Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

seguono dalle equazioni (2.12), sono chiamate trasformazioni canoniche.
Per studiare quali trasformazioni hanno questa proprieta, e qual'e la relazione tra
l'Hamiltoniana originale e quella nuova, possiamo ripartire dal metodo variazionale.
L'azione puo essere riscritta come
Z Z X
S = Ldt = ( pi _qi ; H)dt (2.20)
e l'equazione del moto segue dal principio di minima azione
0= S =
=
Z [ X
i
( pi _qi + pi
Z [ X (_qi ; @H
@pi
d
dt qi) ; X
( @H
@qi
) pi + X (; _pi ; @H
i
qi + @H
@pi
pi)]dt
) qi]dt: (2.21)
@qi
Ricordando che, nel formalismo canonico, qi e pi sono indipendenti le equazioni
canoniche seguono da quest'ultimo.
Una trasformazione canonica deve essere allora tale che
S =
=
Z dt( X pi _qi ; H)
Z dt( X Pi _ Qi ; ~ H + dF
) (2.22)
dt
dove F e una funzione delle coordinate, degli impulsi e di t. Supponiamo che F sia
del tipo,
Poiche
dF1
dt
F = F1(q Q t): (2.23)
X
= ( @F1
@qi
i
_qi + @F1
@Qi
_Qi)+ @F1
(2.24)
@t
le relazioni tra le variabili nuove e quelle vecchie si trovano uguagliando i due membri
di (2.22):
pi = @F1(q Qt) (2.25)
@qi
Pi = ; @F1(q Qt) (2.26)
@Qi
~H(Q P ) = H(q p)+ @F1(q Qt) : (2.27)
@t
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