorithme de simplification, il est importantde noter que chaque corps de bâtiment est séparé de son toit à l’aide des angles des pôles(orientation et inclinaison) calculés en chaque face au cours de sa projection stéréographique.Par conséquent, les étapes de simplification sont seulement calculées sur les corps des bâtiments.Les évolutions géométriques seront propagées, à l’aide de la structure topologique, sur les toits.Ce choix s’explique par le niveau de détail très réduit des toits dans les données utilisées.119

4.3.2 Première étape de notre algorithme : la détection des faces parallèleset des faces colinéairesPour détecter les faces parallèles, ou quasi-parallèles, et colinéaires, nous utilisons la projectionstéréographique. En effet, les pôles, définis dans le chapitre 2, sont regroupés en fonction deleur proximité et constituent des groupes nommés groupes parallèles. Ces groupes rassemblentà la fois des faces parallèles et colinéaires. Par conséquent, ils sont subdivisés en sous-groupes,ou groupes colinéaires, en fonction de la position de leurs normales (Figure 4.11).Les faces adjacentes, appartenant au même groupe colinéaire, sont fusionnées. Cette fusion estréalisée à partir de la face qui, parmi les faces adjacentes sélectionnées, présente la plus importantesuperficie. A partir de la face sélectionnée, nous recherchons les nœuds communs auxautres faces adjacentes pour qu’ils remplacent les nœuds non-partagés et mettent à jour leursrelations de voisinage. Cette fusion permet d’éliminer itérativement des faces colinéaires dubâtiment tout en simplifiant l’aspect du toit (Figure 4.12, Figure 4.13). Dans le cas où les facessont des triangles, ou si elles possèdent un nombre de nœuds supérieur à quatre, il est importantd’adapter l’algorithme pour que la fusion puisse s’effectuer sans encombre. Cet aspect estencore en cours de développement.Après cette étape de fusion, certaines protrusions sont enlevées. La comparaison des groupescolinéaires, en termes de superficie, nous permet de définir le groupe de référence qui présentela plus grande superficie. La superficie de chaque groupe est testée par rapport au groupe deréférence et si elle n’est pas assez représentative (i.e. si la superficie est inférieure au quartde la superficie du groupe de référence), les faces de ce groupe sont déplacées vers le groupede référence ou supprimées. Trois cas ont été dénombrés pour enlever les protrusions (Figure4.14) :– si la face, appelée « face protrusion », a deux faces adjacentes limitrophes du groupe de référence,alors ces faces adjacentes sont, de la même manière que les groupes « colinéaires »,compactées sur elles-mêmes et enlevées du bâtiment ;– si la « face protrusion » partage seulement une seule face adjacente avec le groupe deréférence, alors la face adjacente est compressée et enlevée du bâtiment. Les nœuds nonpartagésde la « face protrusion » sont déplacés le long d’un vecteur perpendiculaire à la« face protrusion ».– enfin, si la « face protrusion » ne partage pas une face adjacente avec le « groupe de référence», alors la « face protrusion » est compactée et enlevée du bâtiment.Après l’élimination des protrusions, il est possible de fusionner encore ces « nouvelles facescolinéaires ». Ainsi, deux ou trois formes simplifiées peuvent être dérivées du bâtiment initial(Figure 4.15, Figure 4.16).120

Fig. 4.11 – Détection des faces parallèles et colinéaires.(A) Représentation de l’intersection entre la sphère englobante et les normales aux faces (en vert) ; (B) Projectionstéréographique sur un canevas de Wülff des intersections entre les normales et la sphère permettant de regrouperles pôles des faces. Création des groupes parallèles ; (C) Distinction dans un groupe parallèle de faces colinéaires(en orange). Création des sous-groupes ou groupes colinéaires.121

Fig. 4.12 – Fusion des faces colinéaires.(A) Représentation de faces colinéaires adjacentes ; (B) Détection de la face référante présentant la plus importantesuperficie ; (C) Recherche des nœuds partagés par les faces colinéaires adjacentes et fusion de ces nœudsavec les nœuds des faces adjacentes qui ne sont pas communs ; (D) Elimination des faces colinéaires adjacentes,obtention d’une unique face et simplification du toit.Fig. 4.13 – Exemple de bâtiments fusionnés.(A) Bâtiments présentant des faces colinéaires adjacentes ; (B) Résultats de la fusion des faces colinéaires adjacentes.122

Fig. 4.14 – Différents cas d’élimination de protrusions.Fig. 4.15 – Un exemple de simplification après avoir fusionné les « faces colinéaires » etenlevé les protrusions.123

Fig. 4.16 – Un autre exemple de simplification après avoir fusionné les « faces colinéaires »et enlevé les protrusions.(A) Bâtiment initial avant simplification dont certaines protrusions sont entourées en rouge ; (B) Bâtimentsimplifié après élimination des protrusions et fusion des faces colinéaires.4.3.3 Deuxième étape de notre algorithme : l’analyse des symétriesAprès avoir éliminé les petites protrusions et fusionné les faces adjacentes colinéaires, nous simplifionsles objets convexes (ou faiblement non-convexes) en fonction des éléments de symétrieet de la représentativité des faces (Figure 4.17).Tout d’abord, toutes les faces asymétriques, appartenant au corps du bâtiment, sont testées.Une face asymétrique est conservée si elle est une face représentative 1 par rapport à ses facesadjacentes, sinon elle est supprimée. Dans ce cas, les intersections entre ses faces voisines sontcalculées : chaque nœud, entre la face asymétrique et ses faces adjacentes, est déplacé versla plus proche intersection. Cette méthode est aussi utilisée pour les faces symétriques nonreprésentativesexcepté lorsque deux faces adjacentes sont symétriques par un miroir.La suppression d’une face symétrique non-représentative, appelée ici « face de référence », peutaffecter la forme du toit. Aussi, les nœuds partagés entre ces faces symétriques sont déplacésen direction des intersections entre les faces adjacentes.A cette étape, le processus de simplification est très simple. En effet, le bâtiment simplifié1 On considère qu’une face est représentative si sa superficie est supérieure à celles de ses faces adjacentes. Ilest important d’instaurer un système de seuils pour améliorer cette étape de simplification. Les seuils désignentle rapport entre la face asymétrique et chacune de ses faces adjacentes. Voici quelques valeurs seuils pour affinercet algorithme : 2.124

Fig. 4.17 – Exemples de simplification de bâtiments 3D convexes ou faiblement nonconvexes.correspond à sa structure, c’est à dire à sa forme régularisée. Si la structure et la maille n’ont pasles mêmes caractéristiques de symétrie, une dernière simplification est obtenue en augmentantles degrés de symétrie jusqu’à la maille (Figure 4.18)Fig. 4.18 – Exemple de simplification : de la forme régularisée (A) à la maille (B).(A) Bâtiment initial présentant à l’origine une forme régularisée ; (B) Bâtiment simplifié représenté par samaille qui a été obtenue par la description de ses éléments de symétrie.125

4.3.4 Troisième étape de notre algorithme : la subdivision en convexesComme de nombreux bâtiments sont fortement non-convexes, il est nécessaire de les subdiviseren sous-objets convexes pour obtenir de meilleurs résultats. Cette phase de l’algorithme desimplification n’est pas encore pleinement opérationnelle car elle repose sur celui présenté en4.2. qui souffre, actuellement, des limites avancées précédemment (précision et reconstruction).Après cette décomposition en parties convexes, chaque fragment convexe est simplifié en fonctionde ses caractéristiques (faible non-convexité, irrégularités ou pôles non-symétriques). Quandtous les fragments ont atteint leur forme la plus régulière (la maille), ils peuvent être progressivementenlevés en fonction de leur volume jusqu’à l’obtention d’un unique fragment : celui quipossède le plus grand volume.4.3.5 Conclusion : et la simplification d’objets naturels ?Cet algorithme constitue une nouvelle approche qui, à partir de la notion de structure, proposeune simplification des bâtiments en plusieurs formes tout en conservant les caractéristiques dubâtiment (colinéarité, parallélisme, angle droit, etc.). Cet algorithme de simplification peut êtrerésumé en cinq étapes :– la détection et la séparation du toit du corps du bâti ;– l’élimination de certaines irrégularités : la fusion des faces colinéaires ;– la décomposition en convexes dans le cas de bâtiments non-convexes ;– l’analyse des éléments de symétrie : l’élimination des faces non-symétriques ou symétriquesmais non-représentatives ;– la régularisation à l’aide des éléments de symétrie jusqu’à obtenir la maille. L’utilisationde cette dernière (et son indexation) peut permettre une simplification différentielle (cf.Perspectives).Bien adapté pour les bâtiments convexes, cet algorithme nécessite la mise en place d’un systèmede seuils pour affiner la détection de faces représentatives et présente certaines limites :– lors de la décomposition en convexes où le problème a déjà été évoqué ;– lorsque le bâtiment présente des axes de symétrie d’angle 2π/5 (ou des angles strictementsupérieurs à 2π/6), ils ne sont pas détectés et ne permettent pas l’obtention d’une maille.Cependant, cet algorithme peut très bien, si la décomposition en convexes est améliorée, êtreutilisé pour des objets naturels tels que des couches géologiques, des failles ou tout autre objet deforme complexe. Dans ce cas il ne sera pas nécessaire d’extraire le toit (ou la partie supérieure) del’objet. En revanche l’optimisation de l’algorithme sera le principal problème car, contrairementaux bâtiments, ces objets sont constitués de milliers de faces.126

4.4 Conclusion : la maille ou l’élément fondamental pourune analyse intra-objet.Ces deux applications illustrent, malgré certains problèmes d’implémentation, le potentiel d’unedescription haut niveau des objets géographiques (cf. algorithmes en annexes). Reposant, pourl’essentiel, sur la notion de structure et sa régularisation, les analyses intra-objet utilisent peula notion de maille sauf pour indexer les faces d’un objet, pour apporter une classification oupour s’en servir comme d’une boîte englobante.Pourtant cette abstraction constitue, par une simplification extrême des objets, la pierre angulairedes analyses inter-objets pour les mettre en relation et, à l’aide de ses indices de Miller,les décrire. Son utilisation donne naissance à deux autres abstractions, deux graphes, qui représententles relations d’adjacence et qui permettent l’évolution de ces relations dans le temps.La maille est un des principaux maillons de notre système Cristage qui simplifie (ou augmentel’abstraction) les représentations suivant que l’analyse intègre de nouvelles dimensions(à l’échelle de l’objet, à l’échelle de plusieurs objets, intégration du temps).127

128

CHAPITRE 5CONCLUSION GÉNÉRALE : LA CRISTALLOGRAPHIE ETL’ABSTRACTION DE L’INFORMATION GÉOGRAPHIQUELes limitations, ou tout au moins les difficultés à effectuer des analyses complexes à l’aidede modèles géométrico-topologiques (cf. Partie II), nous ont amené à développer une descriptionhaut niveau des objets géographiques qui facilite l’analyse intra-objet (Figure 5.1) commela classification, l’extraction de zones caractéristiques (ex. : toit d’une cavité), la subdivisiongéométrique, la simplification, etc.Cette description se traduit par deux abstractions, implémentées dans le prototype Cristage(Figure 5.5, Figure 5.6), qui ont été développées à partir de principes issus de la cristallographiegéométrique :– la structure, présente dans tout objet géographique (Figure 5.2), qui donne une visionglobale de l’objet et décrit la manière dont les parties d’un objet sont agencées entreelles. Représentée par les normales aux faces (Figure 5.3), elle permet, entre autres, deguider des déplacements (ex. : extraction du toit), d’obtenir par son épuration (filtragedes normales non-représentatives) une forme régularisée ou de décomposer en convexesun objet géographique. La forme régularisée (Figure 5.4), assimilable à un cristal, comportedes éléments de symétrie dont la description permet une classification des objetsgéographiques et la détermination de la seconde abstraction : la maille ;– la maille (Figure 5.4) qui offre, par ses indices de Miller, une indexation des faces del’objet géographique et constitue la forme la plus régulière pour toute simplification. Ellesert aussi pour classer les objets.La maille offre d’autres applications. Tout d’abord, elle joue le rôle d’une boîte englobante. Ellerend ainsi plus aisée la sélection et la détection des collisions (cela permet de rapidement savoirsi deux objets s’intersectent). Elle donne aussi une emprise spatiale approximative. De plus,elle donne une idée du volume et des principales orientations de la forme qu’elle contient.Associée à ses indices, elle présente un autre intérêt : celui de mettre en relation deux objets129

Fig. 5.1 – Exemples d’analyses réalisées à partir d’une description haut niveau des objetsgéographiques.L’utilisation de la structure et de la maille permet de multiples analyses comme la classification des bâtimentsen fonction de leurs éléments de symétrie ou l’extraction des toits, la subdivision géométrique, l’indexation desfaces ou la simplification 3D.Fig. 5.2 – Implémentation de la notion de structure dans le modèle Cristage.Tout objet géographique possède une structure qui est aussi présente dans les sous-objets ou objets convexes. Lasimplification, par exemple, utilise la structure de l’objet géographique et de ses sous-objets convexes.130

Fig. 5.3 – Classes de construction de la structure.La structure est représentée par ses normales et décrite à l’aide de ses pôles. Ces derniers résultent de l’intersectionentre la sphère englobante (associée à tout objet géographique) et les normales aux surfaces (planes dansnotre modèle, elles sont issues de la modélisation par B-Rep). Chaque pôle sera projeté sur un canevas de Wülff,outil permettant, à un utilisateur, de lire rapidement la présence des éléments de symétrie.Fig. 5.4 – De la structure à la maille.La structure présente des éléments de symétrie (axe, centre et plan) qui définissent une forme régularisée appartenantà une maille. Cette dernière est composée de surfaces cristallines, qui héritent de la classe surface etqui possèdent des indices de Miller.131

géographiques et de décrire ces relations. En effet, l’acquisition des données 3D, surtout dansun contexte de risque, est sujette à des approximations ou à des erreurs qui sont difficilementcorrigibles lors de la modélisation (à cause du volume des données) et qui ont une incidence surl’analyse. Pour s’affranchir de ces problèmes et pour faciliter la détection des relations entreobjets, nous proposons de mettre en relation les objets par leur maille et d’utiliser les indicesde Miller pour décrire les relations. Clé de voûte de l’analyse intra-objet, la maille est aussiutilisée pour donner naissance à deux graphes, un graphe d’adjacence et un graphe temporel,pour décrire les relations entre objets et suivre l’évolution de ces relations dans le temps.Fig. 5.5 – Schéma HBDS simplifié du prototype Cristage.Nous observons, à travers ce diagramme HBDS, l’intégration de nouveaux concepts. Le premier, présenté parla classe « Structure »,est associé aux objets géographiques. Il décrit, à l’aide de l’hyperclasse des éléments desymétrie (calculés à partir de la projection stéréographique : hyperclasse « Projection stéréographique ») et desnormales aux faces (et des pôles), l’arrangement des primitives géométriques de l’objet par rapport à lui-même.L’analyse de ces éléments de symétrie et de la structure permet d’obtenir de reconstruire une forme régularisée del’objet géographique et de définir un second concept : la maille. Cette dernière est composée de surface cristallinesindexées par les indices de Miller. Le schéma UML de la Figure 5.6 développe l’implémentation de ces concepts.132

FIG. 5.6 - Schéma UML du prototype Cristage.Ce diagramme UML présente, en rouge, le modèle géométrico-topologique de Cristage et en bleu les classes permettant de calculer une description haut niveau : Un objet géographique est associéà une sphère de centre O et de rayon r et il possède une structure. Cette structure présente dans les sous-objets est décrite par des éléments de symétrie (Axe, Plan et centre) qui définissent uneforme régularisée (proche d’une forme cristalline). La forme régularisée, comme la structure, appartient à une maille. La maille est composée de surfaces cristallines, qui héritent de la classesurface, laquelle possède en attribut un objet de la classe des indices de Miller. Enfin, à partir de la classe surface est calculée une normale qui est associée à la sphère englobante par la classepôle, résultat de leur intersection.133

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Troisième partieMise en relations des objets géographiquesLa troisième partie utilise la notion de maille, décrite dans la partie II, pour mettre enrelations les objets géographiques. L’utilisation des indices de Miller et l’application d’axiomesissus, pour certains, des espaces de proximité, permettent de décrire les relation entre objetset d’assurer une cohérence logique. Après cette phase de mise en cohérence, deux graphes sontgénérés pour représenter les relations d’incidence (graphe d’incidence) et leurs évolutions dansle temps (graphe temporel). Ces graphes spatio-temporels donnent la possibilité d’effectuer unparcours rapide des objets et de conserver un historique des évènements.135

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CHAPITRE 1INTRODUCTION : LA MODÉLISATION D’UN PHÉNOMÈNEOU LES BESOINS D’UNE ANALYSE SPATIO-TEMPORELLELa deuxième partie de ce mémoire s’est concentrée sur l’objet géographique et son analysepar une description haut niveau qui respecte et est complémentaire des choix de modélisation(géométrique et topologique) des utilisateurs. La description haut niveau se fonde sur deuxabstractions :– la structure de l’objet géographique qui sert à décrire la forme de l’objet, à la régulariser,et à la manipuler ;– la maille, calculée à partir de la structure, qui décrit l’emprise spatiale de l’objet géographique(orientation, spatialisation des primitives géométriques grâce aux indices deMiller) et joue le rôle de boîte englobante dont un des principaux intérêts est le picking.Cependant, une étude de risque (naturel ou industriel) ne se limite pas à un objet. Elle intègre,par sa pluridisciplinarité, un ensemble d’objets géographiques (de taille, de dimension, de formeet de nature très diverses) dont l’analyse doit permettre :– la modélisation et le suivi d’un phénomène spatial, ou géophénomène selon Raper (2000),comme la mise à jour d’un fontis ou l’écoulement d’une coulée de lave (Vicari et al., 2007) ;– une meilleure compréhension des causes efficientes provoquant le phénomène : l’origine del’effondrement est-elle liée à la présence de cavités souterraines ?– la création de scénarios et la simulation de phénomènes : si l’on simule une rupture debarrage, quelles zones sont susceptibles d’être inondées ?Modéliser ou simuler un phénomène, rechercher ses causes ou proposer des scénarios de risquedemande, pour un SIG 3D, la mise en place d’un système particulier intégrant le temps. Pourtenter de déterminer les besoins d’un tel SIG 3D, nous étudions un exemple de risque industriel :la mise à jour d’un fontis.Un fontis est, selon la classification de Delannoy (2005), un mouvement de terrain localisé. Ilrésulte d’une instabilité locale au sein d’une cavité (Figure 1.1, Figure 1.2) qui débute généra-137

lement par la chute des premiers bancs du bas-toit d’une galerie ou d’un carrefour de galeries.Le toit de la cavité peut continuer à s’ébouler formant une cloche de fontis (Figure 1.1 - B) ausein du recouvrement. Pour plus de détails, les lecteurs peuvent se référer à la thèse de Caudron(2007).Analyser un tel phénomène nécessite que le SIG 3D :– propose une description des objets permettant l’extraction de zones d’intérêt comme letoit de la cavité ou le mur d’une couche géologique ;– soit capable de mettre en relation les objets géographiques de nature et de dimensiondifférentes ;– puisse décrire les relations entre objets et qu’il permette d’inférer sur ces relations pourpropager une information comme l’éboulement de la cavité ;– intègre la notion de temps, soit pour tenter de prévoir la mise à jour du fontis (ce quisemble, à l’heure actuelle, quasiment impossible car cela nécessiterait une parfaite connaissancedu sous-sol et de ses caractéristiques rhéologiques), soit pour conserver l’évolutiondes relations, en fonction des différents événements ou instants d’un objet (ex. : la cavité)avec son environnement (ex. : les couches géologiques).Actuellement, l’intégration de telles connaissances dans un SIG 3D est confrontée à de nombreuseslimites dont :– la (re)mise en cohérence géométrique et topologique des objets géographiques qui, leplus souvent, nécessite de lourds traitements informatiques et, dans certains cas, l’avisd’un expert. Le temps des calculs informatiques est souvent accru lors de l’évolutiondu phénomène à cause des modifications géométriques et topologiques entre objets qu’ilengendre ;– le choix d’un modèle topologique unique, gérant les relations entre objets géographiqueset entre les primitives géométriques constitutives, qui limite le choix des utilisateurs etpeut entraîner de nombreuses conversions ;– la nécessité d’une parfaite cohérence pour utiliser des formalismes de détection des relationsentre objets. Ces formalismes, dont les plus connus sont le modèle des 9-intersectionsd’Egenhofer et Herring (1992) et le modèle dimensionnel de Billen (2002), ont l’inconvénientde présenter une surdétection des relations, notamment celui d’Egenhofer et d’Herringqui propose 512 relations possible dont seulement 49 existent dans la réalité (Li,2006) et de ne pas proposer d’outil permettant d’inférer dessus ;– la notion du temps et sa modélisation qui a été relativement peu développée dans les SIG(Raper, 2000 ; Raper et Livingstone, 2001 ; Peuquet, 2002).Pour tenter, malgré ces limites, de modéliser l’évolution spatio-temporelle d’un phénomène,telle que la mise à jour d’un fontis, nous proposons d’utiliser les mailles pour mettre en relationles objets géographiques et décrire, à l’aide des indices de Miller, leurs relations de voisinage.A ce système, formalisé par les espaces proximaux (théorie mathématique développée en 1908par Riesz) à partir desquels il nous est possible d’inférer sur les descriptions des relationsentre mailles, nous avons rajouté deux nouvelles abstractions, représentées par des graphes, quifacilitent :138

– la description des relations d’adjacence entre mailles et leur parcours ;– la gestion temporelle des évolutions des relations d’un objet géographique.Cette dernière partie est composée de deux chapitres : un chapitre portant sur la mise en relationdes objets géographiques et la description de ces relations à l’aide de la notion de maille etdes indices de Miller. Le second chapitre aborde la création du système de graphes. La conclusionprésente un exemple d’application où ce système peut s’avérer utile.Fig. 1.1 – Différentes étapes de formation d’un fontis par instabilité du bas du toit pourun recouvrement de 8 m (LCPC-INERIS, 2002).(A) Rupture du toit avec chutes de blocs dans une ancienne exploitation. (B) Début de formation d’une clochede fontis. Un cône d’éboulis commence à se former. (C) La cloche de fontis continue à se développer vers lasurface. Le cône d’éboulis a rempli la cavité souterraine. (D) Suite à l’altération des terrains superficiels, lefontis prend une forme d’entonnoir stable.Fig. 1.2 – Développement d’un fontis par ruine d’un pilier pour un recouvrement d’unevingtaine de mètres (LCPC-INERIS, 2002).(A) Rupture du toit sous un pilier. (B) Perte d’appui d’une partie du pilier et rupture partielle de celui-ci. (C)Ruine du reste du pilier par l’accroissement du niveau de contraintes correspondant. (D) Progression de la clochede fontis jusqu’en surface.139

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CHAPITRE 2MISE EN RELATION DES OBJETS GÉOGRAPHIQUES2.1 Introduction : vers une abstraction généralisée des objetsgéographiquesL’analyse d’un risque naturel (ou industriel) demande la mise en relation d’objets géographiquesde nature (sous-sol, sursol) et de dimension géométrique (forage, route, MNT) différentes.Cette étape est cruciale pour pouvoir ensuite détecter les relations entre objets, commel’adjacence, la disjonction, l’intersection ou l’inclusion (Figure 2.1), inférer sur ces relationspour propager une information (dans le cas de la mise à jour d’un fontis, l’information estl’effondrement du toit d’une cavité) ou parcourir, selon une direction préalablement définie, unensemble d’objets géographiques (utile pour des simulations).La mise en relation des objets géographiques est réalisée habituellement lors de la modélisationet elle est décrite à l’aide des modèles topologiques (cf. Partie I). Cependant, la mise encohérence nécessaire pour exploiter au mieux les modèles topologiques est, dans le cadre d’uneanalyse de risque, souvent compromise à cause du grand nombre d’objets géographiques, de leurdiversité (géométrique, topologique ou de leurs producteurs) ou du manque de données (Figure2.2). Obtenir une parfaite mise en cohérence nécessite une augmentation du temps de calcul(si l’on essaie de corriger automatiquement ces incohérences comme l’intersection de bâtimentsavec un MNT) et la vérification et la correction par plusieurs experts (en fonction du domained’application) de la justesse de ces mises en relation.Après une mise en relation entre objets, de nombreux formalismes (Egenhofer, 1988 ; Egenhoferet Herring, 1992 ; Clementini et Di Felice, 1993 ; Cui et al, 1993 ; Cohn et al, 1993 ; Cohn etal, 1997 ; Billen, 2002) existent pour détecter et décrire, en tenant compte des dimensions géométriqueset de la manière dont ils sont mis en relation, les relations de voisinage entre objetsgéographiques (Figure 2.3).141

Fig. 2.1 – Relations de voisinage entre deux objets.Les quatre relations de voisinage possible entre deux objets sont la disjonction, l’adjacence (représentée par unliseré rouge), l’intersection et l’inclusion. L’inclusion et l’intersection constituent des adjacences à une pluspetite échelle.Fig. 2.2 – Problèmes d’incohérence entre données de dimension et d’origine différentes.Cette figure illustre la mise en relation de données (MNT, sursol et sous-sol) issues de différents fournisseurscomme le BRGM ou l’IGN. Sans une mise en cohérence préalable et une vérification par un expert, la mise enrelation entre objets décrit l’intersection entre le MNT et la couche géologique et la non-adjacence du bâtimentet du MNT, ce qui est topologiquement et géométriquement juste mais éloigné de la réalité.142

Fig. 2.3 – Le modèle des 9-intersections d’Egenhofer et Herring (1990) : les relationspossibles entre deux objets 3D (Zlatanova et al, 2004).Le modèle des 9-intersections repose sur le calcul des intersections vides ou non-vides entre primitives topologiques.Il prend en compte l’intersection entre les intérieurs, les extérieurs et les frontières des deux objets etoffre ainsi 2 9 = 512 possibilités. Les 8 relations possibles entre deux objets 3D sont nommées : disjoint, rencontre,contient, couvre, intérieur, couvert par, égal et superpose. Par exemple, si les frontières de deux objetss’intersectent mais pas leurs intérieurs alors leur relation est « rencontre ». Ce modèle, malgré le fait qu’il décritdes relations n’existant pas dans la réalité, a l’avantage d’être une méthode facile à implémenter pour détecterles relations spatiales.L’exemple ci-après décrit, à l’aide de deux formalismes (le modèle des 9-intersections d’Egenhoferet le modèle dimensionnel de Billen), l’évolution de la mise à jour d’un fontis et des relationsentre la cavité qui s’effondre et son environnement (Figure 2.4) :1. Les relations, avant effondrement, entre la cavité C a et la couche géologique Gl 5 , sontreprésentées :– selon le formalisme d’Egenhofer :R(C a , Gl 5 )=( C o a ∩ Gl o 5 C o a ∩ ∂Gl 5 C o a ∩ Gl − 5∂C a ∩ Gl5 o ∂C a ∩ ∂Gl 5 ∂C a ∩ Gl5−Ca − ∩ Gl5 o Ca − ∩ ∂Gl 5 Ca − ∩ Gl5−)=( 0 0 00 1 10 1 0)– selon Billen : R(3, 3, total).2. Lorsque le toit de C a s’effondre, les relations évoluent : C a et C c sont fusionnées et créentune unique cavité C m . Cette nouvelle cavité intersecte à la fois Gl 4 et Gl 5 . Ces relationss’expriment :– avec le formalisme d’Egenhofer :R(C m , Gl 4 )=( C o m ∩ Gl o 4 C o m ∩ ∂Gl 4 C o m ∩ Gl − 4∂C m ∩ Gl4 o ∂C m ∩ ∂Gl 4 ∂C m ∩ Gl4−Cm − ∩ Gl4 o Cm − ∩ ∂Gl 4 Cm − ∩ Gl4−)=( 1 0 10 0 10 1 1)143

R(C m , Gl 5 )=( C o m ∩ Gl o 5 C o m ∩ ∂Gl 5 C o m ∩ Gl − 5∂C m ∩ Gl5 o ∂C m ∩ ∂Gl 5 ∂C m ∩ Gl5−Cm − ∩ Gl5 o Cm − ∩ ∂Gl 5 Cm − ∩ Gl5−)=( 1 0 10 0 10 1 1– avec celui de Billen : R(3, 3, partial) pour les deux relations (R(C m , Gl 5 ) et R(C m , Gl 4 )).3. Enfin, quand l’effondrement se propage jusqu’au bâtiment, toutes les relations entre lacavité effondrée et le bâtiment ressemblent :– selon Egenhofer à :)R(C m , Gl 5 )=( C o m ∩ Gl o 5 C o m ∩ ∂Gl 5 C o m ∩ Gl − 5∂C m ∩ Gl5 o ∂C m ∩ ∂Gl 5 ∂C m ∩ Gl5−Cm − ∩ Gl5 o Cm − ∩ ∂Gl 5 Cm − ∩ Gl5−)=( 1 0 10 0 10 1 1)– selon Billen à : R(3, 3, partial).Cet exemple met en exergue :– la difficulté d’inférer sur ces descriptions ;– le manque d’information sémantique caractérisant les principales parties des objets géographiques.Lorsque la cavité s’effondre, on ne peut pas connaître, sans une aide extérieure,les objets (ou les parties d’objets) affectés par ce phénomène et sans informationsémantique, il n’existe pas de moyens de distinguer le mur d’une couche géologique deson toit. Pour analyser un phénomène complexe, il est important de savoir quelles partiesd’un objet sont connectées avec d’autres objets. Par exemple, il serait intéressant de savoirsi le toit de la couche géologique Gl 6 est adjacente au mur de la couche géologique Gl 5 ;A ces limites se rajoute, pour le formalisme d’Egenhofer en particulier, une surdétection desrelations (déjà évoquée en introduction), ce qui a pour effet d’affecter l’analyse et d’alourdir letemps de calcul.Pour limiter le nombre des relations topologiques possibles (regroupées sous les termes d’inclusion,d’intersection, d’adjacence et de disjonction) entre deux objets géographiques et nousaffranchir des problèmes de cohérence, nous proposons de calculer pour chaque objet, quelle quesoit sa dimension géométrique, une maille. Cette abstraction, présentée dans la partie II, nouspermet d’obtenir une représentation unifiée et allégée, indépendante des modèles géométricotopologiquesutilisés lors de la modélisation, et de limiter la description des relations topologiquesà des objets de même dimension, c’est à dire à des volumes (ce qui a pour avantage defaciliter, entre autres, les calculs d’intersection).En revanche, mettre en relation les objets géographiques par leur maille entraîne une augmentationdes incohérences géométriques. Les mailles des objets géographiques vont s’intersectermême si ces derniers sont géométriquement adjacents (Figure 2.5). Par conséquent, nous sommesobligés de définir quelques axiomes pour assurer une cohérence logique entre objets, d’utiliserun formalisme, les espaces proximaux, pour inférer sur les mailles et d’utiliser les indices de144

Fig. 2.4 – Exemple de mise à jour d’un fontis. D’après www.prim.net, modifié.Le bloc diagramme, illustrant la mise à jour progressive d’un fontis, est constitué de 7 couches géologiques (notéesGl x pour Gelogical layer) et de 3 cavités (notées C x ).Miller pour décrire les relations entre objets géographiques.Fig. 2.5 – Exemple d’intersection de mailles calculés à partir des bâtiments du centre-villede Marseille.(A) Centre-ville de Marseille. Les bâtiments, représentés en bleu, ont été acquis grâce au projet Bati3D ; (B)Représentation des mailles des bâtiments : les mailles s’intersectent alors que les bâtiments sont géométriquementadjacents ou non-adjacents.Ce chapitre est divisé en trois sections : La première présente les espaces proximaux qui sont,grâce à l’opérateur δ, une formalisation de la mise en relation des mailles. La seconde section145

détaille les principes de mises en relation et la troisième et dernière section montre la manièrede décrire les relations de voisinage entre maille.2.2 Rappels sur les espaces proximauxPour formaliser la mise en relation des mailles entre elles, nous proposons d’utiliser la notiond’espace proximal qui est un concept décrit par Frigyes Riesz en 1908 et ignoré jusqu’à ceque V. A. Efremovič le redécouvre et l’axiomatise au début des années 1950 (Efremovič, 1951 ;Efremovič, 1952). Le paragraphe ci-dessous présente, à partir de l’ouvrage Proximity Spaces deNaimpally et Warrack (1970), les propriétés principales des espaces proximaux.Dans un espace topologique X, la topologie est déterminée par les axiomes de fermeture donnéspar Kuratowski (1958) concernant la relation « x est un élément de la fermeture de A ⊂ X ».Si x est un élément de la fermeture de A, nous pouvons dire que x est proche de A. En termesde relation de proximité, une fonction continue f : X → Y est alors être décrite comme celledécrivant la propriété : « si x est proche de A, alors f(x) est proche de f(A) ». Cette relationsuggère d’axiomatiser la relation A « est proche de » B pour les sous-ensembles A et B de X.Pour le cas dans lequel X est un espace pseudo-métrique avec d pseudo-métrique, cette relationde proximité peut être définie de manière naturelle. Soit D(A, B) =infd(a, b) :a ∈ A, b ∈ B,nous pouvons définir que : A est proche de B si et seulement si D(A, B) = 0.En termes de D, la fermeture de l’ensemble A est Ā = x : D(A, x) = 0. Mais la relation deproximité ainsi définie va un petit peu plus loin. Soit (Y, e) un autre espace pseudo-métrique,E défini d’une manière similaire à D, et f une fonction de X à Y . Alors f est uniformémentcontinue si et seulement si D(A, B) =0implique E(f(A),f(B)) = 0. Ainsi, la relation deproximité entre les sous-ensembles est d’une manière ou d’une autre connectée avec l’uniformité.Les relations de proximité ci-dessus (dans un espace pseudométrique) satisfont les propriétéssuivantes où nous notons A est proche de B par AδB :– (1.1) AδB implique que BδA ;– (1.2) (A ∪ B)δC ssi AδC ou BδC ;– (1.3) AδB implique que A ≠ ∅, B ≠ ∅ ;– (1.4) A δB implique qu’il existe un sous-ensemble E tel que A δE et (X − E) δB ;– (1.5) A ∩ B ≠ ∅ implique que AδB.Dans un espace métrique, la relation de proximité satisfait aussi :– xδy implique que x = y .Cependant, l’utilisation des mailles ne nous permet pas de travailler dans un espace métriquecar nous pouvons considérer que, si deux mailles sont adjacentes, il existe deux points x et ytel que d(x, y) = 0 alors que x ≠ y.146

Pour conclure, nous considérons que toute maille constitue un sous-ensemble de l’espace deproximité (X, δ) où la relation binaire δ est appelée une proximité (Efremovič) sur X si etseulement si δ satisfait les axiomes (1.1) - (1.5).2.3 Principes de mise en relationLa mise en relation des objets géographiques, dont les principales étapes sont représentées dansla Figure 2.6, se fonde sur trois principes :– tout objet géographique, quelle que soit sa dimension géométrique, est représenté dansnotre système par un volume (sa maille) ;– tout objet géographique est soumis à la gravité, le vide (en vertical dans un premiertemps !) n’existe pas dans notre modèle. Le but est de mettre en relation des objets qui,à cause d’un problème de modélisation ou d’acquisition, sont non-adjacents alors qu’ilssont censés être adjacents ou d’assurer une relation entre les parties d’un objet et celui quil’englobe (ex. : mettre en relation le toit d’une cavité et celui d’une couche géologique) ;– tout objet (maille) intersecté est, en réalité, adjacent. L’intersection et l’inclusion caractérisentdes relations à une échelle plus petite.Fig. 2.6 – Mise en relation logique des objets géographiques par leurs mailles : une manièrede résoudre des problèmes de cohérence(A) Problèmes de cohérence entre un bâtiment, un modèle numérique de terrain et une couche géologique : l’utilisationde formalismes, reposant sur la géométrie initiale des objets géographiques, risque d’engendrer des erreursd’analyse ; (B) Une maille est calculée pour chaque objet ; (C) Mise en relation logique des objets géographiquesà partir de ce principe : si deux mailles s’intersectent, elles sont considérées comme adjacentes ; (D) Recalculde la géométrie des objets géographiques en fonction de la mise en relation logique de leurs mailles.147

L’algorithme de mise en relation suit ces principes et calcule, quelle que soit la dimension del’objet géographique, une maille (Figure 2.7). Pour les objets de dimension 2D et 3D, la mailleest calculée à partir des éléments de symétrie et, pour les objets 2D, en prenant en comptel’altitude (ex. : MNT) ou, dans le cas d’un objet plat (ex. : un plan), en affectant une hauteurde 1 mètre. Pour un objet 1D, nous calculons son rectangle englobant minimum auquel nousrajoutons, pour lui donner une hauteur, une différence d’altitude ou nous lui affectons, si s’estun objet horizontal, une hauteur de 1 mètre. Pour les objets 0D, nous calculons une mailleunitaire (hauteur = largeur = longueur = 1 m).Fig. 2.7 – Extension de la notion de maille aux objets géographiques de dimension géométriqueinférieure à 3.(A) Objets géographiques de dimension géométrique variée ; (B) Mailles calculées pour les différentes dimensionsgéométriques (si l’objet géographique est de dimension 0−d, la maille est unitaire) ; (C) Représentation des objetsgéographiques et de leurs mailles dans le prototype CristageEnsuite, nous calculons les indices de Miller (l’utilisation des indices de Miller sert surtout àdécrire les relations entre objets. Se référer à la section 3.4 pour plus de détails) sur les faces desmailles et nous les associons aux faces de l’objet géographique. Cette association est réalisée encalculant les intersections entre les normales, utilisées pour représenter la structure (cf. PartieII), et les faces de la maille. Cette étape nous permet :– de distinguer les parties des objets géographiques qui sont susceptibles d’être en relation ;– de pouvoir recalculer, si besoin, une géométrie plus proche de la réalité.Puis nous simulons la gravité en chaque objet pour forcer verticalement l’adjacence logique entreles objets géographiques. Cela nous permet d’assurer une relation pour les objets « flottants »(ex. : une maison qui est non-adjacente au MNT à cause d’un problème d’acquisition ou de148

modélisation devient logiquement adjacente à ce dernier) et les objets inclus dans d’autres. Parexemple, la Figure 2.8 montre une cavité incluse dans une couche géologique. Le fait d’intégrerla gravité nous permet de mettre en relation la face inférieure de sa maille, indexée (00¯1), aveccelle de la maille de la couche géologique.Fig. 2.8 – Exemple de mise en relation.La mise en relation entre objets géographiques s’effectue généralement de cette manière (Figure2.9) :1. nous sélectionnons une maille, dite de « référence », et nous vérifions qu’elle n’est pasincluse dans une autre maille. La description des relations est détaillée dans la sectionsuivante ;2. si la maille de référence n’est pas incluse, nous projetons sa face (00¯1) et les faces (001)des autres mailles sur un plan. Les mailles dont la face projetée intersecte, ou contient, laface inférieure de la maille de référence sont conservées ;3. si la maille de référence est incluse dans une autre maille, nous recherchons toutes lesmailles incluses dans cette maille avant d’effectuer l’étape (2) ;4. Ensuite, dans les deux cas, nous éliminons les mailles qui sont situées au-dessus de lamaille de référence en comparant les altitudes des centroïdes de la face inférieure (de lamaille de référence) et des faces supérieures (des autres mailles) ;5. Puis, nous organisons, selon la verticale, les mailles sous-jacentes à la maille de référencede telle manière qu’une maille qui est en relation avec la maille de référence et une autremaille (située entre elle et la maille de référence) perde sa relation directe avec la maillede référence (Figure 2.10).149

Fig. 2.9 – Mise en relation logique de mailles adjacentes, non-adjacentes et incluses.(A) Vue de côté. (B) Vue de dessus. Cas 1 : les mailles sont non-adjacentes. Leur mise en relation permetd’associer la maille bleue avec la maille verte et la maille verte avec la maille violette. Cas 2 : la maille verteintersecte les mailles bleue et violette (qui sont considérées comme non-adjacentes l’une par rapport à l’autre).La position de la face (001) de la maille verte est située sous le centroïde de la maille bleue et celle de la face(00¯1) est en dessous du centroïde de la maille violette. Par conséquent, on met en relation la face (001) de lamaille verte avec la face (00¯1) de la maille bleue et avec la face (001) de la maille violette. On met aussi enrelation la face (00¯1) de la maille verte avec la face (00¯1) de la maille violette. Cas 3 : La maille verte est enrelation avec la maille bleue (inclusion) et avec la maille violette (disjonction). Il ne peut y avoir de relationdirecte entre la maille violette et la maille bleue.Fig. 2.10 – Mise en relation de mailles non-adjacentes.Dans le cas 1, la maille bleue reste en relation avec ses deux mailles sous-jacentes (verte et violette) aprèsune réorganisation verticale (1.A, 1.B) car, contrairement aux schémas (2.A, 2.B), la maille violette n’est passituée au-dessous de la maille verte. Par contre, dans le cas 2, la maille violette étant sous la maille verte quielle-même est située au-dessous de la maille bleue, nous considérons que la maille violette n’a plus à avoir derelation directe avec la maille bleue. Cependant, grâce aux espaces proximaux, il nous est facile de démontrer quela maille bleue est toujours proche de la maille violette ou de propager une information (ex. : si la maille violettes’effondre, nous pouvons aisément déterminer de proche en proche que les mailles vertes et bleues peuvent êtreaffectées par ce phénomène).150

2.4 Description des relations entre objets géographiquesLa description des relations entre objets géographiques, et plus particulièrement entre leursmailles, est relativement aisée. La maille, comme présentée dans la partie II, est un volumedélimité par six faces indexées par les indices de Miller (Figure 2.11).Fig. 2.11 – Exemple de maille indexée par les indices de MillerPour déterminer les relations entre deux mailles, nous prenons une maille à partir de laquellenous calculons les normales aux faces, orientées vers l’extérieur, passant par son centre. Nouscomparons les indices de Miller et la position des intersections, entre les normales de la maillede référence (verte sur la Figure 2.12) et ses faces et les normales de la maille de référence avecles faces de l’autre maille (noire sur la Figure 2.12), pour décrire les relations entre deux mailles.Les relations de voisinage entre deux mailles s’expriment (Figure 2.12) :– pour une inclusion : les faces mises en relation présentent les mêmes indices de Miller etla position des intersections des normales des faces de la maille verte est toujours plusproche de son centre que la position des intersections de ces mêmes normales avec lesfaces de la maille noire ;– pour une intersection : les faces mises en relation présentent les mêmes indices de Miller.Cependant, la position des intersections des normales des faces de la maille verte n’estpas toujours plus proche de son centre que la position des intersections de ces mêmesnormales avec les faces de la maille noire ;– pour une adjacence : les faces mises en relation ne présentent pas les mêmes indices deMiller mais leur symétrique. Par exemple, la maille verte est adjacente à la maille noirecar la face (001) de la maille verte est adjacente à la face (00¯1) de la maille noire.Cette description des relations se fonde sur l’orientation des normales et les indices de Miller.Plus simple à manipuler que les formalismes d’Egenhofer ou de Billen, elle limite les relationsà l’inclusion, l’intersection et l’adjacence et offre une spatialisation de ces relations. En effet,grâce aux indices de Miller, il est possible de savoir que la maille est adjacente à une autremaille par sa partie supérieure ou inférieure. Combinée au formalisme des espaces proximaux,cette description permet de réaliser des requêtes ou des analyses plus complexes (comme lapropagation d’un phénomène) avec un temps de calcul, a priori, relativement court.151

Fig. 2.12 – Description des relations entre mailles à l’aide des indices de Miller(A) Cas d’une inclusion : les faces de mailles vertes qui sont en relation avec les faces de la maille noireprésentent les mêmes indices. De plus, la position des intersections entre les normales de la maille verte et sesfaces est plus proche que la position des intersections entre les normales de la maille verte et les faces de lamaille noire. (B) Cas d’une intersection : les faces de mailles vertes qui sont en relation avec les faces de lamaille noire présentent les mêmes indices. La position des intersections entre les normales de la maille verte etses faces n’est pas toujours plus proche que la position des intersections entre les normales de la maille verte etles faces de la maille noire. (C) Cas d’une adjacence : les faces de mailles vertes qui sont en relation avec lesfaces de la maille noire présentent les mêmes indices symétriques. (D) En vert pointillé, les normales orientéesvers l’extérieur de la maille verte passant par son centre (cercle rouge). Les points verts et noirs représentent laposition des intersections entre les normales de la maille verte et les faces des mailles vertes et noires.152

2.5 Conclusion : de la description à l’évolution des relationsCe chapitre a présenté un algorithme permettant de décrire et de mettre en relation des objetsgéographiques de dimension différente. Il présente de nombreux avantages comme :– la manipulation d’objets (les mailles) concis (une maille est décrite par une coordonnéeet trois vecteurs) ;– la reconstruction, à l’aide des principes comme l’ajout de la gravité, d’une mise en relationlogique entre les objets géographiques. Elle permet de recalculer une géométrie plus prochede la réalité (ex. : éviter que le MNT intersecte un bâtiment ou une couche géologique)en déformant localement la géométrie initiale des objets géographiques ;– la description des relations de voisinage entre objets plus épurée que les formalismesconnus ;– la spatialisation des relations et la mise en place d’un formalisme permettant la réalisationd’analyses ou de requêtes complexes.Il souffre cependant d’une implémentation partielle et d’une mise en relation grossière (à causede la dimension géométrique variable des objets géographiques) des relations entre objets quipeut être affinée si nous subdivisons les objets géographiques (pour ceux qui ont une formenon-convexe) et recalculons, à partir des objets subdivisés, des mailles.Cependant, malgré ces limites, des travaux (Bonin et Poupeau, 2006) ont été effectués enparallèle pour mettre en place deux raisonnements :– un raisonnement semi-qualitatif qui concerne la position relative de solides dans l’espace.La position est exprimée en termes usuels de relations cardinales étendues des notions dehaut et de bas, ce qui donne 27 relations cardinales dans l’espace ;– un raisonnement qualitatif spatial qui repose sur les liens entre solides, dans le cas où cessolides sont en contact direct ou indirect. Nous caractérisons dans le même système derelations cardinales la direction de la normale au plan de contact entre solides. En outre,nous faisons la distinction entre lien majeur (contact direct), lien intermédiaire (contactindirect avec maintien de la direction cardinale des normales des plans de contact), et lienmineur (contact indirect sans maintien des directions des contacts). Nous obtenons ainsiun ensemble de 54 relations pour décrire les liens entre deux solides dans l’espace.Ces deux raisonnements, fondés sur des algèbres, permettent, en donnant une idée qualitativede la propagation d’un phénomène, de répondre à des requêtes de ce type :– quelles sont les couches géologiques sous ce bâtiment ?– sont-elles de même pendage ?– quel est ce pendage ?– quelle zone l’effondrement d’une carrière souterraine est-il susceptible de toucher ?153

154

CHAPITRE 3ÉVOLUTION DES RELATIONS DANS LE TEMPS3.1 Introduction : l’intégration du temps ou l’évolutiontemporelleAprès avoir mis en relation les objets géographiques, il est nécessaire de pouvoir faire évoluerces relations pour modéliser et visualiser un phénomène. Pour modéliser un phénomène, Rapper(2000) crée un objet « géophénomène » qui décrit une entité spatio-temporelle comme un écoulementlavique ou une inondation. L’utilisation d’un tel objet permet de connaître les relationssuccessives du géophénomène avec les objets qu’il affecte. Par conséquent, il est normalementpossible de déterminer les objets géographiques affectés par le phénomène.Cependant, dans un contexte de risque, un objet peut être affecté par des phénomènes de naturetrès différente (par exemple, dans le Sud Est de la France, les bâtiments sont altérés à lafois par la sismicité de la région pyrénéenne et par le retrait-gonflement des terrains argileux).Aussi, nous proposons de suivre l’évolution des relations des objets géographiques (ex. : unemaison et le sous-sol) et leurs états (ajout, suppression, fusion), à différents instants t 1 , ce quinous permet de modéliser indirectement le(s) phénomène(s) via une simulation discrète.Dans le cas de la mise à jour d’un fontis, au lieu de créer un objet effondrement, nous modélisonsl’évolution des relations des objets géographiques. Par exemple, l’effondrement du toit de lacavité entraîne :– soit sa disparition. Dans ce cas, elle fusionne avec son encaissant (perte de relations) et,si elle n’est pas incluse dans une couche géologique, la couche au-dessus de la cavité estmise en relation avec la couche inférieure ;– soit sa mise à jour. La cavité obtient de nouvelles relations avec les objets géographiquesprésents le long de la verticale (ex. : MNT, couches géologiques).1 dans Cristage, l’instant est défini par rapport à un événement (ex. : éboulement du toit de la cavité) ou parl’action de l’utilisateur (ajout d’un objet).155

Intégrer la notion de temps dans notre système et enrichir la connaissance, pour un objet, deson environnement, nous permet d’améliorer l’analyse en augmentant le nombre de requêtescomme :– combien de couches géologiques séparent la cavité de la surface ?– combien d’événements séparent l’état initial de l’objet à sa suppression ?– que s’est-il passé pour cet objet à l’instant t ?Pour permettre de telles analyses, nous utilisons la théorie des graphes, souvent appliquée dansles SIG 3D pour modéliser une trajectoire (Ramos, 2002) ou définir un parcours (ex. : Lee(2003) utilise des graphes pour modéliser, dans une habitation, les chemins à suivre dans le casd’un incendie), pour créer deux graphes :– un graphe d’adjacence qui décrit, à un instant t, les relations entre objets géographiques ;– un graphe temporel qui, par le chaînage des différents instants, représente l’évolution desrelations, et des états, d’un objet géographique.Ce chapitre propose, dans une première section, un rappel succinct de la théorie des graphes.Ensuite, nous développons, dans la deuxième section, le graphe d’adjacence, et notamment lamanière de le créer, et, dans la troisième section, le graphe temporel.3.2 Rappels en théorie des graphesLes quelques notions, abordées ci-après, sont utilisées pour développer notre système de grapheservant à la gestion temporelle d’événements dans Cristage. Pour plus de détails sur la théoriedes graphes, le lecteur pourra se référer à ces ouvrages de référence : Théorie des Graphes etses Applications (1958) et Graphes et Hypergraphes (1969) de Claude Berge ou Modern GraphTheory de Bela Bollobas (1998).3.2.1 Définition et terminologie d’un grapheUn graphe G =(X, U) est le couple constitué par :– par un ensemble X = x 1 ,x 2 , . . . , x n représentant les nœuds de G ;– par une famille U = u 1 ,u 2 , . . . , u m d’éléments du produit cartésien X × X =(x, y)/x ∈X, y ∈ X. Chaque élément (x, y) de X × X peut apparaître plusieurs fois à part si legraphe est un p-graphe. Les éléments de U représentent les arêtes ou, s’ils sont orientés,les arcs. Dans le cas où les arêtes du graphe sont orientées, on ne parlera plus de graphemais de digraphe.Pour décrire un graphe (Figure 3.1), il existe plusieurs notions comme :– l’ordre qui représente le nombre de sommets du graphe G ;– la boucle qui est un arc de G de la forme (x, x). Sinon, pour un arc u =(x, y), le point xest une extrémité initiale, et le point y son extrémité terminale.– les successeurs et les prédécesseurs d’un nœud : y est successeur de x s’il existe un arcayant son extrémité en x et son extrémité terminale en y. L’ensemble des successeurs dex se note : Γ + G(x). De la même manière, y est un prédécesseur de x s’il existe un arc de la156

forme (x, y). L’ensemble des prédécesseurs de x se note : Γ − G(x). L’ensemble des sommetsvoisins de x se note Γ G (x) = Γ + G(x) ∪ Γ − G(x) ;– le degré d’un sommet x, noté d(x), est le nombre d’arêtes incidentes à ce sommet.Fig. 3.1 – Exemple de p−graphe : un 3-graphe d’ordre 4, d’après Berge (1973).Représentation, en bleu, des arcs et, en rouge, des nœuds. Ce 3-graphe est composé de deux boucles (5, 6, 10) etd’arcs orientés. Le nœud (a) a, pour successeur, le nœud (b) et le nœud (c) comme prédécesseur et est de degré4.Enfin, un graphe peut être valué, ou multivalué, c’est à dire que nous pouvons définir unefonction qui, à chaque arête ou à chaque sommet, associe un, ou plusieurs, poids (nombre réel).Par exemple, la longueur d’une route peut être la valuation d’un réseau routier.3.2.2 Graphe partiel, sous-graphe et cliqueA partir d’un graphe G =(X, U), il est possible de dériver deux autres types de graphes (Figure3.2) :– Le graphe G ′ =(X, U ′ ), dit graphe partiel de G, si E ′ est inclus dans E. Ce graphe G ′est obtenu enlevant une ou plusieurs arêtes au graphe G ;– Pour un sous-ensemble de sommets A inclus dans U, le sous-graphe de G induit par Aest le graphe G ′′ =(A, U(A)) dont l’ensemble des sommets est A et l’ensemble des arêtesU(A) est formé de toutes les arêtes de G ayant leurs deux extrémités dans A. Le sousgrapheest obtenu en enlevant un ou plusieurs sommets au graphe G ainsi que toutes lesarêtes incidentes à ces sommets.157

Fig. 3.2 – Graphe, graphe partiel et sous-graphe.(A) Graphe G d’ordre 5 ; (B) Graphe partiel G’ : les arêtes 2 et 3 ont été supprimées ; (C) Sous-graphe G” : lenœud b et ses arêtes incidentes ont été supprimés.Il existe un sous-graphe particulier : la clique qui est un sous-graphe complet c’est-à-dire quetoutes les paires de sommets sont adjacentes (Figure 3.3).Fig. 3.3 – Clique.La clique ou un sous-graphe complet où toutes les paires de sommets sont adjacentes.Pour limiter l’analyse d’un graphe ou d’un sous-graphe à une zone plus réduite, il est nécessairede définir les notions d’isthme et de point d’articulation (Figure 3.4) :– dans un graphe connexe, un isthme est une arête dont la suppression crée deux composantesayant chacune au moins une arête ;158

– dans un graphe connexe, un sommet est dit d’articulation si le sous-graphe obtenu en lesupprimant n’est pas connexe. Il contient, par voie de conséquence, plus d’un sous-graphe(p >1).Fig. 3.4 – Isthme et Point d’articulation.(A) L’arête rose représente un isthme dans un graphe connexe. Si elle est supprimée, nous obtenons deux graphesconnexes. (B) Le sommet C (en rose) est un point d’articulation d’un graphe connexe. S’il est supprimé, nousobtenons deux graphes non-connexes.3.2.3 Chaîne et cheminPour manipuler un graphe, et plus particulièrement étudier la manière de le parcourir, nouspouvons utiliser la notion de chaîne ou de chemin si le graphe est un digraphe.La chaîneUne chaîne (Figure 3.5) dans G, est une suite de la forme (x 0 ,u 1 ,x 1 ,u 2 , . . . ,x n−1 ,u k ,x k ) ayant pour éléments alternativement des sommets (x i ) et des arêtes (u i ), commençantet se terminant par un sommet, et telle que les extrémités de u i soient x i−1 et x i ,i=1, ..., n.Si x 0 = a et x k = b, la chaîne qui relie a et b a une longueur k qui correspond au nombred’arêtes de la chaîne.159

Entre deux sommets, la plus petite longueur de chaîne les reliant est qualifiée de distance et laplus longue est nommée diamètre.Fig. 3.5 – Exemple de chaînes (en vert et violet) reliant les sommets a et b.La chaîne (a,1, b) représente la distance entre a et b. La chaîne (a, 6, d, 4, c, 2, b), au même titre que la chaîne(a, 3, c, 4, d, 5, b), constitue le diamètre.Le cheminUn chemin (Figure 3.6) conduisant du sommet a au sommet b est une suite de la forme(x 0 ,u 1 ,x 1 ,u 2 ,x 2 , ..., u n ,x n ) où les x i sont des sommets (x 0 = a et x k = b) et les u i sont des arcstels que u i va de x i−1 à x i .La longueur du plus petit chemin entre deux sommets d’un digraphe est, comme pour unechaîne, appelée distance. S’il n’existe pas de chemin entre les sommets x et y : d(x, y) =infini.Enfin, le chemin est qualifié de circuit si x 0 = x n .Ces notions sont enrichies par celle de la racine qui décrit un sommet r tel que tout autre sommetdu graphe est à l’extrémité d’un chemin issu de r. La direction doit nécessairement être priseen compte. Une racine se veut généralement le point d’origine d’un système de distribution(Figure 3.7).160

Fig. 3.6 – Exemple de p−graphe orienté.En vert, exemple de chemin, de distance 2, entre les nœuds c et e.Fig. 3.7 – Exemple de racine sur un p−graphe orienté.Le sommet a, en rose, représente la racine à partir de laquelle on peut atteindre tous les autres sommets dugraphe orienté. Cette notion est très importante notamment pour simuler les effets d’un effondrement dontl’origine serait la racine.161

3.3 Le graphe d’adjacenceLe graphe d’adjacence est utilisée pour décrire les relations entre mailles (donc entre objetsgéographiques). Il est composé d’un ensemble de sous-graphes (Figure 3.8). Chaque sous-grapheest constitué de cinq nœuds et de quatre arêtes. Le nœud central symbolise la maille et les quatreautres nœuds représentent les faces de la maille et, par conséquent, possèdent des indices deMiller.Fig. 3.8 – Le sous-graphe, élément constitutif du graphe d’adjacence 3D.(A) Représentation d’une maille avec ses indices de Miller. (B) Sous-graphe, associé à la maille, constitué de 5nœuds représentant la maille (le nœud central) et ses faces indexées (les quatre autres nœuds).Grâce à la mise en relation des mailles, présentée au début de cette partie, il est possible dereconstituer le graphe d’adjacence. Les trois cas possibles de relations entre objets géographiques(donc entre sous-graphes), illustrés à la Figure 3.9, sont représentés à l’aide d’arcs orientés :– l’inclusion de la maille verte dans la maille noire est représentée en associant les nœudsdu sous-graphe de la maille verte avec ceux, de même indice, du sous-graphe de la maillenoire. Les arcs sont orientés vers l’extérieur de la maille incluse ;– l’intersection de la maille verte avec la maille noire est représentée en associant, les nœudsdes sous-graphes de mêmes indices. Les arcs, au nombre de quatre, sont orientés vers lesfaces des mailles les plus éloignées ;– l’adjacence est représentée en associant, par un seul arc non-orienté, les nœuds des deuxsous-graphes représentant les faces adjacentes. Dans le cas d’une relation d’adjacence verticale,les indices des nœuds reliés sont symétriques.162

Fig. 3.9 – Trois exemples de graphe d’adjacence.(A) Relation d’inclusion. (B) Relation d’intersection. (C) Relation d’adjacence.Après constitution d’un tel graphe, il est nécessaire de pouvoir changer l’état d’un objet (Figure3.10) qui se résume à la suppression, le rajout ou la fusion :– l’opération de fusion est utilisée lorsque, par exemple, une cavité s’effondre sur elle-même.Cette opération regroupe les relations partagées par les nœuds de même indice commel’illustre la Figure 3.10 - A ;– l’opération de rajout consiste à intégrer un nouvel objet dans le graphe. Si l’objet ajouté sesitue entre deux autres objets existants (M1 et M2), dans ce cas, il faut découper l’arêtereliant ces deux objets et mettre à jour leurs relations. En effet, l’objet nouvellementajouté, M3, partage des relations entre ses nœuds et les nœuds des sous-graphes de M1et M2. Par conséquent, M1 et M2 ne possèdent plus de relation directe (Figure 3.10 - B) ;– l’opération de suppression détruit le sous-graphe d’un objet et peut entraîner la dislocationdu graphe et une perte des relations. Pour éviter ces inconvénients, cette opérationpeut s’accompagner, comme dans l’opération de fusion, d’une mise à jour des relationsdes objets entourant l’objet supprimé.L’utilisation des graphes d’adjacence présente de nombreux intérêts comme la représentationdes relations entre objets ou le parcours aisé et orienté, en fonction des indices de Miller,des différents objets géographiques mis en relation. Par exemple, elle permet d’identifier lesobjets (les couches géologiques, les failles et le MNT) séparant deux objets (une cavité et unbâtiment). Les outils de la théorie des graphes, appliqués aux graphes d’adjacence, offrentd’autres possibilités de requêtes et d’analyse comme :163

Fig. 3.10 – Evolutions des relations dans un graphe d’adjacence lors de l’ajout ou de lasuppression d’un objet.(A) Graphe d’adjacence décrivant une relation d’inclusion entre deux mailles. L’ajout d’un nouvel objet, M3,entraîne le découpage de l’arête la reliant aux nœuds (00¯1) de M2. L’intégration de M3 étant verticale, ses facessupérieures et inférieures sont associées aux nœuds présentant les indices opposés. Dans le cas d’une inclusion,le découpage de l’arête n’aurait pas été nécessaire, à moins que plusieurs objets soient inclus, car les associationsentre M3 et la maille la contenant auraient été réalisées entre nœuds de même indice. (B) La suppression d’unobjet entraîne l’« effondrement » de sa maille (dans le cas présent M3). Les relations portées par les nœuds deM3 sont reportées sur ses mailles adjacentes (cf. schéma B - (1)) ce qui revient à superposer le centre de M3sur les centres de ses mailles adjacentes (cf. schéma B - (2)).164

– la détection des isthmes dont la rupture permet de déconnecter deux zones :– la racine d’un graphe, orienté suivant la propagation d’un phénomène, constitue l’originedu phénomène (ex. : une cavité) ;– le diamètre entre deux nœuds représentant le centre des mailles donne, si on ne tientpas compte des autres nœuds des sous-graphes, le nombre maximal d’objets susceptiblesd’être en relation lors de la propagation d’un phénomène ;– le plus court chemin entre deux points, dont les arêtes ont été valuées suivant des critèresgéomécaniques, donne le principal chemin de contraintes.Cependant, le graphe d’adjacence n’apporte qu’une information spatiale alors que la modélisationd’un phénomène nécessite aussi une information temporelle. Cette information est portéepar le graphe temporel.165

3.4 Le graphe temporelL’intégration du temps intéresse de nombreuses applications et notamment le domaine des géosciencespour construire et suivre l’évolution des couches géologiques (Perrin, 1998 ; Schneider,2002). Cependant, l’ajout d’une troisième dimension reste souvent délicat à manipuler et extrêmementcoûteux en temps de calcul (Léon, Skapin et Meseure, 2006 a). En effet, de récentstravaux en 2D sur la modélisation et l’évolution de couches géologiques ont testé l’intégrationdirecte du temps dans les modèles géométriques. L’animation s’obtient par les intersectionssuccessives d’un hyperplan perpendiculaire à l’axe du temps avec la scène (Figure 3.11) ce quipermet d’avoir un unique modèle géométrique représentant toute l’évolution. Cependant, lesauteurs ont montré les limites de cette approche en termes de souplesse et de contrôle et ontopté pour une approche par keyframes. Cette approche produit une succession d’images-clésayant subi des modifications topologiques. Chaque image-clé comprend l’évolution de ses composantset permet d’obtenir la géométrie de l’image suivante (Figure 3.12). Néanmoins, parrapport à leur première approche spatio-temporelle, aucun lien topologique n’existe entre deuximages-clés mais, selon les auteurs, il est possible de lier les images entre elles par des liaisonsindépendantes du modèle topologique (notamment pour conserver un historique).Fig. 3.11 – Exemple de scénario (A) representant l’animation de deux sédimentationssuccessives et son animation (B). D’après Léon, Skapin et Meseure (2006).Le schéma B représente l’objet spatio-temporel correspondant à l’animation du schéma A. L’axe temporel estvertical.La méthode que nous proposons se situe entre les deux approches développées par Léon, Ska-166

Fig. 3.12 – Représentation par instants-clefs d’une sédimentation suivie d’un glissementle long d’une faille. Les parties non visibles sont affichées en gris et en pointillés. D’aprèsLéon, Skapin et Meseure (2006 a).pin et Meseure (2006 b). En effet, nos graphes d’adjacence sont calculés à différents instantsoù chaque instant décrit l’évolution d’un objet ou de ses relations. Chaque graphe d’adjacencepeut être considéré comme une image-clé puisqu’il cristallise les relations des objets d’une scène(Figure 3.13).Fig. 3.13 – Deux exemples de graphe d’adjacence à différents instants.Ce schéma montre l’évolution d’un phénomène et dans le cas présent un fontis. On remarque qu’à t 1 la cavitéA est en relation avec son encaissant B et, à t 2 , le toit de la cavité A s’étant effondrée, elle est en relation avecles couches B, C, E, F et G et elle a fusionné avec la cavité D qui a disparu.Pour suivre l’évolution d’un objet, ou pour obtenir l’historique de ses relations, nous avons intégréun graphe temporel qui relie les différents graphes d’adjacence par les nœuds centraux des167

sous-graphes des mailles (Figure 3.14). Le graphe temporel, défini comme un graphe orienté,Edonne une idée de l’évolution des objets et de leur géométrie. Grâce à lui, on peut suivrel’évolution spatio-temporelle d’un objet géographique ou d’un phénomène.Fig. 3.14 – Le graphe temporel : un graphe transverse reliant les nœuds des différentsgraphes d’adjacence.Cette structure relativement simple permet :– un stockage réduit et une manipulation aisée de la représentation spatio-temporelle desobjets 3D ;– de ne pas être déconnectée de la représentation géométrique des objets. Chaque nœudétant lié à la maille, il est facile d’obtenir la représentation à différents instants et de lavisualiser ;– de réaliser d’autres requêtes notamment grâce aux notions de racine et d’arêtes valuées.Ces dernières constituent une première approche pour modéliser un phénomène qui doitêtre complétée par l’utilisation de méthodes numériques (ex. : les éléments finis) sur lesreprésentations géométriques pour réaliser des simulations.168

3.5 Conclusion : vers une gestion particulière des interfacesL’intégration de la notion de maille dans notre système permet d’abstraire les objets, à la géométrieparfois complexe, et de les mettre en relation. Cette mise en relation s’accompagne d’unedescription (adjacence, inclusion, intersection) obtenue grâce à une comparaison des indices deMiller calculés sur chaque face des mailles. Cependant, les mises en relation des mailles ne suffisentpas pour les parcourir ou suivre l’évolution temporelle de leurs relations. Pour faciliter cesdeux aspects, nous avons ajouté un dernier niveau d’abstraction à notre modèle : un systèmede graphes constitué d’un graphe d’adjacence et d’un graphe temporel.Le graphe d’adjacence représente les relations entre mailles. Il est composé par un ensemble desous-graphes dont les nœuds centraux symbolisent les mailles (les quatre autres nœuds du sousgraphesont les faces des mailles). Il cristallise donc les relations à un instant t et nous donne,par sa structure même, une grande facilité pour la parcourir. De plus, nous avons développé ungraphe temporel qui permet de suivre l’évolution des relations d’un objet. Ce graphe relie lesnœuds centraux d’une même maille à différents instants c’est-à-dire qu’il lie une succession degraphes d’adjacence. Il nous permet ainsi de suivre l’évolution temporelle d’un objet, ou d’unphénomène (ex. : la mise à jour d’un fontis), et il constitue l’historique de ses relations.Couplés à certaines notions de théorie des graphes (ex. : la racine, le diamètre), le graphe d’adjacenceet le graphe temporel permettent de réaliser de très nombreuses requêtes et analyses.Cependant, si l’on veut modéliser un phénomène naturel, qui, le plus souvent se propage deproche en proche, il est nécessaire de coupler notre système à des méthodes numériques (élémentsfinis par exemple), ou intégrer des codes de simulation existants, pour les exécuter surla représentation géométrique des objets géographiques (ex. : maillages réguliers).Enfin, ce système de graphes devra évoluer si l’on distingue, dans les mailles qu’il décrit, untype particulier intitulé objet de « couplage » (Poupeau et Bonin, 2006). Ce dernier décrit lesinterfaces, de dimension (n − 1), qui séparent deux objets géographiques (de dimension n),comme le MNT (discontinuité séparant le sous-sol du sursol), des accidents tectoniques ou deslimites de couches géologiques, et a pour objectif de propager les déformations. L’idée majeured’un tel objet est que seuls les objets de couplage conservent l’historique des déformationset, qu’en quelque sorte, ils constituent les rouages de notre modèle. Cependant, nous n’avonspas approfondi cet aspect car, l’intégration d’un tel objet dans notre modèle nécessite le développementd’une structure géométrico-topologique adaptée, moins approximative que celle desmailles, pour pouvoir recalculer précisément la position des objets géographiques après qu’ilsaient subi une déformation ou un déplacement.169

CHAPITRE 4CONCLUSION GÉNÉRALE : UTILISATION DES MAILLES ETDES GRAPHES DANS UN CONTEXTE D’AFFAISSEMENTMINIERDans cette troisième et dernière partie, nous avons mis en place un système pour mettre enrelation des objets géographiques. Ce système est fondé sur les mailles calculées à partir de lastructure des objets géographiques. Formalisé à partir des espaces proximaux, il tient comptede trois règles :– tout objet géographique, quelle que soit sa dimension géométrique, est représenté par unvolume (sa maille) ;– tout objet géographique est soumis à la gravité, le vide n’existe pas dans notre modèle ;– tout objet (maille) intersecté est, en réalité, adjacent.Ce système de mise en relation s’est enrichi, par une comparaison des indices de Miller calculéssur chaque face des mailles, d’une description des relations entre objets (adjacence, inclusion,intersection). Cependant, il ne proposait pas de structure permettant de parcourir les différentsobjets mis en relation et il n’intégrait pas le temps. Par conséquent, nous avons introduit unestructure composée de deux graphes (Figure ??, Figure 4.2) :– le graphe d’adjacence qui représente les relations entre mailles. Il est constitué d’un ensemblede sous-graphes où chaque sous-graphe décrit une maille ;– le graphe temporel qui relie le nœud central d’un même sous-graphe à différents instantsce qui permet d’avoir un historique des relations d’un objet ou, au contraire, de « simuler» l’évolution d’un phénomène (naturel ou anthropique).Avant de présenter notre modèle à travers une application, il est utile de revenir sur la philosophiede Cristage : le niveau d’abstraction augmente en fonction de l’échelle d’analyse. C’estpourquoi, nous utilisons la structure pour analyser et manipuler l’objet géographique, nousnous servons des mailles, qui dérivent de la structure, pour mettre en relation les objets géographiqueset nous profitons des graphes d’adjacence, calculés à partir des mailles, et des graphestemporels pour parcourir les objets géographiques et introduire le temps dans nos analyses.170

Yann Gueguen et Benoît Deffontaines nous ont offert une application pour notre modèle. Ilstravaillaient sur l’étude des mouvements de surface en environnement minier à partir d’interférométrieradar dans le Nord-Pas-de-Calais. Ils ont mis en évidence différentes zones d’affaissementmais la complexité de la structure du bassin houiller (Figure 4.3) et des phénomènes susceptiblesd’être à l’origine de ces mouvements (pour plus de détails, le lecteur pourra se référer àla thèse de Yann Gueguen soutenue en 2007) nécessitent une modélisation 3D du bassin, parun géomodelleur, et la mise en place d’un SIG 3D.L’utilisation de ces outils permettent d’améliorer la compréhension globale des phénomènes etdes interactions des différentes causes de mouvements de la surface topographique. Le SIG 3Dapporte de nombreuses informations sur l’environnement naturel d’un point choisi, par exemple,en surface telles que :– la nature, l’épaisseur et les caractéristiques géotechniques des terrains sous-jacents ;– la proximité éventuelle d’un sondage de reconnaissance ;– l’existence de singularités géologiques (pendages, failles. . .) ou le niveau des nappes d’eausouterraines à différentes dates.De même que l’on peut prendre en compte un certain nombre de renseignements de natureplus anthropique tels que : la profondeur, les méthodes employées, les dates d’ouverture et defermeture des exploitations, la valeur des tassements observés et attendus par modélisation ouencore plus subjective comme l’existence de plaintes dans les archives.Cependant, notre système offre d’autres possibilités (Figure 4.3). En effet, à partir d’une zoneoù des affaissements ont été notés, il est possible, grâce à notre système de mailles et un graphed’adjacence, de rechercher les objets situés à l’aplomb de la zone de déformation et susceptiblesd’être à l’origine de ces désordres (nappe d’eau, cavité souterraine, veine de charbon, retraitgonflement des argiles, etc.). Cet aspect de notre système permet d’affirmer ou d’infirmer deshypothèses proposées pour expliquer ces déformations. De plus, si plusieurs origines sont possibles,nous pouvons tenter de « simuler » l’évolution des relations entre objets géographiquespour chaque origine. Par conséquent, à l’aide de la structure, nous pouvons extraire le toit d’uneveine et rechercher, à l’aide des mailles et des graphes, les objets susceptibles d’être affectés parson effondrement. Couplé à un logiciel de simulation, notre prototype permettrait de quantifierles déplacements et affiner notre analyse.À terme, l’utilisation de notre prototype combinée aux méthodes interférométriques permettrade répondre à différentes interrogations telles que :– quels sont les volumes initiaux et résultants des veines ?– quelles sont les couches géologiques présentes au-dessus des veines et leurs propriétés ?– quels sont les objets situés au-dessus et au NE des veines ?– quels sont les objets présents sous (avec un respect de la verticalité) une zone de déplacements?– quels sont les objets directement liés à une zone de déplacement ?– quel serait le résultat (en terme de comportement par rapport aux simulations actuelles)de l’activité d’une faille ?171

Fig. 4.1 – Schéma HBDS simplifié du prototype Cristage.Dans ce dernier schéma HBDS, nous avons inclus, à l’aide de trois classes éponymes, les notions de sousgraphe,de graphe d’adjacence et de graphe temporel. Le sous-graphe est associé à deux classes de l’hyperclasse« représentation topologique » : celle des nœuds et celle des arêtes. Le graphe temporel relie les nœuds centrauxdes sous-graphes des différents graphes d’adjacence ce qui permet une simulation discrète de phénomènes.172

FIG. 4.2 - Schéma UML du prototype Cristage.Ce diagramme UML présente, en rouge, le modèle « géométrico-topologique » de Cristage : Un objet géographique, constitué d’un ensemble d’objets géographiques ou de sous-objets (pouvant êtreconvexe), peut être modélisé par un B-Rep (pour l’affichage), par une énumération spatiale (pour les calculs volumiques) ou par la CSG (pour certaines modélisations ou pour le picking). Auxdeux premières modélisations sont associées un même modèle topologique fondée sur celui de Baumgart (1975). Les classes associées à l’analyse de l’objet géographique et plus particulièrementla détermination de la structure, de la forme cristalline et de la maille sont représentées en bleu. La forme cristalline et la maille hérite d’une des classes (en jaune) de la simplification d’unobjet géographique 3D. Enfin, les classes des graphes représentant les relations d’adjacence entre les mailles et l’évolution des relations dans le temps sont représentées en vert.173

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FIG. 4.3 - Présentation géographique du Nord-Pas-de-Calais et intégration dans Cristage.(A) Présentation géographique du Nord-Pas-de-Calais (Gueguen, 2007), (B) et (C) premières intégrations, dans notre prototype Cristage, de veines de charbon avec en (C) la représentation desmailles.175

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CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES GÉNÉRALESConclusions Générales« [. . .] l’objet visé [. . .] n’est pas une somme d’éléments qu’il faudrait d’abordisoler et analyser, mais un ensemble, c’est-à-dire une forme, une structure : l’élémentne préexiste pas à l’ensemble, il n’est ni plus immédiat ni plus ancien, ce ne sont pasles éléments qui déterminent l’ensemble mais l’ensemble qui détermine les éléments :la connaissance du tout et de ses lois, de l’ensemble et de sa structure, ne sauraitêtre déduite de la connaissance séparée des parties qui le composent [. . .] »La Vie mode d’emploi, Georges PerecCet extrait de l’une des œuvres oulipiennes 1 de Georges Perec (1978) illustre, à travers lavie d’un immeuble parisien, l’idée maîtresse de ce mémoire : un objet géographique ne se résumepas à un paquet, plus ou moins ordonné par la topologie, de primitives géométriques. Ilpossède une structure qui décrit et qui régit, par rapport à lui même, la position de chaqueélément constitutif. Appréhender, décrire et comprendre sa structure permet, entre autres, laréalisation, l’amélioration ou le guidage de certaines analyses spatiales au niveau d’un objet(ex. : subdivision géométrique, simplification de bâtiments, etc.) ou d’un ensemble d’objets(ex. : mise en relation, description des relations et évolution dans le temps).L’intégration de la structure permet, à l’aide de notions issues de la cristallographie géométrique(ex. : le réseau, le motif, la maille, etc.) et la présence d’éléments de symétrie (ex. : miroir, plan,1 Oulipo : acronyme d’« Ouvroir de littérature potentielle » qui désigne une association fondée, en 1960, parle poète Raymond Queneau et le mathématicien François Le Lionnais. Cet atelier de littérature expérimentale,auquel Claude Berge, un des fondateurs de la théorie des graphes, a appartenu, exhume, classe et illustre lescontraintes présentes dans l’écriture littéraire. L’Oulipo est divisé en deux courants :– un courant synthétique qui est chargé d’imaginer et d’expérimenter des contraintes littéraires nouvellescomme le résume une de leurs propres définitions : « Oulipiens : rats qui ont à construire le labyrinthe dontils se proposent de sortir » ;– un courant analytique chargé de rechercher les « plagiaires par anticipation ». Plus clairement, le but estd’étudier les œuvres du passé à la lumière des nouveaux moyens créés par le courant synthétique (d’aprèsl’Encyclopædia Universalis (2005)).177

etc.), d’abstraire, dans un premier temps, l’objet. En effet, représentée par les normales, définiesen chacune des faces de l’objet et passant par son centre, la structure fournit une descriptiondes symétries, des caractéristiques géométriques (colinéarité, parallélisme, etc.) et facilite ainsila manipulation et la réalisation de requêtes et d’analyses spatiales.De la structure est dérivée une seconde abstraction : la maille. Véritable généralisation 3D duMinimum Bounding Rectangle, cette forme parallélépipédique, déduite de l’analyse des élémentsde symétrie, sert de buffer, guide, via ses indices de Miller, le(s) parcours sur la frontière desobjets géographiques et les met en relation.Cette mise en relation inter-objets s’effectue selon trois principes :– tout objet, quelle que soit sa dimension géométrique (0D, 1D, 2D, 3D), est considérécomme un objet volumique et représenté par une maille ;– toute maille est soumise à la gravité (le vide n’existe pas) ;– toute maille intersectée est en réalité adjacente. L’intersection et l’inclusion caractérisentdes relations à une échelle plus locale.Cette mise en relation s’accompagne de deux graphes, le graphe d’adjacence et le graphe temporel,qui décrivent :– les relations entre les mailles : Chaque maille est représentée par un sous-graphe composéde 7 noeuds (le centre de la maille et ceux de ses faces). Les noeuds des faces possèdentun indice de Miller qui permet de lier les sous-graphes entre eux et de décrire les relationsde voisinage : adjacence, intersection, inclusion et non-adjacence ;– l’évolution des relations qu’un objet géographique (et sa maille) a avec son environnement: elle est matérialisée par une succession de graphes d’adjacence reliés entre eux parle graphe temporel dont les noeuds représentent le centre de la maille à différents instants.Ces abstractions, qui se simplifient en fonction de l’échelle d’analyse (Figure 4), sont complémentairesdes modèles topologiques, notamment pour les analyses intra-objet (ex. : caractérisationdu relief), et permettent :– pour une analyse intra-objet : d’augmenter, grâce à la description haut-niveau de la structure,les analyses spatiales à partir du modèle B-Rep ;– pour une analyse inter-objets : de s’affranchir de certaines incohérences (ex. : intersectionentre une maison et un MNT), de la qualité de certaines données, de la dimension desobjets géographiques et d’inférer sur les mises en relation.Ces différentes abstractions ont été, en partie, implémentées dans le prototype Cristage (cf. Annexes),dont le noyau est illustré à la Figure 4.2 de la partie III, et suscitent, par la notion d’unedescription haut-niveau, d’intéressantes perspectives et réflexions en termes d’analyse spatialeet de conception de SIG. Le chapitre suivant propose quelques pistes à suivre pour améliorer,enrichir ou poursuivre ce travail178

Fig. 4 – Les abstractions d’un objet géographique en fonction de l’échelle d’analyse.(A) Objet géographique ; (B) Modélisation du bâtiment par un B-Rep avec des faces planes à partir desquelles lastructure est déterminée. Cette première abstraction met en évidence le parallélisme et la colinéarité des faceset permet, par une analyse des éléments de symétrie, de déterminer sa maille ; (C) Utilisation de la maille,et des indices de Miller calculés en chacune de ses faces, pour mettre en relation les objets géographiques etdécrire leurs relations ; (D) Génération, à partir de la mise en relation des mailles, des graphes d’adjacence etdes graphes temporels pour suivre l’évolution des objets.179

Perspectives GénéralesRéflexions sur une modélisation 3D unique pour un SIGIdéalement, le rôle d’un SIG, 2D ou 3D, est de constituer une plate-forme regroupant desdonnées (modélisées ou non), du code, des simulations, des algorithmes ou des expériences issuesde différents domaines pour permettre des interactions et rendre ainsi des analyses, commela simulation d’une avalanche et ses répercussions sur le relief et le paysage urbain, possible.Actuellement, les SIG sont conçus avec un modèle « géométrico-topologique » unique. Très utilepour la visualisation et la cartographie, une représentation unique rend l’intégration de codesde simulation ou de nouveaux algorithmes délicate voire impossible si elle ne s’accompagned’un (re)développement informatique. Cet aspect est extrêmement limitatif et constitue, trèscertainement, un des freins au développement des SIG 3D.Pour obvier à cette limite, nous proposons un SIG qui serait constitué de deux niveaux :– un premier niveau qui laisserait le libre choix aux utilisateurs sur la manière de modéliserl’information géométrique et topologique des objets géographiques tout en proposantun module de conversion de modèle géométrique ou topologique (ce qui peut donner unmeilleur aspect lors de la visualisation). L’intégration de modèles géométriques différentsdans une même scène favorise la réalisation de requêtes, de calculs ou de simulations spécifiquesà certains objets (comme des calculs d’ouvrages) ou rend possible son utilisation pardes logiciels spécialisés dans certains domaines d’applications (ex. Flac3D 2 ). Ce premierniveau nécessiterait de s’enrichir d’un module de modélisation comme les géomodelleurspermettant de diversifier les applications et le profil des utilisateurs ;– un second niveau pour l’analyse inter-objets qui s’affranchirait des modélisations géométriquestout en permettant une détection et une évolution des relations entre objets quelleque soit leur dimension. Cette mise en relation des objets doit reposer sur une modélisationgéométrique et topologique unique comme la modélisation à base de mailles associéeau formalisme des espaces proximaux.Le prototype Cristage, système hybride en termes de modélisation (B-Rep, Enumération Spatiale),n’est pas aujourd’hui un SIG 3D pouvant répondre à ces besoins. Malgré les notions destructure et de maille, il nécessite de nombreux développements (un géomodelleur, des formatsd’échange, l’intégration d’outils de simulation, etc.) avant d’être performant et de remplir sonrôle de SIG 3D (Figure 5). Dans cette optique, le choix du langage, en l’occurrence le Java,serait certainement à repenser car, contrairement au C ou au C++, il est peu adapté à la 3Det il ne bénéficie pas de bibliothèques algorithmiques aussi performantes que CGAL (développéen C/C++). Cet aspect nous a obligés de redévelopper de nombreux algorithmes ou d’utiliserle JNI 3 (lors de l’exécution d’une triangulation ou d’une tétraédrisation) qui a l’inconvénient2 Flac 3D : Fast Lagrangian Analysis of Continua est un logiciel tri-dimensionnel, basé sur la méthode desdifférences finies explicites, qui permet de résoudre les problèmes de la géotechnique et des risques naturels, dugénie minier et du stockage des déchets (http ://www.itasca.fr/flac3d.html).3 Java Native Interface (JNI) est une technologie qui permet d’utiliser du code natif dans une classe Javanotamment le C ou le C++ (http ://www.jmdoudoux.fr/java/dej/chap029.htm).180

de ne pas exploiter le principal avantage du Java c’est à dire sa portabilité.Fig. 5 – Propositions d’un SIG 3D.En bleu, modules, dédiés à l’acquisition de données, sont à intégrer (directement ou par à l’aide d’un formatd’échange) ou à développer dans un SIG pour étendre ses applications. Ils nécessitent tous une modélisationgéométrique et topologique (en kaki) qui soit adaptée à leur besoin. En vert, l’analyse intra-objet facilitée par lastructure doit s’adapter au choix des utilisateurs notamment en termes de primitives à manipuler pour parcourirun modèle topologique (ex. : demi-arête, arête radiale, etc.). En orange, modélisation géométrique et topologiqueunique qui a pour objectif de se rapprocher de la réalité malgré les erreurs ou les approximations dépendantesde la modélisation ou de l’acquisition des données. Elle repose sur la notion de maille (définie à partir de lastructure), sur le formalisme des espaces proximaux et sur les règles édictées dans la partie III (ex. : deuxobjets qui s’intersectent sont considérés comme adjacents). En rouge, l’analyse inter-objets qui se résume à lapropagation d’évènements (graphe temporel) ou à la détection de relations (graphe d’adjacence).181

Propositions sur la structureAnalyse multiniveaux : une structure apériodique pour l’étude des ilotsLa notion de structure cristalline et de motif a été délaissée, à la faveur de la maille, pourl’analyse intra-objet. En effet, l’objet géographique est généralement la somme de divers composants(ex. : une maison est constituée d’une charpente en bois, d’un toit en tuiles, de murs enbriques, etc.) et il est délicat, voire impossible, de lui associer une structure cristalline internerévélant l’empilement tripériodique d’un motif.Pourtant, lorsque l’on observe une ville à partir d’une image satellite ou d’une photographieaérienne, la position des bâtiments les uns par rapport aux autres (où chaque bâtiment constitueraitun motif), celle des îlots urbains (le motif représenterait un ensemble de bâtiments) oucelle des quartiers (le motif serait associé à un îlot) montre une certaine régularité pouvant êtrereprésentée par une structure cristalline périodique ou apériodique (Figure 6).Fig. 6 – Exemple de structure périodique et apériodique.(A) Détail de la capitale du Guatemala : les différents îlots ont une forme et une orientation similaires quiconstituent, si chaque îlot correspond à un motif ou une maille, une structure périodique ; (B) La citadelle deLille, construite par Vauban, représente une forme relativement rare de structure apériodique pentagonale.L’analyse structurelle de la disposition des bâtiments dans un îlot, ou la position d’îlots dansun quartier, permet, à l’aide des opérations ponctuelles de symétrie (réflexion, rotation et in-182

version) auxquelles s’ajoutent des opérations de translation, de translation dans le plan ou detranslation combinée à une réflexion ou à une rotation, de les décrire et d’offrir une classificationet une caractérisation des îlots, ou blocs (Figure 7), des quartiers ou des arrondissements d’uneville.Fig. 7 – Exemples d’îlots.(A) Bloc libre sans organisation ou symétrie apparente ; (B) Bloc Haussmanien. Chaque bâtiment est connectéà ses voisins tout en respectant l’organisation du bloc qui se traduit, dans le cas présent, par le parallélisme etl’orthogonalité ; (C) Bloc ouvert. Les bâtiments, non-connectés et de taille inégale, conservent un alignement etdonnent au bloc une forme parallélépipédique.Cependant, l’intégration de la notion de structure cristalline à un ensemble de bâtiments estloin d’être évidente. Comme l’illustre la Figure 8, elle nécessite :– de définir, en fonction de l’échelle (îlot, quartier, etc.), un motif approprié ;– de calculer la, ou les mailles, possédant les caractéristiques du réseau. En effet, si le réseauest apériodique, il peut être reconstruit, comme pour le diagramme de Penrose (1974),par deux, ou plus, mailles différentes (Figure 9) ;– de détecter, de quantifier et de corriger, si possible, des défauts présents dans la structurecristalline. Il existe trois types de défaut (Figure 10) : les défauts ponctuels (lacunes 4 ,intersticiels 5 ), les défauts de ligne (dislocation coin, dislocation vis) et les défauts de plan(joint de grain 6 ).4 Lacune : absence d’un motif dans la structure cristalline5 Intersticiel : ajout d’un motif dans la structure entraînant, parfois, des distorsions importantes6 Joint de grain : interface entre deux régions cristallines d’orientations différentes183

Fig. 8 – Exemples de réseaux construits, à différentes échelles, à partir de détails de laville de Las Vegas.(A) Bâtiment décrit comme un motif ; (B) Utilisation du motif, défini en (A) en encadré en rouge, pour construirele réseau au niveau d’un îlot. On remarquera, de part et d’autre de l’îlot, la présence de défauts ponctuels(intersticiels) ; (C) À l’échelle d’un quartier, l’îlot devient le motif. Dans ce cas, il est nécessaire de le subdiviser,comme l’îlot entouré d’un pointillé marron, si les bâtiments le constituant ne respectent pas une unique direction.Il est intéressant de noter que la maille observée ne présente pas les mêmes caractéristiques que celles de l’îlot ;(D) À une échelle plus petite, au niveau d’un secteur ou d’un arrondissement, il est possible de définir un réseauen prenant le quartier comme motif. Cependant, le nombre d’hétérogénéités augmentant en fonction de l’étenduede la zone d’étude, ce réseau doit être épuré de ces défauts comme, par exemple, les joints de grain. Ces derniersdécrivent, dans le cas d’une ville, les interfaces entre deux secteurs, ou quartiers, d’orientations différentes ; (E)À une plus petite échelle, le réseau peut s’affranchir des défauts observés à une plus grande échelle.184

Fig. 9 – Exemple de diagramme de Penrose.Exemple de diagramme de Penrose construit à partir de deux mailles losangiques différentes.Fig. 10 – Exemples de défauts affectant une structure cristalline.Les schémas (A), (B) et (C) représentent les défauts de ligne. Le (A) est une dislocation coin qui est engendréepar une dilatation du réseau lors de l’ajout d’un plan de motifs. Le (B) illustre une dislocation vis qui caractérisele déplacement d’un plan de motifs dans le réseau entraînant sa déformation et parfois son cisaillement ; leschéma (C) représente l’effet de la dislocation coin via le déplacement latéral d’une partie d’un cristal sousl’effet d’une force de cisaillement ; le schéma (D) montre un défaut de plan qui est associé à des ensemblespolycristallins. En effet, les cristaux sont souvent constitués d’un enchevêtrement de plusieurs cristaux. Le plande motifs situé en surface d’un cristal contigu à un autre cristal détermine une ligne de contact, appelée joint degrain, le long de laquelle l’environnement électronique des motifs est différent de celui que ces motifs retrouventà la surface du cristal.185

Simplification géométriqueLe chapitre III de la partie II a présenté quelques applications où la structure joue un rôleprépondérant comme dans la simplification géométrique. Elle permet, à partir des normalesaux faces et d’une description des éléments de symétrie, de simplifier progressivement l’objetgéographique (exclusivement des bâtiments) jusqu’à atteindre deux formes régularisées (parparties convexes) : la forme régularisée et la maille.Cependant, cet algorithme doit être amélioré sous divers aspects :– l’adaptation aux faces triangulées ou possédant plus de quatre noeuds : en effet, les testsont été effectués sur des données Bati3D qui représentent le corps des bâtiments par desfaces à quatre noeuds. Cette insuffisance est à pallier pour pouvoir tester l’efficacité decet algorithme sur des données de bâtiments d’origines diverses ;– les seuils pour fusionner les normales considérées comme colinéaires ou parallèles : ilsont été choisis arbitrairement sans tenir compte de la taille du bâtiment, ce qui affecteles résultats de la simplification. Par exemple, une sous-détection de normales parallèlesou colinéaires limite la simplification à quelques protrusions, ce qui impose de réitérer lasimplification alors qu’une surdétection entraîne une exagération de la simplification et unealtération des caractéristiques géométriques du bâtiment à respecter (ex. : orthogonalité) ;– l’utilisation de la maille globale de l’objet géographique : elle doit permettre une simplificationdifférentielle. En effet, chaque face de la maille associe et ordonne, à l’aide desindices de Miller, les faces des mailles des parties convexes de l’objet géographique (cesmailles sont calculées lors de la simplification de chaque partie convexe). L’utilisationde cette maille globale permet, en fonction de la position de l’utilisateur, d’ordonner enprofondeur l’ensemble des mailles constitutives de l’objet géographique et de proposerdifférents niveaux de simplification en fonction de la distance de l’utilisateur avec chaquemaille (Figure 11).– l’adaptation de l’algorithme pour des objets autres que des bâtiments est certainementpossible mais, dans ce cas, la séparation du toit par rapport au corps du bâtiment n’aplus de sens. La réussite de cette amélioration repose en grande partie sur la phase desubdivision en convexes et sur la prise en compte de faces triangulaires.Enfin, l’algorithme actuel de simplification nécessite de nombreux tests sur différents types debâtiments pour mieux évaluer son efficacité.Classification des bâtimentsLa structure présente d’autres intérêts que la manipulation de l’objet géographique. Sa description,par ses éléments de symétrie, permet de déterminer une forme régularisée et une maillequi constituent deux niveaux de classification.Ces classifications peuvent constituer, lors de l’analyse d’un milieu urbain, un outil pour lespaysagistes ou les urbanistes pour détecter les zones pavillonnaires (ex. : un pavillon présentegénéralement un axe A2 et deux miroirs verticaux mais il peut se subdiviser et donner naissanceà un A4 vertical), pour extraire des monuments (ex. : la pyramide du Louvres possède un A4186

Fig. 11 – Exemple de simplification différentielle.(A) Bâtiment à simplifier avec sa maille globale (en rouge) avec ses indices de Miller et les mailles (en vert,en bleu et en cyan) correspondant aux parties convexes de l’objet géographique. (B) Les faces (100) de chaquemaille sont associées à la face (100) de la maille globale. Une réindexation des indices de Miller est calculée,en multipliant l’indice de la maille rouge par rapport à la position des mailles, pour traduire l’éloignement desmailles. (C), (D) et (E) Simplification progressive et différentielle en fonction de l’emplacement de l’observateuret de la position des mailles dans la maille englobante.187

et 3 miroirs verticaux) ou rechercher les immeubles d’une forme précise (ex. : le style haussmannienpeut se décrire ). Elles peuvent mettre aussi en évidence les symétries plus ou moinsrégulières des bâtiments d’une ville et proposer, à l’aide d’un expert et d’une base de données,un historique architectural. En effet, lorsque l’on compare, le Louvre, l’arc de Triomphe et l’arcde la Défense, nous remarquons que ces trois monuments, d’époques différentes, perdent progressivementdes éléments de symétrie (Figure 12).Fig. 12 – Le Louvre, l’arc de Triomphe et l’arc de la Défense, trois monuments alignés,d’époques diverses, présentant une perte progressive des symétries. Images réalisées àpartir de Google Earth188

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LISTE DES TABLEAUX2.1 Évaluation du modèle CSG en termes d’analyse. .............. 372.2 Évaluation du modèle d’énumération spatiale en termes d’analyse. .. 412.3 Évaluation du modèle B-Rep en termes d’analyse. ............. 432.4 Analyse des modèles de représentation des objets spatiaux sur basedes critères retenus, d’après Billen (2002), modifié. ............ 452.5 Évaluation récapitulative des modèles géométriques en termes d’analyse. 463.1 Classification des modèles topologiques. ................... 653.1 Opérateurs et éléments de symétrie, d’après Guymont (2003). ..... 97202

TABLE DES FIGURES1 Exemple de logiciels 3D. ............................. 142 Modélisations d’objets géographiques. .................... 163 Deux exemples d’incohérence entre un MNT et un bâtiment. ...... 174 L’approche « locale » des modèles topologiques : une limite pour l’analyse.Cas d’une cavité. .............................. 185 Limites au développement d’un SIG 3D. ................... 196 Quelques exemples d’objets géographiques (naturels et anthropiques)présentant des symétries. ............................. 207 Schéma résumant notre approche. ....................... 228 Les différentes étapes pour faciliter l’analyse d’un objet géographique(1), ses relations avec autrui (2) et pour gérer l’évolution de ses relations,et celles de ses voisins, dans le temps (3). .............. 241.1 Modification interactive d’un modèle géologique 3D par l’intermédiaired’une coupe, d’après Grosse (2002) modifié. ............. 281.2 Présentation des critères retenus pour évaluer la capacité d’analysedes modèles géométriques. ............................ 292.1 Une classification simplifiée des modèles géométriques 3D, d’aprèsPfund (2001). .................................... 322.2 Un exemple de balayage. ............................. 322.3 Synthèse des principales classifications des représentations géométriques3D. .......................................... 342.4 Représentation d’un objet à l’aide d’un arbre CSG. ............ 352.5 Primitives solides paramétriques, d’après Raper (2000). ......... 352.6 Primitive Instancing. ............................... 362.7 Construction d’un tore, d’après Ramos (2003). ............... 382.8 Représentation octree d’un objet 3D, d’après Thalmann (2003). .... 392.9 Exemple d’énumération spatiale, d’après Lepage (2003). ......... 402.10 La représentation ambigüe du wire frame, d’après Chaillon (1992). .. 422.11 Le modèle B-Rep, d’après Mäntyla (1988). .................. 42203

3.1 La Winged-Edge data structure de Baumgart (1975). ........... 483.2 Une théière et son couvercle sont respectivement homéomorphes à untore à deux trous et à une sphère, d’après Grosse (2002). ........ 493.3 Exemples de cellules plongées dans R 3 , d’après Grosse (2002). ..... 513.4 Éléments ordonnés autour d’éléments de dimension différente, d’aprèsLévy (2000). ..................................... 513.5 Graphe et hypergraphe d’adjacence de faces, d’après Billen (2002). .. 523.6 Simplexes de dimension 0, 1, 2 et 3, d’après Billen (2002). ........ 533.7 Exemple d’objets non-variétés, d’après Grosse (2002). .......... 543.8 Structure de la demi-arête, d’après Grosse (2002). ............. 553.9 Structure de quarts d’arête. ........................... 563.10 La structure de l’arête radiale, d’après Grosse (2002). .......... 573.11 Exemple d’une décomposition d’un complexe cellulaire 2D en celltupleset effet de l’opérateur de changement (Switch) sur certainsd’entre eux, d’après Mesgary (2000). ..................... 593.12 Exemple de G-Map, d’après Conreaux (2001). ............... 603.13 Exemples de quasi-variétés représentés par des G-Maps, d’après Lévy(2000). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.14 Quelques n-surfaces, d’après Daragon (2005). ................ 613.15 Exemple d’objets variétés et non-variétés. .................. 633.16 Le OO-model de de la Losa (2000). ...................... 644.1 La représentation d’un objet géographique dans le prototype Cristage. 684.2 Le modèle topologique du prototype Cristage. ............... 695.1 Exemple de caractérisation du relief, d’après Bonin et Poupeau (2005). 725.2 Exemple de problème de cohérence des données. .............. 735.3 Schéma HBDS simplifié du prototype Cristage. .............. 735.4 Schéma UML du prototype Cristage. ..................... 752.1 Intégration de la notion de structure dans un parallélogramme ..... 832.2 Exemple de motif. ................................. 832.3 Exemple de réseau et de plans réticulaires .................. 842.4 Exemples de maille. ................................ 852.5 Les sept systèmes cristallins, d’après Pomerol 2003. ............ 862.6 Cas de mailles possédant des symétries d’ordre 5, 7 et 8. ......... 862.7 Indices de Miller, d’après Rousseau (2002). ................. 872.8 Exemple de structure. ............................... 873.1 Cas de la projection stéréographique d’un bâtiment convexe. ...... 913.2 Autre exemple de projection stéréographique d’un bâtiment et représentationdes pôles projetés sur un canevas de Wülff. ........... 913.3 Exemples d’éléments de symétrie. ....................... 923.4 Exemple d’une rotation d’ordre 4. ....................... 933.5 Exemple d’une inversion. ............................. 94204

3.6 Exemple d’une roto-inversion Ā4. ........................ 943.7 Exemple de réflexion. ............................... 953.8 Exemple de roto-réflexions. ........................... 963.9 Notation utilisée dans Cristage pour classer les objets géographiquesen fonction de leur maille. ............................ 983.10 Simplification de la structure pour faciliter sa manipulation. ......1003.11 Axe décrit comme A2 pouvant être, pour certaines parties (le corpsdu bâti), un A4. L’utilisation de cet axe peut faciliter la subdivisiongéométrique de l’objet géographique et, dans le cas présent, dissocierle toit du corps du bâti. .............................1013.12 Exemple de reconstruction (en jaune) d’un objet géographique (enbleu) non-convexe à l’aide de sa structure. ..................1013.13 Les quatre étapes pour filtrer et décrire la structure. ...........1023.14 Projection stéréographique à partir de laquelle un axe A2 vertical estdéterminé. ......................................1033.15 Détermination et analyse de la structure de l’objet géographique. ...1043.16 Extraction de zones caractéristiques d’objets géographiques à l’aidede la structure. ...................................1053.17 Représentation des objets géographiques appartenant, par leurs élémentsde symétrie, au système orthorhombique. ..............1063.18 Indices de Miller et association aux faces de l’objet. ............1073.19 Classification des objets géographiques en fonction de leurs élémentsde symétrie. .....................................1073.20 Extraction du toit des bâtiments du centre-ville de Marseille. .....1084.1 Exemples d’ensembles convexe et non-convexes. ..............1104.2 L’approche de Chazelle pour découper un « notch », d’après Lien etAmato (2003), modifié. ..............................1104.3 Subdivision d’un bâtiment en convexes. ...................1124.4 3 possibilités pour refermer une forme convexe. ..............1134.5 Quelques bâtiments subdivisés en formes convexes (en noir). ......1144.6 Exemple d’un algorithme de simplification 3D : le edge collapsingd’après Heckbet et Garland, 1997. .......................1164.7 Modèles de bâtiments 3D généralisés (Kada, 2006). ............1174.8 Les différents niveaux de détail d’un bâtiment automatiquement calculésà partir d’une généralisation fondée sur la théorie scale-space(Forberg, 2004). ..................................1184.9 Simplification d’un bâtiment 3D par l’algorithme de Thiemann et Sester(2004). ......................................1184.10 Spécificités géométriques des bâtiments à respecter lors de la simplification.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.11 Détection des faces parallèles et colinéaires. .................1214.12 Fusion des faces colinéaires. ...........................1224.13 Exemple de bâtiments fusionnés. ........................122205

4.14 Différents cas d’élimination de protrusions. .................1234.15 Un exemple de simplification après avoir fusionné les « faces colinéaires» et enlevé les protrusions. .......................1234.16 Un autre exemple de simplification après avoir fusionné les « facescolinéaires » et enlevé les protrusions. .....................1244.17 Exemples de simplification de bâtiments 3D convexes ou faiblementnon-convexes. ....................................1254.18 Exemple de simplification : de la forme régularisée (A) à la maille (B). 1255.1 Exemples d’analyses réalisées à partir d’une description haut niveaudes objets géographiques. ............................1305.2 Implémentation de la notion de structure dans le modèle Cristage. ..1305.3 Classes de construction de la structure. ....................1315.4 De la structure à la maille. ............................1315.5 Schéma HBDS simplifié du prototype Cristage. ..............1325.6 Schéma UML du prototype Cristage. .....................1331.1 Différentes étapes de formation d’un fontis par instabilité du bas dutoit pour un recouvrement de 8 m (LCPC-INERIS, 2002). .......1391.2 Développement d’un fontis par ruine d’un pilier pour un recouvrementd’une vingtaine de mètres (LCPC-INERIS, 2002). .............1392.1 Relations de voisinage entre deux objets. ..................1422.2 Problèmes d’incohérence entre données de dimension et d’origine différentes........................................1422.3 Le modèle des 9-intersections d’Egenhofer et Herring (1990) : les relationspossibles entre deux objets 3D (Zlatanova et al, 2004). .....1432.4 Exemple de mise à jour d’un fontis. D’après www.prim.net, modifié. . 1452.5 Exemple d’intersection de mailles calculés à partir des bâtiments ducentre-ville de Marseille. .............................1452.6 Mise en relation logique des objets géographiques par leurs mailles :une manière de résoudre des problèmes de cohérence ...........1472.7 Extension de la notion de maille aux objets géographiques de dimensiongéométrique inférieure à 3. .........................1482.8 Exemple de mise en relation. ..........................1492.9 Mise en relation logique de mailles adjacentes, non-adjacentes et incluses.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502.10 Mise en relation de mailles non-adjacentes. .................1502.11 Exemple de maille indexée par les indices de Miller ............1512.12 Description des relations entre mailles à l’aide des indices de Miller ..1523.1 Exemple de p−graphe : un 3-graphe d’ordre 4, d’après Berge (1973). . 1573.2 Graphe, graphe partiel et sous-graphe. ....................1583.3 Clique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.4 Isthme et Point d’articulation. .........................159206

3.5 Exemple de chaînes (en vert et violet) reliant les sommets a et b. ...1603.6 Exemple de p−graphe orienté. ..........................1613.7 Exemple de racine sur un p−graphe orienté. .................1613.8 Le sous-graphe, élément constitutif du graphe d’adjacence 3D. .....1623.9 Trois exemples de graphe d’adjacence. ....................1633.10 Evolutions des relations dans un graphe d’adjacence lors de l’ajout oude la suppression d’un objet. ..........................1643.11 Exemple de scénario (A) representant l’animation de deux sédimentationssuccessives et son animation (B). D’après Léon, Skapin et Meseure(2006). ....................................1663.12 Représentation par instants-clefs d’une sédimentation suivie d’un glissementle long d’une faille. Les parties non visibles sont affichées engris et en pointillés. D’après Léon, Skapin et Meseure (2006 a). ....1673.13 Deux exemples de graphe d’adjacence à différents instants. .......1673.14 Le graphe temporel : un graphe transverse reliant les nœuds des différentsgraphes d’adjacence. ...........................1684.1 Schéma HBDS simplifié du prototype Cristage. ..............1724.2 Schéma UML du prototype Cristage. .....................1734.3 Présentation géographique du Nord-Pas-de-Calais et intégration dansCristage. .......................................1754 Les abstractions d’un objet géographique en fonction de l’échelle d’analyse...........................................1795 Propositions d’un SIG 3D. ............................1816 Exemple de structure périodique et apériodique. ..............1827 Exemples d’îlots. ..................................1838 Exemples de réseaux construits, à différentes échelles, à partir de détailsde la ville de Las Vegas. ..........................1849 Exemple de diagramme de Penrose. ......................18510 Exemples de défauts affectant une structure cristalline. .........18511 Exemple de simplification différentielle. ....................18712 Le Louvre, l’arc de Triomphe et l’arc de la Défense, trois monumentsalignés, d’époques diverses, présentant une perte progressive des symétries.Images réalisées à partir de Google Earth .............18813 Les opérations booléennes. D’après http ://fr.wikipedia.org/ ......22114 Exemple de view frustum, d’après Eberly (2007). .............222207

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ANNEXE I : CRISTAGE, UN PROTOTYPE DE SIG 3DCristage désigne également le prototype de SIG3D utilisé pour tester les concepts développésdans cette thèse. Il est conçu comme une extension 3D de la plate-forme de développementSIG open-source GeOxygene conçue et développée au laboratoire COGIT.GeOxygene est une plate-forme de développement SIG, développée par Arnaud Braun etThierry Badard, implantant in extenso les normes ISO de modélisation des objets géographiques.Elle est constituée de bibliothèques, écrites en langage Java, de manipulation desdonnées, interfacées avec des SGBD relationnels (Oracle ou PostGIS). GeOxygene permet decharger des données 2D ou 2.5D, d’effectuer des traitements complexes ou des requêtes sur cesdonnées, et de visualiser les résultats. Elle est par nature extensible par programmation enJava tant pour les applications (par exemple logiciel d’appariement développé par SébastienMustière du COGIT) que pour les modèles (par exemple modèle de la carte topologique 2Ddéveloppé par Sébastien Mustière et Olivier Bonin).Cristage est une extension 3D de GeOxygene. Il définit donc des primitives dédiées à la modélisation3D qui étendent (« héritent » en Java) le modèle de GeOxygene. Ainsi, la modélisationpar frontières de Cristage étend les nœuds, arcs et faces de la carte topologique 2D, et ajouteune primitive volumique. La modélisation par complexes simpliciaux (triangulation de MNTou tétrahédrisation de solides) repose sur des simplexes qui étendent également la carte topologique2D. L’implantation du modèle Cristage dans le prototype est la plus proche possible desmodèles UML présentés dans cette thèse.La bibliothèque de calculs géométriques dans l’espace utilise les calculs d’angles, distances etvecteurs de la bibliothèque commune de GeOxygene développée par Sébastien Mustière et OlivierBonin, et ajoute l’ensemble des opérations purement 3D nécessaires aux calculs (dontmodélisation des droites, plans et sphères par équations, intersections entre ces primitives).Les opérations de triangulation et de tétrahédrisation sont effectuées par des codes C et C++(Triangle 7 de Shewchuk (1996) et Shewchuk (2002), Tetgen 8 de Si et Gaertner (2005)) interfa-7 http ://www.cs.cmu.edu/ quake/triangle.html8 http ://tetgen.berlios.de/index.html210

cés en JNI par Olivier Bonin. L’utilisation d’un noyau de modélisation orientée CAO, tel queOpenCascade, et d’une bibliothèque de géométrie algorithmique telle que CGAL, aurait permisd’éviter l’implantation d’un grand nombre de fonctions, mais nécessitait un recours massif àJNI difficile à mettre en œuvre dans le cadre de cette thèse.Cristage comporte également des modules d’interaction spécifiques : extrusion de données 2Dou 2.5D en 3D, chargement de données du projet Bati3D au format XML, export de donnéesen XML, interface homme/machine spécifique. Plusieurs librairies sont employées, notammentSwing pour l’interface graphique et Java3D pour la visualisation des objets en trois dimensions.Première version du prototype Cristage développé en Java avec les bibliothèquesSwing, AWT et Java3D.La visualisation est effectuée à l’aide de la bibliothèque Java 3D qui est une surcouche d’OpenGL. OpenGL estune bibliothèque C, développée par Silicon Graphics, qui se sert de l’accélération matérielle de la carte graphique.Elle est utilisée massivement dans des applications de simulation, de conception CAO, ou encore dans les jeuxvidéo. Cette API contient plus de 250 fonctions qui peuvent être utilisées pour dessiner des primitives simples.Ludovic Marcé, au cours du stage de fin d’études de l’ESME sudria (http ://www.esme.fr/)en 2007, a refondu l’IHM, la visualisation 3D et les différents contrôles claviers et souris en211

intégrant un module d’animation (déplacement de la caméra suivant un parcours défini parl’utilisateur) à l’aide d’autres bibliothèques :– Qt Jambi qui est une librairie graphique développée par Trolltech. Elle est issue du portagede la bibliothèque Qt (C++) en langage Java (http ://trolltech.com/products/qt/jambi) ;– Xith 3D (http ://xith.org/) qui est un moteur 3D intégrant un graphe de scène. Inspirédu Java3D, il a l’avantage d’être plus rapide que cette librairie (en utilisant notammentune précision moindre dans les nombres relatifs : float au lieu de double);– OpenCASCADE (http ://www.opencascade.org) qui regroupe un ensemble de librairiesC++ open source pour aider au développement d’applications traitant des données géométriquesen deux ou trois dimensions.Ces librairies sont en particulier utilisées dans desapplications de conception assistée par ordinateur (CAO). Faute de temps, Ludovic n’apas eu le temps d’intégrer ces bibliothèques à Cristage.Exemples de graphe de scène avec Xith 3D.Le graphe de scène se présente comme une structure d’arbre qui contient une collection de noeuds auxquels sontrattachés des éléments de la scène graphique.212

Version du prototype Cristage refondu par Ludovic Marcé.(A) Affichage des couches d’objets. (B) Espace de visualisation 3D de la scène globale. (C) Espace de visualisation3D secondaire accueillant les objets sélectionnés. Cet espace permet de visualiser les résultats des analyses intraobjet.Le code d’analyse de la structure et de création des mailles (dit « cristallographique »), ainsique les outils d’analyse et de requêtes, sont implantés de manière modulaire. Le module de miseen relation des mailles est encore à l’état d’ébauche.Le prototype Cristage constitue donc un noyau de modélisation SIG3D, de près de 45 000lignes de code, implanté comme une extension de la plate-forme 2D GeOxygene du laboratoireCOGIT, des bibliothèques de géométrie algorithmique, une IHM complète, et une implantationdes concepts du modèle Cristage. Il est cependant, du fait de sa taille et du nombre debibliothèques natives (non Java) à mettre en œuvre, encore relativement difficile à installer, etprésente certains problèmes de performance (empreinte mémoire liée au nombre d’objets) quilimitent son utilisation à des jeux de données de taille raisonnable.213

Modules d’animation et de cristallographie.(A) Panneau présentant un canevas de Wülff (partie supérieure) et les différents éléments de symétrie susceptibled’être affichés (partie inférieure). (B) Espace permettant de visualiser les couches d’objets géographiques chargésdans Cristage. (C) Tableau des points décrivant le trajet d’une caméra. Ce module permet de parcourir, enfonction d’une vitesse définie par l’utilisateur, une caméra dans notre scène 3D. (D) Espace de visualisation 3Dde la scène globale. L’objet sélectionné est entouré de sa sphère englobante (en vert).214

ANNEXE II : EXEMPLES D’ALGORITHMES UTILISÉS DANSCRISTAGECette annexe présente quelques algorithmes développés au cours de ma thèse. Ces algorithmessont écrits en langage ADL (Algorithm Description Language). Ce langage algorithmiquea été conçu pour permettre une écriture à la fois rapide et rigoureuse des algorithmesindépendamment de tout langage de programmation.215

GLOSSAIREAIST : Application de l’Informatique aux Sciences de la Terre.ANR : Agence Nationale de la Recherche.ATER : Assistant Temporaire d’Enseignement et de Recherche.Boule : Boule : en topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d’un espace métrique.Dans un espace métrique (E, d), pour x 0 ∈ E et ρ ∈ R + , une boule ouverte de centre x 0 et derayon ρ est définie comme étant l’ensemble défini par B(x 0 ,ρ := {x ∈ E/d(x, x 0 )

eprésentation cartographique, utilisation pour des applications géographiques thématiques).Culling : le culling est utilisé pour diminuer le nombre de données à rastériser pour l’affichagesur l’écran. Le culling propose d’éliminer des parties d’un objet, ou l’objet entier, qui ne sontpas visibles du point de vue. Pour un objet représenté par un maillage triangulaire, les opérationstypiques de culling reviennent à déterminer quels triangles sont en dehors de la viewfrustum et quels triangles sont face au point de vue (d’après Eberly, 2007).DAO : Dessin Assisté par Ordinateur.DTM : Digital Terrain Modeling. Terme anglo-saxon décrivant les MNT.Face : l’enveloppe convexe d’un sous-ensemble non-vide de n+1 points qui définit un n ?simplexeest appelée face du simplexe.Filtre : partie F non-vide d’un ensemble partiellement ordonné (P, ≤) vérifiant les deux conditionssuivantes :– pour tout x, y dans F , il existe z dans F , tel que z ≤ x et z ≤ y. (c’est une base de filtre) ;– pour tout x dans F et y dans P , x ≤ y implique que y est dans F .Face : Enveloppe convexe d’un sous-ensemble non vide de n+1 points qui définit un n−simplexeest appelée face du simplexe.Flac 3D : Fast Lagrangian Analysis of Continua est un logiciel tri-dimensionnel, basé sur laméthode des différences finies explicites, qui permet de résoudre les problèmes de la géotechniqueet des risques naturels, du génie minier et du stockage des déchets.Site internet : http ://www.itasca.fr/flac3d.htmlFontis (anciennement fondis) : effondrement du toit d’une cavité ou d’une galerie souterraine,naturelle ou non. Fontis à jour : Même phénomène avec affaissement local du sol, deforme conique ou cylindrique (d’après Foucault et Raoult, 1995).Géomodeleur : logiciel de CAO dédié à la modélisation d’objets spécifiques aux géosciences(et plus particulièrement l’industrie pétrolière) ou au milieu médical.GeoTEN : modèle de Lachance (2005), inspiré du TEtrahedral Network (TEN) de Pilouk(1996) et implémenté dans GOCAD, qui a pour principal domaine d’application la géologie.HBDS : l’Hypergraph Based Data Structure est une méthode, développée par la thèse du ProfesseurBouillé (1977), de modélisation des données relative à la théorie des hypergraphes.Homéomorphe : en mathématiques, bijection faisant correspondre à deux éléments voisinsd’un ensemble deux éléments également voisins d’un autre ensemble, d’après l’EncyclopædiaUniversalis (2005).219

IHM : Interface Homme-Machine.Java Native Interface (JNI) : technologie permettant d’utiliser du code natif dans une classeJava notamment le C ou le C++.Site internet : http ://www.jmdoudoux.fr/java/dej/chap029.htmMATIS : méthodes d’Analyses pour le Traitement d’Images et la Stéréorestitution. Ce laboratoirede l’IGN mène des recherches contribuant à l’amélioration de la production (et de lamise à jour) des bases de données (image ou vecteur), actuelles et futures à partir des donnéesimages« brutes ».MNT : Modèle Numérique de Terrain.Minimum Bounding Box (MBR) : connu aussi sous le terme de Bounding Box, ou boîteenglobante, il constitue un cas particulier des volumes englobants (Bounding volumes). Le termeBounding volume est très général. Dans le monde de la 3D, il se réfère à tout objet convexe(ex. : sphère, enveloppe englobante, bounding box orientée, etc.) qui contient un autre objet.Les Bounding Volumes sont très utilisés, en infographie ou en programmation, pour le culling(c’est à dire l’élimination de portions d’un objet, ou sa totalité, qui ne sont pas visibles du pointde vue) et la détermination de collision pour le picking 3D (d’après Eberly, 2007).Modélisation unifiée : une modélisation qui tend à l’unité, c’est à dire qui sous-entend ununique modèle topologique et géométrique ou qui permet une conversion aisée de l’un à l’autre.Mur : terme de mineur désignant la surface inférieure d’une formation, ou bien les terrainssitués immédiatement sous elle (d’après Foucault et Raoult, 1995).Notch : ce terme anglo-saxon décrit, pour un polyèdre, l’arête dont les faces incidentes présententun angle interne supérieur à 180˚. Il constitue un critère pour subdiviser le polyèdre enconvexe.Obvie : (Vient du latin obvius) évident, démontré, qui se présente naturellement à l’esprit.OTIG : Observation Terrestre et Information Géographique.Oulipo : acronyme d’« Ouvroir de littérature potentielle » qui désigne une association fondée, en1960, par le poète Raymond Queneau et le mathématicien François Le Lionnais (EncyclopædiaUniversalis, 2005). Cet atelier de littérature expérimentale à laquelle Claude Berge, un desfondateurs de la théorie des graphes, a appartenu considère que les contraintes formelles sontun puissant stimulant pour l’imagination. L’Oulipo est divisé en deux courants (Wikipédia,2005) :– Un courant synthétique qui est chargé d’imaginer et d’expérimenter des contraintes littérairesnouvelles comme le résume une de leurs propres définitions : « Oulipiens : rats qui220

ont à construire le labyrinthe dont ils se proposent de sortir » ;– Un courant analytique chargé de rechercher les « plagiaires par anticipation ». Plus clairement,le but est d’étudier les œuvres du passé à la lumière des nouveaux moyens crééspar le courant synthétique.Opérateurs booléens régularisés ou RBSO (Regularized Boolean Set Operations) :« permettent de garantir que les résultats d’opérations booléennes sur des solides aboutissentdans tous les cas à un solide » (Ramos, 2003). Ces opérations regroupent l’union, la différenceet l’intersection.Fig. 13 – Les opérations booléennes. D’après http ://fr.wikipedia.org/L’union est l’assemblage des deux objets (rouge et bleu). La différence a pour résultat l’objet (rouge) soustrait desa partie commune avec le second (bleu). L’intersection conserve uniquement la partie commune entre les deuxobjets.Picking : sélection d’un objet dessiné sur l’écran en cliquant avec la souris sur un pixel de cetobjet (d’après Eberly, 2007).Rejeu : nouveau déplacement des compartiments d’une faille (d’après Foucault et Raoult,1995).Relations spatiales : les relations spatiales sont classées, selon (Egenhofer, 1989), en troisensembles :– les relations métriques qui s’appuient sur la notion de distance ;– les relations ordinales qui se fondent sur un découpage de l’espace ;– les relations topologiques qui décrivent, à l’aide de formalismes comme le modèle des9-intersections d’Egenhofer et Herring (1992), les relations de voisinage entre objets (intersection,inclusion, adjacence et non adjacence).SIG : Système d’Information Géographique.221

Spath d’Islande : variété de calcite présentant des faces cristallines nettes.TetGen : Bibliothèque algorithmique en C++ dédiée à la tétraédrisation Delaunay, contrainteou non, ou aux diagrammes de Voronoï.Site internet : http ://tetgen.berlios.de/Toit : terme de mineur désignant la surface supérieure d’une formation, ou bien les terrains lasurmontant immédiatement (d’après Foucault et Raoult, 1995).Topologie inter-objets (ou macro-topologie) : la topologie inter-objets décrit la manièredont un objet est connecté aux autres.Topologie intra-objet (ou micro-topologie) : la topologie intra-objet décrit la manièredont les primitives géométriques constitutives d’un objet sont connectées entre elles.View frustum : en 3d, seulement une partie du monde modélisé est visible via l’écran del’ordinateur. Cette région est appelée le volume de vue ou view volume. La view volume utiliséepar défaut est appelée view frustum. Cette dernière est construite en sélectionnant un point devue et en formant une pyramide infinie avec quatre plans. Chaque plan contient le point de vueet une arête du viewport. La pyramide infinie est tronquée par deux plans appelés plan proche(near plane) et plan loin (far plane).Fig. 14 – Exemple de view frustum, d’après Eberly (2007).Un point de vue E et une « view frustum ». Le point X dans la « view frustum » est projeté sur le point Y dansla « viewport ».222