Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

La relazione d'indeterminazione si ottiene dalla descrizione di una particella come
un pacchetto d'onda. Come prototipo consideriamo un pacchetto d'onda di forma
Gaussiana in una dimensione, che a t =0edatoda:
u(x 0) = cost:e ;x2 =d 2
: (4.4)
Notiamo che questo pacchetto e concentrato attorno a x = 0 ma ha una dispersione,
q
x = h(x ;hxi) 2i d (4.5)
che puo essere interpretato come una sorta di indeterminazione della sua posizione.
N.B. In Meccanica Quantistica la corretta interpretazione di indeterminazione della
posizione coinvolge ju(x)j 2 , non l'onda (\funzione d'onda") stessa. La presente discussione
serve soltanto per giusti care, in modo qualitativo, la relazione di indeterminazione.
Vedi Sec 4.7..
D'altra parte u(x) =u(x 0) puo essere visto come una sovrapposizione di onde
piane: la sua trasformata di Fourier e
u(x) =
=
Z 1
d a( )e 2 ix= ;2 ix=
+ a ( )e
0
Z 1
ix=
d a( )e2
;1
dove e la lunghezza d'onda and a(; ) a ( ):
Secondo de Broglie vale la relazione
p = h
(4.6)
(4.7)
percio la precedente equazione puo essere riletta come sovrapposizione di diverse
componenti di impulso nella data onda:
u(x) =
Z 1
;1
dp ~u(p)e ipx=h
(4.8)
dovee stato introdotto h h=2 . La componente di Fourier ~u(p) si calcola facilmente
nel caso di un'onda Gaussiana, u(x) =e ;x2 =d2 :
~u(p) =
=
Z 1
;1
Z 1
;1
dx
2 h e;ipx=h e ;x2 =d 2
dx
2 h e;(x+ipd2 =2h) 2 =d 2
e ;d2 p 2 =4h 2
= cost.e ;d2 p 2 =4h 2
: (4.9)
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