Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

la rete sará quindi strettamente correlata alla
conoscenza della proprietá di questa funzione.
Diventa allora indispensabile procedere ad un
studio approfondito della funzione Φ(•). Tale
approfondimento sulla funzione in esame ha
portato ad individuare una serie di proprietá
che vengono di seguito elencate.
PROPRIETÁ DI Φ(•):
1) Φ (M + M) = Φ (M)
dove M é una matrice di dimendioni
arbitrarie
=⇒ Φ(•) é NON LINEARE.
2) Φ (Φ (M)) = Φ (M).
3) Φ = Φ
1 0
0 1
0 1
1 0
=⇒ Φ(•) NON INIETTIVA
=⇒ Φ(•) NON INVERTIBILE.
4) Φ ((I − Φ (M)) ∗ A) = (I − Φ (M)) ∗ Φ (A).
dove I é la matrice identitá e M ed A
sono matrici di dimensioni arbitrarie
5) Φ (A) ∗ Φ (A) = Φ (A).
6) Φ (A) ∗ Φ (B) = Φ (B) ∗ Φ (A)
dove B ha dimensioni arbitrarie.
7) Φ (A + B) = Φ (Φ (A) + Φ (B))
dove B ha le stesse dimensioni di A.
8) Φ (A) ∗ Φ (M) = Φ (Φ (M) ∗ A).
La dimostrazione di tali proprietá é banale se
si tiene presente che presa la generica matrice
M appartenente al dominio di Φ(•) si ha che
Φ(M) é una matrice diagonale, inoltre si ha che
le operazioni M∗Φ(•) e (I−Φ(•))∗M rappresentano
rispettivamente l’operazione di mettere a
zero tutti gli elementi di alcune colonne di M e
l’operazione di mettere a zero tutti gli elementi
di alcune righe di M.
2.6 Relazione formale tra Ma ed Mg ottenuta
tramite la funzione Φ(•).
Anche se già accennato in precedenza
ribadiamo che tra non molto introdurremo
una rappresentazione sistemistica della rete di
sensori wireless. Risultera quindi molto più
comodo ai fini della trattazione teorica anzichè
avere una rappresentazione algoritmica del
legame tra Ma ed Mg avere una vera e propria
formula matematica per rappresentare tale
relazione. Premettiamo che la ricerca di un
tale legame sarà caratterizzata da un forte
utilizzo della funzione Φ(•)). La formula che
riporteremo di seguito non sarà altro che una
rappresentazione matematica dell’algoritmo
già introdotto che lega Ma ad Mg. Prima di
procedere a tale scopo definiamo il seguente
vettore:
Xr =
⎡
⎣
X 1 r
.
X N r
dove X i r = 1 se il nodo i è radice altrimenti
vale 0.
Grazie all’utilizzo di tale vettore possiamo
introdurre la formula che lega Ma ad Mg:
(Ma) T =
⎤
⎦
P0
(I − Φ(Xr)) ∗ Mg ∗ Φ(Xr) +
P1
+ (I − Φ(Φ(Xr) + P0)) ∗ Mg ∗ Φ(P0) +
P2
+ (I − Φ(Φ(Xr) + P0 + P1)) ∗ Mg ∗ Φ(P1) +
+ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · +
PN
N−1
+ (I − Φ(Φ(Xr) + Pi)) ∗ Mg ∗ Φ(PN−1)
i=0
Per facilitare la comprensione di questa
formula ricordiamo che l’operazione Mg∗Φ(Xr)
ha il significato di mettere a zero gli elementi
delle colonne di Mg in corrispondenza agli
elementi nulli di Xr, invece l’operazione
(I − Φ(Xr)) ∗ Mg corrisponde a mettere
a zero gli elementi delle righe di Mg in
corrispondenza agli elementi di valor 1 del
vettore Xr. Risulta immediato notare che le
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