DEI NUMERI PITAGORICI - La Melagrana

(numero) che ha ρχ ν κα µέσα κα πέρας cioè principio, mezzo, fine». E la stessa cosa ripete
in un altro passo della medesima opera con la sola differenza che la parola πέρας è sostituita dalla
parola τελευτήν 4 . La stessa cosa, presso a poco, ripete un altro scrittore antico, Lido, il quale scrive 5
che la triade è il primo numero, e si dice perfetto perché per primo mostra ρχ ν, µέσα, τέλος. In
questo modo il tre va considerato come il primo numero e sotto altro aspetto come ultimo se non
proprio come l'ultimo. Pitagoricamente infatti l'uno ed il due non erano dei numeri: l'uno era il principio
nel senso latino della parola, l' ρχή di ogni numero, ed il due od il paio era il principio del
numero pari 6 : e quindi il primo numero era il tre. Anche per Euclide l'unità non era un numero 7
mentre Platone ed Aristotile non sempre restarono fedeli a questa concezione pitagorica; ma essa
riaffiora nettamente tra i neo-pitagorici alessandrini e Proclo, non solo la espone, ma la giustifica,
osservando che l'uno ed il due differiscono dal tre e dagli altri numeri perché nel sommarli con se
stessi non si ottiene meno che nel moltiplicarli 8 , ed anzi il due ha un comportamento intermedio tra
quello dell'unità e quello del tre; infatti mentre 1 . 1 < 1 + 1 e 3 . 3 > 3 + 3 si ha: 2 . 2 = 2 + 2 9 . Mille
anni dopo Proclo questo concetto veniva ripreso da Pico della Mirandola, uno di quelli che Reuchlin
chiamava i pitagorici fiorentini 10 . La stessa cosa riporta un altro neo-pitagorico alessandrino, Porfirio
11 , dicendo che «esiste in natura qualcosa che ha principio, mezzo, fine, ed a indicare tale forma e
natura essi (i pitagorici) destinarono il numero tre».
Anche la perfezione del numero dieci si basa sopra ragione analoga. Teone da Smirne la riferisce
nel passo sopra citato. Ed a quella della decade è connessa la perfezione della tetractis. Ed ancor
oggi si chiamano numeri perfetti i numeri tali che sono eguali alla somma dei loro divisori escluso il
numero stesso. Se si confronta un numero con tutti i suoi divisori si presentano naturalmente tre casi:
tale somma può essere eguale, minore o maggiore del numero stesso. Quando tale somma non
basta per ottenere il numero esso si dice ellittico o deficiente; quando tale somma eccede il numero
esso si chiama iperperfetto od abbondante, e quando tale somma non è né in difetto né in eccesso,
ma è esattamente eguale al numero stesso come nel caso del sei e del ventotto, il numero si dice perfetto
12 .
4 Theonis Smyrnaei Platonici. Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium - ed. Hiller, Lipsia,
1878, pag. 45 e pag. 100. Il primo di questi passi è riportato dal Mieli: Le scuole jonica, Pythagorica ed eleata - Firenze,
1916, pag. 247.
5 Lidus - De mensibus, ed. Lipsia 1898, IV, 64.
6 La vie de Pythagore de Diogène Laërce; édition critique avec introduction et commentaires par Armand Delatte -
[Lamertin], Bruxelles, 1922. Diogene Laerzio riporta la dottrina pitagorica dei numeri che Alessandro Polistore ha attinto
ad antiche fonti pitagoriche: secondo questa dottrina la diade origina dalla monade che si dischiude, e viene ad essere
una seconda ρχή. Cfr. pag. 124 e 198 dell'opera del Delatte.
7 Confronta per Euclide gli Exercices d'Aritmetique di J. Fitz-Patrick e G. Chevrel, 1906, pag. 6.
8 Confronta Proclo in Euclidem. Vedi il commento alla 20 a proposizione del Lib. I di Euclide.
9 Si può anche osservare col Welsch (L'intermédiaire des Mathématiciens 19, 1912, 69; Dickson L.E. - History of
the Theory of Number - Washington, 1920, II, 597) che i numeri 1, 2, 3 sono i soli tre interi positivi per i quali la somma
sia eguale al loro prodotto. Si può inoltre osservare che questo numero sei, che è somma e prodotto dei primi tre numeri,
è il solo numero della decina che sia "perfetto" nel senso aritmetico antico e moderno della parola. A sua volta la terza
potenza di questo numero è uguale alla somma delle terze potenze di tre numeri consecutivi, poiché come osservò il
Bungo (Cfr. Dickson - Hist. II, 550) si ha: 6 3 = 3 3 + 4 3 + 5 3 , dove 3, 4, 5 sono i lati del triangolo rettangolo "egizio", l'unico
che abbia i lati espressi da tre numeri interi consecutivi.
10 Pico della Mirandola in una delle sue tesi sulla matematica pitagorica scrive: Unum, alteritas et id quod est, sunt
causa numerorum. Unum unitorum, alteritas generativorum, id quod est substantialium. Cfr. Eugenio Anagnine - Pico
della Mirandola - Bari, 1937; pag. 150 [Giovanni Pico della Mirandola, Conclusiones nongentae: è la prima delle 14
Conclusiones secundum Mathematicam Pythagorae – N.d.C.].
11 Porfirio - Vita di Pitagora, 51. Il testo dice: ρχ ν κα µέσον κα τελευτήν. Il greco ρχή ha il duplice senso
dell'italiano principio: così pure πέρας e τέλος hanno il duplice senso dell'italiano fine, cioè indicano tanto la fine che il
fine, ossia il termine e lo scopo. Inoltre tanto l'italiano che il greco hanno la possibilità di distinguere tra le espressioni:
principio, il principio ed un principio ed analogamente per la parola fine, mentre il latino non disponendo di articoli esprime
i tre sensi con la stessa locuzione. Occorre perciò tradurre senza articoli, determinativi o no: principio, mezzo,
fine: e così resta nella versione anche il senso teleologico.
12 Il Delatte scrive (cfr. Armand Delatte - Études sur la littérature pythagoricienne - Paris, Champion, 1915, pag.
235): «si riconosce al numero sei una perfezione speciale che rende l'epiteto τέλειος completo. Questo numero infatti,
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