Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

i.e., f ng forma un sistema completo e ortonormale.
L'uso di quest'ultimo ci permette di calcolare i coe cienti di sviluppo (4.31). Data
la funzione d'onda e dato l'insieme f ng, l'ennesimo coe
Z
an = dq n(q) (q):
ciente e
(4.35)
Avendo le probabilita Pn, sipuoottenere il valor medio di un operatore in uno
stato qualsiasi:
f hfi = X
Pnfn = X
janj 2 fn: (4.36)
n
Equivalentemente, con l'aiuto di (4.34), si puo scrivere
Z
hfi = dq (q) f ^ (q) h jfj ^ i (4.37)
dove abbiamo introdotto la notazione di Dirac. Per il momento l'ultimo membro di
questa equazione puo essere considerato semplicemente come una notazione compatta.
Se la misura sperimentale di f viene ripetuta molte volte nello stato , il risultato
medio deve coincidere con l'espressione di cui sopra.
Abbiamo associato ad ogni variabile dinamica un operatore lineare. Un operatore
lineare qualsiasi, tuttavia, non puo rappresentare una variabile dinamica. Un
operatore, per poter rappresentare una quantita sica f, deveessere tale che i suoi
autovalori fn (i.e., possibili risultati sperimentali) e di conseguenza il suo valor medio
f, siano tutti reali, in qualsiasi stato. Ne segue che deve valere la relazione
Z Z Z Z
dq f =( dq f ) = dq (f ) = dq( f ) : (4.38)
(Per evitare un inutile a ollamento tipogra co, indicheremo d'ora in poi l'operatore ^ f
semplicemente come f. Il simbolo rappresenta il coniugato complesso di un numero
complesso, di una funzione d'onda, o di un operatore. )
De niamo ora l'operatore trasposto f T con
Z Z
T
dq (f )= dq (f ) (4.39)
per ogni , e inoltre il coniugato Hermitiano di un operatore con
f y
n
(f T ) =(f ) T : (4.40)
Allora l'ultimo membro di (4.38) puo essere riscritto come
Z
y
= dq f (4.41)
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