Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

La minimizzazione rispetto a Z,
@
@Z h ZjH Zi = me4 27
2 (2Z ; )=0 (13.27)
h 8
determina il valore di Z:
Z = 27
16
(13.28)
e allo stesso tempo il valore di h ZjH Zi al suo minimo,
E0 'h ZjH Zijmin = ;( 27 me4
)2
16 h
2 ';2:848 me4
Questo valore e da paragonare con il valore esperimentale,
il nostro risutato e corretto entro un errore di circa 2%.
: (13.29)
2
h
;2:904 me4
h 2 : (13.30)
Osserviamo che abbiamo trovato un'approssimazione maggiore del valore esatto,
in accordo con il principio variazionale. Il valore per Z, Z = 27
< 2e perfettamente
16
consistente con l'idea sica di Z come una carica e cace.
Esercizio
Si vuole determinare l'energia dello stato fondamentale dell'atomo di idrogeno col
metodo variazionale, con la funzione d'onda di prova,
dove N e la costante di normalizzazione.
Si determini N.
= N exp ; r
Si calcoli il valor medio dell'Hamiltoniana,
nello stato .
H = p2 e2
;
2m r
Si determini l'energia dello stato fondamentale, minimizzando h jHj i ot-
tenuto sopra e si paragoni il risultato con quello esatto.
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