Alle origini della geometria analitica - Corso di Studi in Matematica

Il banco di prova per il nuovo metodo
Il problema di Pappo
Il problema di Pappo, enunciato nella sua forma più semplice, si presenta così:
Date 2n rette, trovare il luogo dei punti tali che il prodotto delle distanze dalle
prime n rette sia uguale al prodotto delle distanze dalle rimanenti.
Pappo lo aveva risolto in casi particolari.
Ora D. può dare la soluzione generale: identificando la curva con la sua
equazione.
NOI:
Siano (x,y) le coordinate di un punto generico C e sia d(C, ri ) = | ai x + bi y + ci | la
distanza di C dalla retta i-esima, dove ai , bi , ci sono i parametri della retta ri
normalizzati in modo che ai 2 + bi 2 = 1.
Il luogo cercato ha equazione
n
2n
∏ ( aix + biy + ci ) = ∏
i= 1
i=
n+
1
( aix + biy + ci)
Descartes è quindi consapevole che una soluzione generale è possibile solo usando
il formalismo dell’algebra:
“ Mi pare di aver così interamente soddisfatto alle ricerche che, secondo Pappo, gli
antichi avevano impostato in questo campo e proverò a darne la dimostrazione in
pochi tratti, giacché sono già annoiato di averne scritto tanto”
“Siano AB, AD, EF, GH, ecc. parecchie linee date per posizione, e
occorra trovare un punto, come C, dal quale, condotte su quelle date
altre linee rette, come CB, CD, CF, CH, in modo che gli angoli CBA,
CDA, CFE, CHG siano dati e tali che il prodotto di una parte di queste
linee sia uguale al prodotto delle rimanenti o che l’uno stia all’altro in
un rapporto dato: ciò infatti non rende il problema per nulla più
difficile.
Innanzitutto suppongo il problema come già risolto, e per liberarmi dalla
confusione di tutte queste linee, considero una delle rette date e una di
quelle che bisogna trovare, per esempio AB e CB come le principali, e a
queste cerco così di riferire le altre.” (p. 553).
F
E
D
T
A
S
R
B
C
G
H
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