Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

Questo signi ca che la funzione d'onda forma una rappresentazione del gruppo di
rotazione, SO(3). Ora dal punto di vista della teoria dei gruppi e importante sapere
quali sono le rappresentazioni irriducibili, cioe oggetti che si trasformano tra di loro.
Come echiaro intuitivamente, poiche una rotazione tridimensionale non puo cam-
biare la grandezza del momento angolare, le rappresentazioni irriducibili corrispondono
esattamente ai multipletti di stati di momento angolare de nito (autostati del
momento angolare quadrato). Nel caso di una particella senza spin, allora, essi sono
le armoniche sferiche Y`m( ) m= ` ` ; 1:::; `: Una funzione d'onda generica
puo essere sviluppata in termini di tali armoniche,
(r) = X
R`m(r)Y`m( ): (7.151)
`m
Allora il cambiamento della forma funzionale della funzione d'onda (7.150) signi ca
! 0 = e i! ^ L
= X
R`m(r)e i! ^ L
Y`m( ): (7.152)
Ma poiche gli operatori L non possono cambiare il valore di ` si avra
dove la matrice
`m
e i! ^ L Y`m( )=
echiamata matrice dirotazione.
`X
D
m =;`
` mm(!)Y`m (7.153)
D ` mm(!) h` m 0 je i! ^ L j` mi (7.154)
La funzione d'onda di particella con spin s ha 2s+1 componenti essa si trasforma
secondo la legge
(r) =
! e i! (^ L+^s) (7.155)
0
B
@
1(r)
2(r)
.
2s+1(r)
1
C
A
: (7.156)
L'operatore L agisce sulla dipendenza da r di ciascun componente, mentre lo spin s
agisce sullo spazio di spinore,
0 = X i! ^s
e
135
: (7.157)