Leader (and sub Leader) Election per uniformare e ... - Automatica

J(T ) =
=
J0(T ) + J1(T )
(VT ) T ∗ VT + (VT − V Media
T ) T ∗ (VT − V Media
=
T )
(VT ) T ⎛
∗ VT + ⎝VT − [1···1]
N ∗ VT
⎡ ⎤⎞T
⎛
1. ∗ ⎣ ⎦⎠
∗ ⎝VT −
1
[1···1]
N ∗ VT
⎡
∗ ⎣
= (VT ) T
∗ VT + IN − ones(N)
T
∗ VT ∗ IN − N
ones(N)
=
∗ VT
N
(VT ) T ∗ VT + V T
T ∗
IN − ones(N)
=
2 ∗ VT
N
(VT ) T ∗ VT + V T
T ∗
IN − ones(N)
=
∗ VT
N
V T
T ∗
2 ∗ IN − ones(N)
∗ VT
N
⎛
⎞
=
T
1.
1
⎤⎞
⎦⎠
⎜ T
⎟
⎜
⎟
⎜ [XR(k) + Xi(k) + U(k)] + XR(k + 1) ⎟ ∗ 2 ∗ IN −
⎝
⎠
k=0
A
ones(N)
∗ (A)
N
una legge di controllo che nel complesso faccia
spendere poca energia alla rete ma purtroppo
faccia spendere la maggior parte di tale
energia a pochi nodi che quindi si scaricano
velocemente. Evidentemente si dovrá cercare
di minimizzare una combinazione dei due
funzionali. La scelta fatta é stata quella di
considerare il seguente funzionale:
J(T ) = J0(T ) + J1(T )
Notiamo che dalla catena di relazioni introdotta
ad inizio pagina si riesce a riscrivere il
funzionale J(T ) come una forma quadratica in
(VT ) T . Viene lasciato al lettore verificare che la
matrice dei pesi (2 ∗ IN − ones(N)/N) é definita
positiva. Infatti essa ha un autovalore pari ad
uno ed (N − 1) autovalori pari a due.
Arrivati a questo punto dobbiamo lasciare ogni
speranza di trovare una legge formale che
minimizza il funzionale J. Infatti se avessimo
a disposizione un sistema anche non lineare il
quale non é soggetto al vincolo sui possibili
valori dello stato e dell’ingresso che invece é
presente nel sistema da noi considerato allora
si potrebbe almeno tentare di minimizzare tale
funzionale attraverso l’utilizzo di gradienti o
operazioni simili. Purtroppo peró ció non é
possibile ed inoltre non si riescono a trovare
altre tecniche utili per determinare la legge
formale di controllo Xr(k) che minimizza il
funzionale J(T) per ogni T.
3.3 Minimizzazione del funzionale di costo
J(•).
Nella fase di sviluppo del progetto come prima
cosa si é tentato di minimizzare J(T ) cercando
la legge formale Xr(k) di evoluzione della posizione
della radice espressa in funzione dello
stato del sistema X(k). Come prima cosa si é
riscritto il funzionale come J(T ) = J(T − 1) +
A(T ) dove A(T ) é una funzione che é risultata
dai calcoli. Notiamo che J(T − 1) dipende
da Xr(k) con k che arriva fino a T mentre
J(T ) dipende da Xr(k) con k che arriva fino
a (T + 1). Dopo aver fatto ció abbiamo preso
per ipotesi l’esistenza della legge di controllo
Xr(k) ottima che minimizza J(T ) qualsiasi T.
Tale ipotesi verrá verificata a posteriori. Fissato
tale punto ci si é avvalso di uno dei concetti
fondamentali del Controllo Ottimo:
se esiste la legge di controllo ottimo Xr(k) con
0 ≤ k ≤ (T + 1) che minimizza J(k) per 0 ≤
k ≤ T allora la stessa legge Xr(k) con invece
0 ≤ k ≤ T minimizza J(k) per 0 ≤ k ≤ (T − 1).
Quindi fissata la legge di controllo ottima Xr(k)
con 0 ≤ k ≤ T per minimizzare J(T ) basterá
trovare Xr(T + 1) che minimizza A(T ). Non
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