Alle origini della geometria analitica - Corso di Studi in Matematica

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♦Lo zero era accettato come numero. ♦ Gli irrazionali erano usati liberamente, ma sul loro status di numeri c'erano delle divergenze: M. STIFEL nell’Aritmetica integra (1544) sostiene che "poiché nel provare le figure geometriche, quando i numeri razionali ci vengono a mancare, i numeri irrazionali prendono il loro posto e dimostrano esattamente quelle cose che i numeri razionali non potevano dimostrare ... siamo mossi e spinti ad asserire che essi sono veramente numeri, spinti cioè dai risultati che percepiamo essere reali, certi e costanti. Dall'altro lato, altre considerazioni ci spingono a negare che i numeri irrazionali siano numeri. Vale a dire, quando cerchiamo di assoggettarli a enumerazione [rappresentazione decimale]...troviamo che essi volano perpetuamente via, cosicché nessuno di essi può essere appreso con precisione in sé ... Ora, ciò che è di natura tale da mancare di precisione non può essere chiamato un vero numero ... Perciò, proprio come un numero infinito non è un numero, così un numero irrazionale non è un vero numero, ma giace nascosto in una specie di nuvola di infinito” Per STIFEL i veri numeri sono gli interi e i frazionari. S. STEVIN riconosce agli irrazionali il loro stato di numeri e li approssima con razionali. Ancora nel `600 B. PASCAL e I. BARROW li consideravano simboli che non hanno esistenza indipendente dalle grandezze geometriche. R. DESCARTES (1628) invece li ammette come numeri astratti che possono rappresentare grandezze geometriche e J. WALLIS nella sua Algebra (1685) li accetta come numeri. ♦I numeri negativi benché fossero usati dagli Indiani fin dal XII secolo e fossero resi noti dagli arabi, non erano accettati come numeri dalla maggior parte dei matematici del `500, o se lo erano, non erano accettati come radici di equazioni. G. CARDANO (Ars magna, 1545) li considera come meri simboli e li chiama "fittizi", F. VIÈTE li scartava e R. DESCARTES li accettava solo parzialmente nel senso che un'equazione con radici "false" (negative) poteva essere trasformata in una con radici "reali" (positive). STEVIN accettava sia i numeri negativi che le radici negative. A. GIRARD (Invention nouvelle en l'algèbre, 1629) li mette sullo stesso piano dei positivi e dà entrambe le radici di un'equazione di secondo grado anche quando sono negative. R. BOMBELLI li definisce in modo chiaro. 34
♦ Per quanto riguarda i numeri complessi, BOMBELLI li introduce nella sua Algebra (1572) e ne dà le regole di calcolo. DESCARTES invece respinge le radici complesse e le chiama "immaginarie” GIRARD (Invention nouvelle en l'algèbre, 1629) li riconosce come soluzioni formali delle equazioni: "Si potrebbe dire: quale utilità hanno queste soluzioni impossibili [le radici complesse]? Io rispondo: servono a tre cose, alla certezza delle regole generali, alla loro utilità e perché non ci sono altre soluzioni" I. NEWTON non le considerava forse perché non avevano all'epoca nessun significato fisico (Arithmetica universalis, 1728, p.193) e G. W. LEIBNIZ sebbene lavorasse con i numeri complessi non ne comprendeva appieno la natura: “Lo spirito divino trovò una via d'uscita sublime in quel mostro dell’ analisi quel portento del mondo ideale, quell'anfibio fra essere e nonessere che chiamiamo radice immaginaria dell'unità negativa" (LMS, V, pp. 350-361) Bibliografia essenziale Boyer C., History of analytic geometry, The Scripta Mathematica Studies, New York, 1956 Freguglia P., La geometria tra tradizione e innovazione 1550-1650, Bollati Boringhieri, Torino, 1999, Cap. 4 Kline M., Storia del pensiero matematico, (1972), Torino, Einaudi, I vol., 1991, pp. 106-118, 227-228, 246-248, 353-354, 359-369, 636-647 Lojacono E., Cartesio, I Grandi della Scienza, Le Scienze, 2000 Katz V. (ed.), Historical Modules for the Teaching and Learning Mathematics, The Mathematical Association of America, 2005 I testi Heath T., Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections, Cambridge University Press, 1896. Ver Eecke P., Les Coniques d’Apollonius de Perge, De Brouwer, Bruges, 1923 Al Khayyam O., L’oeuvre algébrique, etablie, traduite et analysée par R. Rashed et A. Djebbar, Paris 1979 Adam CH., Tannery P., Oeuvres de Descartes, 12 voll., Paris, 1897-1913 Descartes R., Opere scientifiche, Classici della scienza, Utet, Torino, 1983 Tannery P., Henry Ch., Oeuvres de Fermat, 4 voll, Paris, 1891-1912 Euler L., Introductio in analysin infinitorum , II vol. Lausannae, 1748 35
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