Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

La (6.66) segue da [xipj] =ih ij: infatti,
[xiH(t)pjH(t)] = [e iHt=h xie ;iHt=h e iHt=h pje ;iHt=h ]=e iHt=h [xipj]e ;iHt=h = ih ij:
(6.67)
Si noti che il commutatore usuale nello schema di Schrodinger puo essere visto un caso
particolare (per t = 0) di (6.67). Il fatto che il commutatore fondamentale prende la
stessa forma a qualsiasi istante del tempo, e essenziale per la consistenza dell'intera
costruzione della Meccanica Quantistica: un istante particolare (per es. t = 0) non
puo avere nessun signi cato speciale, vista l'uniformita del tempo.
Vice versa, i commutatori a tempi non uguagli,
[xiH(t)pjH(t 0 )] [xiH(t)xjH(t 0 )] [piH(t)pjH(t 0 )] (6.68)
dipendono dalla dinamica del sistema non sono in generale quelli che si aspettano da
quelli nello schema di Schrodinger.
Esercizio: Si calcoli il commutatore a tempi non uguagli [xH(t)xH(0)] per una
particella libera in una dimensione. (Risposta: [xH(t)xH(0)] = ;iht=m: )
6.6. Stati misti e matrice densita
La descrizione in termini di funzione d'onda e una descrizione completa del sistema in
Meccanica Quantistica. Ci sono delle situazioni, tuttavia, nelle quali tale descrizione o
non e possibile o non erichiesta. Tale situazione sorge, per esempio, nella descrizione
di un sottosistema di un sistema piu grande: avendo solo una parte delle variabili
dinamiche non e possibile descrivere il sottosistema con una funzione d'onda. Un'altro
importante esempio dei casi in cui dovremmo abbandonare la descrizione in termini
di funzioni d'onda, riguarda i sistemi di molti gradi di liberta (sistemi macroscopici,
solidi, gas, ecc.). In questi casi eovviamente impossibile avere la completa conoscenza
della funzione d'onda di (tipicamente) 10 23 molecole: si dovra lavorare con quantita
mediate in vari modi.
Consideriamo prima un sistema chiuso e un suo sottosistema, S. Siano x le
variabili in S q il resto delle variabili in =S. In generale, anche se il sistema totale
e descritto da una funzione d'onda (q x),
(q x) 6= S(x) =S(q) : (6.69)
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