Alle origini della geometria analitica - Corso di Studi in Matematica

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“Sulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e al-muqabala”. Con al-Khayyam l'algebra diventa la teoria generale delle equazioni algebriche di grado minore o uguale a tre e con coefficienti interi positivi I caratteri salienti dell’opera di al-Khayyam si possono così riassumere Osserva il principio di omogeneità dimensionale tra le grandezze Per le equazioni di terzo grado non riconducibili ad equazioni di secondo, riconoscendo il suo fallimento nella ricerca delle radici per via algebrica, ricava le soluzioni per via geometrica mediante intersezione di coniche Considera solo le soluzioni positive (non le radici negative) delle quali discute le condizioni di esistenza Nonostante l’analisi sia profonda e dettagliata gli sfugge il caso della terza soluzione positiva dell’equazione x 3 + bx = ax 2 + c Classifica le equazioni secondo il loro grado e il numero di monomi che le compongono, in particolare suddivide le equazioni di terzo grado in binomie, trinomie e quadrinomie, come segue (a, b, c costanti e positive): - equazione binomia x 3 = c - equazioni trinomie senza termine di secondo grado I. - trinomie senza termine di primo grado II. x 3 + bx = c x 3 + c = bx bx + c = x 3 x 3 + ax 2 = c x 3 + c = ax 2 ax 2 + c = x 3 - quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo x 3 + ax 2 + bx = c x 3 + ax 2 + c = bx I. x 3 + bx + c = ax 2 ax 2 + bx + c = x 3 - quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi x 3 + ax 2 = bx + c II. x 3 + bx = ax 2 + c x 3 + c = ax 2 + bx 14
L’equazione trinomia del I tipo x 3 + bx = c , (“un cubo più lati sono uguali a un numero”) viene scritta come x 3 + p 2 x = p 2 q con b = p 2 e c = p 2 q per il principio di omogeneità dimensionale. La risoluzione si ottiene per intersezione della circonferenza x 2 + y 2 = q x e della parabola y = x 2 /p. L’ascissa QS del punto P di intersezione delle curve rappresentate in figura è la radice cercata. Al-Khayyam non scrive equazioni, ma usa le proporzioni C(q/2,0) Al-Khayyam dà una dimostrazione di tipo sintetico utilizzando la teoria delle proporzioni. Applica la proprietà della parabola data da Apollonio: x p = (1) PS x Considera ora il triangolo rettangolo QPR, la sua altezza PS è media proporzionale fra QS e RS: x PS = PS q − x Uguagliando le espressioni precedenti ricava: p PS = (2) x q − x D’altra parte dalla (1) PS = x 2 /p che sostituito nella (2) fornisce l’equazione x 3 + p 2 x = p 2 q 15
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