Lezioni di Meccanica Quantistica (Lecture notes, Univ. Pisa)

Per due sistemi A e B non-interagenti tra di loro e scorrelati la funzione d'onda
si fattorizza:
AB = A B: (4.27)
Si noti che in presenza di particelle identiche, la funzione d'onda di molti corpi
deve avere una certa proprieta di simmetria per scambi di queste particelle, e
questo introduce una correlazione anche tra particelle non-interagenti. Questo
aspetto peculiare della Meccanica Quantistica, di fondamentale importanza
nella sica dei molti corpi, sara discusso nel Capitolo 14.
4.3. Operatori, autovalori e autostati, operatori Hermitiani,
risultati di un'osservazione
Abbiamo visto sopra che in Meccanica Quantistica lo stato di un dato sistema e
descritto da una funzione complessa - funzione d'onda, (fqgt), anziche dai val-
ori delle variabili canoniche fq(t)p(t)g come in meccanica classica. Il principio di
sovrapposizione signi ca che l'insieme degli stati ammissibili forma uno spazio lineare
di funzioni d'onda, H. Le precise proprieta richieste a tale spazio saranno discusse
nel Capitolo 6.
Una descrizione cos diversa dello stato in Meccanica Quantistica richiede di conseguenza
una riformulazione della descrizione delle variabili dinamiche. Ricordiamo
che in Meccanica Classica una variabile dinamica e semplicemente descritta come
funzione f(fqg fpg) delle variabili canoniche. Ad ogni variabile dinamica f, infatti,
si associa un operatore lineare ^ f,che agisce nello spazio H delle funzioni d'onda. Un
operatore lineare ^ f soddisfa per de nizione,
dove c1 c2 sono costanti complesse arbitrarie.
^f(c1 1 + c2 2) =c1 ^ f 1 + c2 ^ f 2 (4.28)
(Esempi: per una particella in tre dimensioni la funzione d'onda ha la forma
(rt) gli operatori di erenziali @
@t ,
@
@x ,
@
@z ,.. r2 = @2
@x 2 + @2
@y 2 + @2
@z 2 , sono tutti
operatori lineari l'operatore ! U(r) e lineare mentre ^ Q = 2 e non lineare.)
Lo stato in cui una variabile dinamica ^ f assume con certezza il valore fn e de nito
dalla condizione,
^f n = fn n: (4.29)
43