Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

tale operatore e autoaggiunto. Per un operatore autoaggiunto vale
h jAj i = h jAj i 8 2D(A) (6.40)
il suo valor medio in uno stato qualsiasi, e percio ogni suo autovalore, e reale. Per
postulato, gli operatori che corrispondono alle variabili dinamiche sono autoaggiunti.
Il valor d'aspettazione di una classe di operatore Hermitiano del tipo, A = B y B,e
semipositivo de nito:
h jB y Bj i 0: (6.41)
Lo spettro di un operatore autoaggiunto A e l'insieme di suoi autovalori propri
(autovalori discreti) e autovalori impropri (autovalori continui): I primi corrispondono
ai valori tale che
(A ; m)j mi =0 k mk =1 m =0 1 2::: (6.42)
per lo spettro continuo la condizione e sostituita dalla seguente criterio detto criterio
di Weyl: il valore fa parte dello spettro di un operatore A se e solo se esiste una
successione n, taleche
lim
n!1 kA n ; nk =0 k nk =1 (6.43)
Per esempio, nel caso di operatore dell'impulso di una particella libera, l'esistenza
della successione
n =
1
1=4 n 1=2 eipx=h e ;x2 =2n 2
n =1 2::: (6.44)
dimostra che tutti i valori reali fanno parte dello spettro dell'operatore p = ;ih(d=dx).
Analogamente, per l'operatore della posizione, si ha
per la successione
lim
n!1 k(x ; x0) nk =0 (6.45)
n =( 2n ) 1=4 2
;n(x;x0)
e : (6.46)
Esercizio: Si dimostri che la (6.43) e infatti soddisfatta dall'operatore p = ;ih(d=dx)
con la successione (6.44) e con = p. Siveri chi la (6.45).
In ne, il teorema spettorale asserisce che per ogni operatore autoaggiunto O esiste
un insieme di autovettori (propri e impropri) f n g tale che
1 =
Z d j ih j + X
n
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jnihnj