Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

appresentante una luce monocromatica con polarizzazione ssa. Applicando ih @
@t su
0 si ha
ih @
@t 0 =h! 0 = h 0 (! =2 ): (4.61)
Ma sappiamo che per una luce monocromatica h e la sua energia, h = E ,
ih @
@t 0 = E 0 : (4.62)
i.e., l'autovalore diH e l'energia. D'altra parte, la relazione di de Broglie rivela che
di conseguenza
= 2 = p
(4.63)
h
;ih @
@x 0 = p 0: (4.64)
Questa relazione suggerisce che ;ih @
@x e l'operatore che rappresenta l'impulso. Inoltre,
tra l'autovalore di energia E = h e quello dell'impulso p = h= esiste una nota
relazione E = pc: Quest'ultimo non e altro che la relazine cinematica (relativistica)
tra l'energia e l'impulso di una particella libera e senza massa (fotone!).
Queste osservazioni suggeriscono che i) l'operatore H che appare nel secondo membro
di (4.59) e l'operatore che rappresenta l'energia, i.e., l'Hamiltoniana (quantistica).
Nel costruire l'Hamiltoniana al,posto dell'impulso si dovra usare l'operatore
p = ;ih @ , o in tre dimensioni,
@x
dove
Arriviamo cos all'equazione di Schrodinger
p = ;ihr: (4.65)
ih @
@t (q t)= ^ H(^q ^p) (q t) (4.66)
^H(^q ^p) =Hcl(q p)j @
^q=q ^p=;ih (4.67)
@q
equazione fondamentale della Meccanica Quantistica essa sostituisce l'equazione di
Newton nella meccanica classica.
L'argomentazione euristica presentata sopra per arrivare all'eq.(4.66) non eche
uno dei modi per vedere la sua ragionevolezza, e in nessun modo la giusti ca ne
dimostra la sua unicita. L'aspetto non \usuale" che essa sembra avere rispetto
all'equazione di Newton, tuttavia, ri ette semplicemente il fatto che la nostra intuizione
e maggiormente basata sull'esperienza macroscopica (la sensazione che il
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