Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

Consideriamo l'atomo di idrogeno, che e uno stato legato formato da un elettone
e un protone. Il moto dell'elettrone intorno al nucleo e descritto, nella meccanica di
Newton, dall'equazione,
me r = ; e2
r 2 + mr _2 : (1.1)
Come e ben noto l'eq.(1.1) permette una soluzione stabile, r = costante. Nel mondo
attuale, tuttavia, esistono altri e etti dovuti alle interazioni elettromagnetiche (la
forza statica Coulombiana tenuta in conto nella (1.1) ne e una delle manifestazioni
fra tante). Infatti, secondo la teoria classica di Maxwell, una particella carica che si
muove con accelerazione emette luce e perde l'energia. Per l'elettrone che si muove
con accelerazione _v l'energia persa per un intervallo unitario di tempo e:
S = 2
3
e 2
( _v)2
c3 (erg=sec) (1.2)
(vedi Landau-Lifshitz Vol. 2). Supponiamo che la perdita di energia sia piccola di
modo che l'orbita possa essere considerata approssimativamente circolare, e calcoliamo
in quanto tempo un atomo di raggio r ' 10 ;8 cm collassa ad un punto.
Poniamo dunque
Da l'eq(1.1) si ha
o
Sostituendo questo in (1.2), si trova
r(t =0)=10 ;8 cm: (1.3)
e 2
r 2 ' mr _2 = mj _vj (1.4)
S = ; dE
dt
Ma per un moto circolare vale la relazione:
percio
Integrando e ponendo r(t) =0siha
j _vj = e2
: (1.5)
2 mr
E = 1
2 mv2 ; e2
r
r 2 _r = ; 4e4
2e6
=
3m2c3 : (1.6)
r4 r(0) 3 ; 4e4
m2 t =0
c3 7
e2
= ; (1.7)
2r
3m2 : (1.8)
c3