Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

In altre parole, il sistema (14.47) e equivalente ad un insieme di N oscillatori armonici
indipendenti! In termini di coordinate generalizzate fqig = fakbkAN=2g, e
gli impulsi canonici corrispondenti, fpig, l'Hamiltoniana del sistema e semplicemente,
H = X
[ p2i
2m
i
+ m!2
i
2 q2
i ]: (14.59)
La quantitizzazione del sistema procede esattamente come nel caso di un singolo
oscillatore armonico: la descrizione degli autostati di energia e particolarmente
semplice nel formalismo di seconda quantizzazione (con operatori di creazione e di
distruzione, per ciascun modo), seguendo l'esempio di Sec. 14.6. Un generico stato di
stato di eccitazione e dato dal ket
con energia,
j :::ni:::i = Y
E = X
i
i
(a y i) ni
p j0 0:::i (14.60)
ni!
!ih(ni + 1
): (14.61)
2
A di erenza col caso del singolo oscillatore, qui ci sono N tipi di fononi di energia
!ih i =1 2:::N. Si osservi che, corrispondente al passo reticolare (a) del sistema
originale, c'e un limite superiore della frequenza (limite inferiore della lunghezza
d'onda, a). Nel limite continuo, (N !1 a! 0 Na= L con L sso), il sistema si
riduce al caso di una corda nita (con la condizione periodica, cfr Appendice 2): in
tal caso non c'e nessun limite inferiore alla lunghezza d'onda.
Un'analogo trattamento e possibile per i cristalli tri-dimensionali. I fononi sono
quanti di eccitazioni collettive (con energia !ih ciascuno). La radiazione elettromag-
netica libera (senza particelle cariche) e descritta in modo analogo, come un insieme
di oscillatori armonici (Appendice 2 e Capitolo 3.), il fonone echiamato fotone in
questo caso.
Il fatto che molti sistemi di molti o in niti gradi di liberta sono descritti nella prima
approssimazione come un insieme di oscillatori indipendenti, e basale nel permetterci
di analizzare questi sistemi complessi con la teoria delle perturbazioni, nell'ambito
del formalismo di seconda quantizzazione (teoria dei campi quantistici).
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